Luận án Ảnh hưởng của công tác thi công khoan hạ cọc đến sức chịu tải của cọc trong khu vực địa chất không thuận lợi tại Thành phố Hồ Chí Minh

 hồi phi tuyến có các ưu điểm như sau: 
- Được xây dựng dựa trên kết quả thí nghiệm nén ba trục. Các tham số của mô 
hình được xác định từ kết quả thí nghiệm ba trục bao gồm đường quan hệ 
ứng suất biến dạng, biến dạng thể tích và biến dạng dọc trục, biến dạng thể 
tích và ứng suất trung bình. 
52 
- Có hai mặt chảy dẻo, một mặt phá hoại. Có thể mô tả ứng xử của đất cát rời, 
cát chặt, đất sét cố kết thông thường. 
- Đơn giản trong xây dựng phần mềm tính toán 
2.2.2. Biểu thức của mô hình đàn hồi phi tuyến 
Mô hình đàn hồi phi tuyến được đề xuất bởi Chang và Duncan [33] và áp dụng 
cho xấp xỉ đường cong phi tuyến quan hệ ứng suất,  1 3 , và biến dạng dọc trục như 
trên hình 2.2. Quan hệ ứng suất - biến dạng có dạng đường cong hyperbol được thể hiện 
theo công thức sau: 
 11 3
1a b

 

 (2.31) 
Trong đó: a và b quan hệ với mô đun đàn hồi ban đầu và ứng suất đỉnh như sau: 
1
iE
a
 ; 1 3
1
ult b
  (2.32) 
Mô đun đàn hồi ban đầu phụ thuộc vào úng suất chính nhỏ nhất, 3 : 
E K P
p
i L a
a
n
 3
 (2.33) 
Trong đó Ei là mô đun đàn hồi ban đầu phụ thuộc vào ứng suất chính nhỏ nhất, 
3 ; KL là số mô đun gia tải; pa là áp suất khí quyển; 3 là ứng suất chính nhỏ nhất; 
và n số mũ mô đun. 
Mô đun đàn hồi dỡ tải-gia tải, Eur , được tính toán tương tự với mô đun đàn hồi 
ban đầu, Ei nhưng khác ở số mô đun, Kur như trong biểu thức 2.34 sau đây: 
3
n
ur ur a
a
E K P
P
 
 (2.34) 
53 
Hình 2.2. Đường cong quan hệ ứng suất biến dạng 
Ứng suất đỉnh, 1 3 ult  liên hệ với ứng suất phá hoại theo chuẩn phá hoại 
Mohr-Coulomb thông qua hệ số phá hoại, fR . Giá trị của hệ số pháp hoại fR đối với 
mỗi thí nghiệm được xác định như sau: 
1 3
1 3
f
f
ult
R
 
 
 (2.35) 
trong đó 1 3 f  là ứng suất lệch phá hoại xác định từ đường cong thí nghiệm ba trục, 
thường lấy giá trị lớn nhất trên đường cong. Giá trị của fR thường trong khoảng 0.5 đến 
0.9 đối với đa số các loại đất [34]. 
Mô hình mô tả sát thực mối quan hệ ứng suất biến dạng trước khi phá hoại. Tuy 
nhiên ứng xử tăng bền và chuẩn phá hoại không thể hiện sự chảy dẻo. Hơn nữa, mô hình 
có thể mô tả sự nén lại của đất nền bằng cách thay đổi hệ số Poisson nhưng không thể 
mô tả sự giãn nở. Mô hình đàn hồi phi tuyến có thể được cải tiến để loại bỏ những nhược 
điểm nêu trên. Mô hình sau khi cải tiến còn được gọi là mô hình tăng bền [35]. Quan hệ 
theo dạng đường cong hypecbol giữa ứng suất lệch và biến dạng dọc trục được sử dụng 
trong việc xây dựng các công thức. 
Biến dạng dọc trục có thể được biểu diễn như sau từ biểu thức (2.31): 
54 
1 3 1 3
1
1 3 1 3
ult
i ult
E
   

   
 (2.36) 
 Mặt chảy dẻo được xây dựng từ mối quan hệ giữa biến dạng đàn hồi và biến dạng 
dẻo như sau: 
 1 3 1 3 1 3
1 1 1
1 3 1 3
p e ult
i urult
E E
     
  
   
 (2.37) 
 Hay: 
 1 3 1 3 1 3
1
1 3 1 3
p ult
i iult
E E
     

    
 (2.38) 
 Trong đó: ur iE E or ur LK K 
 Trong trạng thái ứng suất ba trục, ứng suất lệch được biểu diễn theo bất biến ứng 
suất lệch thứ hai nên biểu thức (2.38) được viết lại như sau:: 
2
2 2
1
2 2
2 cos 2 cos
p ult
i i
ult
J J J
E EJ J
 


 (2.39) 
Biến dạng dẻo dọc trục liên hệ với biến dạng dẻo bát diện theo các biểu thức biến 
dạng trong trạng thái ba trục như sau: 
 1 3
1 3
2
3
2
p p p
oct
p p p
v
  
  
 (2.40) 
 Dẫn đến: 
1 2 2
3
p
p p pv
oct oct

   (2.41) 
Sắp xếp lại sẽ thu được hàm chảy dẻo như sau: 
55 
1 2 2 2 2 2
0 0
2 2
1 cos ...
2
ult
pi
oct
ult
f J J J J J
E
J J
 


 (2.42) 
Giá trị cực hạn của bất biến lệch thứ hai theo chuẩn phá hoại Mohr-Coulomb: 
1
2
sin cos
1 3
sin sin
cos
3
ult
f
I
c
J
R
 

 (2.43) 
Vi phân của hàm dẻo đối với các bất biến ứng suất và biến dạng dẻo bát diện đối 
với mô hình đàn hồi phi tuyến (hình 2.3) được trình bày trong các biểu thức từ (2.44) 
đến (2.49): 
 2 2 2
01
2 2 2
1 2 2 cos
2 2 2
ult pi
oct
J J J Ef
J J J
  

 

 (2.44) 
 2
1
2 2
0
1 1
1 cos
2
p
i oct ult
JEf
J J
I I
 
 
 
  
 (2.45) 
2
1
2 2
0
2 2 2 2 2
0 0
2
1 cos ...
1 sin ...
2
ult
ult
pi ult
oct
Jf
J J
J J J J J
JE
 
 
 




 


 (2.46) 
 2
1
sin
sin sin
3 cos
3
ult
f
J
I
R
 


 
 (2.47) 
 12
2
sin cos
1 cos sin3 sin
3sin sin
cos
3
ult
f
I
cJ
R
 

  

  
 
 (2.48) 
56 
 1 2 2
2
i
ult
oct
Ef
J J




 (2.49) 
Biến dạng dẻo bát diện liên hệ với hàm thế năng dẻo như sau: 
2
4 4 3
9 9 2
p
oct
oct
g g
d
J
  

 
 
 (2.50) 
Hình 2.3: Mặt chảy dẻo mô hình đàn hồi phi tuyến 
Hàm thế năng tương tự như hàm thế năng của mô hình Mohr-Coulomb trong đó 
góc giản nở sẽ điều khiển ứng xử giãn nở của đất. 
Các thông số của mô hình đàn hồi phi tuyến được trình bày trong bảng 2.1. Nếu 
quan hệ ứng suất biến dạng theo thí nghiệm nén ba trục là đường cong hypecbol (hình 
2.4) thì có thể biến đổi thành đường thẳng (hình 2.5). Giao giữa đường thẳng và trục 
đứng là nghịch đảo của mô đun đàn hồi ban đầu, iE , và hệ số góc của đường thẳng là 
nghịch đảo của ứng suất đỉnh, 1 3 ult  như thể hiện trong hình 2.6. 
Biểu thức (2.33) thể hiện quan hệ đường thẳng của logarit của mô đun đàn hồi và 
logarit của ứng suất chính nhỏ nhất. Giá trị của số mô đun LK được xác định từ giao của 
đường thẳng với trục đứng. Độ dốc của đường thẳng là số mũ mô đun, n (hình 2.7). 
57 
Bảng 2.1: Tham số mô hình đàn hồi phi tuyến 
Tham số Mô tả 
KL Số mô đun gia tải 
urK Số mô đun dỡ tải-gia tải 
Ln Số mũ mô đun gia tải 
urn Số mũ mô đun dỡ tải-gia tải 
R f Hệ số phá hoại 
c Lực dính đơn vị 
 Góc ma sát trong 
 Góc giãn nở 
Hình 2.4. Quan hệ ứng suất biến dạng theo thí nghiệm ba trục 
58 
Hình 2.5. Chuyển đổi quan hệ ứng suất biến dạng 
Hình 2.6. Xác định tham số KL và n 
2.3. Phương pháp phần tử hữu hạn đất nền xung quanh cọc 
2.3.1. Phương trình phần tử hữu hạn 
Mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng theo lý thuyết đàn hồi cho bởi biểu thức 
như sau [36]: 
      0 0C    (2.51) 
Trong đó:  là ma trận ứng suất; 
59 
  là ma trận biến dạng; 
 0 là ma trận ứng suất ban đầu; 
 0 là ma trận biến dạng ban đầu; 
 C là ma trận đặc trưng vật liệu. 
Theo các phương trình liên hệ giữa chuyển vị và biến dạng (các phương trình 
Cauchy), biến dạng của một điểm trong phần tử là: 
           u N u B u   (2.52) 
Trong đó:     B N  được gọi là ma trận tính biến dạng 
Ma trận   có kích thước |6x3| đối với bài toán 3 chiều, |3x2| đối với bài toán 
hai chiều và |1x1| đối với bài toán một chiều. 
Thay biểu thức (2.52) vào biểu thức (2.51) ta có: 
         0 0C B u C   (2.53) 
Thế năng toàn phần của hệ phần tử: 
          
      
0 01
2
T T T
p
v
T T T
v s
C C dV
u G dV u dS U P
     
 
  
 (2.54) 
Trong đó:    
T
u u v w ; 
  
T
x y xy y x         ; 
  
T
x yG G G G là tải trọng bản thân ; 
  
T
x y 
     là áp lực bề mặt ; 
60 
 U là bậc tự do hay chuyển vị nút của hệ ; 
 P là véc tơ tải trọng ngoài đặt tại các nút ; 
 , S V diện tích bề mặt và thể tích của kết cấu . 
Thay biểu thức (2.53) vào biểu thức (2.54): 
                 
        
0 01
2
T T TT T T
p
v
TT T T
v s
u B C B u u B C u B dV
u N G dV u dS U P
 
 
  
 (2.55) 
Hay:         
1 1
1
2
n n
T T T
p ei i ii i
i i
u k u u r U P
   (2.56) 
Trong đó: Ma trận độ cứng phần tử:       
T
e
Ve
k B C B dV (2.57) 
Véc tơ tải trọng phần tử: 
                 0 0
e e e e
T T T T
e
V V V S
r B C B N F dV N dS   (2.58) 
Với: , e eV S là thể tích và diện tích bề mặt của phần tử 
Thay thế véc tơ chuyển vị nút của phần tử bằng chuyển vị nút của hệ, phương 
trình (2.56) trở thành: 
      
1
2
T T
p U K U U F (2.59) 
Trong đó:    
1
ne
e i
i
K k
  và   
1
ne
e i
i
F P r
  (2.60) 
Biểu thức này biểu diễn thế năng toàn phần  của hệ theo véc tơ chuyển vị nút 
của hệ U . Áp dụng nguyên lý thế năng toàn phần dừng (nguyên lý Lagrange) ta có 
điều kiện cân bằng của toàn hệ tại các điểm nút: 
61 
 0
U
 
 
 
 hay    K U F (2.61) 
2.3.2. Phần tử tấm tứ giác đẳng tham số 
Quy trình thiết lập ma trận độ cứng cho phần tử tấm tứ giác thông thường sẽ gặp 
khó khăn khi mở rộng xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử tấm tứ giác bậc cao. Tuy 
nhiên, khi sử dụng phần tử đẳng tham số thì vấn đề khó khăn sẽ được giải quyết dễ dàng. 
Phần tử đẳng tham số là phần tử trong đó đặc trưng hình học và trường chuyển vị đều 
được viết theo hàm dạng như sau: 
Tọa độ một điểm bất kỳ nằm trong phần tử, nội suy từ tọa độ điểm nút: 
1 1
1 , 
n n
e e
i i i
i i
N x x N
   và 
1
n
e
i i
i
y y N
  (2.62) 
Chuyển vị tại một điểm bất kỳ trong phần tử cũng được nội suy theo chuyển vị nút: 
1 1
 , 
n n
e e
x xi i y yi i
i i
u u N u u N
   (2.63) 
Phần tử tấm tứ giác 8 điểm nút như trong hình 2.7. Hàm dạng của phần tử này là: 
 1
1
1 1 1
4
N     ; 
 2
1
1 1 1
4
N     ; 
 3
1
1 1 1
4
N     ; 
 4
1
1 1 1
4
N     ; (2.64) 
 5
1
1 1 1
2
N    ; 
 6
1
1 1 1
2
N    ; 
62 
 7
1
1 1 1
2
N    ; 
 8
1
1 1 1
2
N    
Hình 2.7. Phần tử tấm tứ giác 8 nút trong hệ tọa độ tổng thể và địa phương 
Hàm dạng của các phần tử trong bài toán phẳng xác định theo hệ toạ độ quy chiếu. 
Do đó cần chuyển đạo hàm hàm dạng từ hệ toạ độ quy chiếu sang hệ toạ độ thực. Mối liên 
hệ giữa đạo hàm hàm dạng trong hệ toạ độ quy chiếu và hệ toạ độ thực là: 
 
i i i
i ii
N x y N N
x x
J
N NN x y
y y
  
 
       
        
    
       
 (2.65) 
Trong đó:  J là ma trận Jacobi. Nghịch đảo phương trình (2.65): 
 
1
ii
i i
NN
x
J
N N
y


  
  
  
  
   
 (2.66) 
Ma trận Jacobi được xác định như sau: 
X
Y


= -1
=1
=1
= -1
3
4
1
2
5
6
7
8
63 
1 11 2
2 2
1 2
.
. .
.
n
n
n n
x yNN Nx y
x y
x y NN N
x y
    
    
    
      
     
      
 (2.67) 
Đối với phần tử tấm tứ giác 8 điểm nút: 
 1
1
1 2
4
N
  



; 2
1
1 2
4
N
  



; 
 3
1
1 2
4
N
  



; 4
1
1 2
4
N
  



; 
 5 1
N
 



; 26
1
1
2
N




; 
 7 1
N
 



; 28
1
1
2
N




; (2.68) 
 1
1
1 2
4
N
  



; 2
1
1 2
4
N
  



; 
 3
1
1 2
4
N
  



; 4
1
1 2
4
N
  



; 
 25
1
1
2
N




; 6 1
N
 



; 
 27
1
1
2
N




; 8 1
N
 



; 
Véc tơ biến dạng được viết theo hàm của chuyển vị: 
   
x
y
z
xy
u
B
v





 
  
  
  
 
 (2.69) 
64 
Ma trận tính biến dạng được xây dựng bằng cách sắp xếp các thành phần đạo 
hàm của hàm dạng vào vị trí tương ứng trong ma trận như sau: 
 
1 2
1 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 1 2 2 2
0 0 0 0 ... 0 0
0 0 0 0 ... 0 0
1 1 1
0 0 ... 0
0 0 ... 0
1 1 1
0 0 ... 0
1
0 0 ...
n
n
n n
n n
n n
NN N
NN N
N NN N N N
x x x x x x
B
N NN N N N
N NN N N N
x x x
N N N N N N
x x x
  
  
  
     
     
   
 
  
 
  
 
  
    
     
    
     
   
   
0n n n
N N N
x 
  
   
 (2.70) 
Đối với bài toán biến dạng phẳng, ma trận đặc trưng vật liệu  C được viết như sau: 
 
1 0
1 0
1 0
1 1 2
1 2
0 0 0
2
E
C
  
  
  
 

 (2.71) 
Ma trận độ cứng của phần tử tấm tứ giác viết theo hệ tọa độ địa phương như sau: 
         
1 1
1 1
T TeK B E B dV h B E B J d d 
 (2.72) 
Tích phân trong biểu thức (2.72) có thể thực hiện bằng sử dụng tích phân số như sau: 
1 1 1 1 1
11 1 1 1 1
1 1 1 1
, , ,
, ,
n
i i
i
n n n n
j i i j i j i j
j i j i
f d d d f d d W f
W W f WW f
          
   
 
  
 (2.73) 
65 
Tọa độ Gauss và trọng số cho trong Bảng 2.2 như sau: 
Bảng 2.2. Tọa độ và trọng số của tích phân số trên miền tứ giác 
n 
Độ chính xác 
2 1n 
Tọa độ, i 
Trọng số 
iW 
1 1 0 2 
2 3 1 3 ; 1 3 1;1 
3 5 3 5 ; 0; 3 5 5/9; 8/9; 5/9 
2.4. Phương pháp phần tử hữu hạn đối với tiếp xúc giữa đất và cọc 
2.4.1. Động học tiếp xúc 
Bề mặt tiếp xúc không được biết trước và phụ thuộc vào đường phi tuyến của tải 
trọng, bài toán tiếp xúc luôn là phi tuyến kể cả đối với phân tích đàn hồi tuyến tính. Hơn 
nữa, các vấn đề liên quan đến tiếp xúc còn bao gồm chuyển vị lớn mà các biểu thức cần 
được thiết lập liên hệ với biến dạng hữu hạn. Có hai bước cần được tuân thủ khi thiết 
lập hình học tiếp xúc: tìm kiếm tiếp xúc và phát triển mối liên hệ động học cục bộ. Việc 
phân tích về mối liên hệ tiếp xúc động học, phương pháp tìm kiếm sẽ được trình bày 
trong mục 2.4, 2.6. Đối với biến dạng lớn, các biểu thức liên tục của tiếp xúc động học 
đối với khoảng cách giữa các đối tượng tính toán sự tiếp xúc được tối thiểu như theo các 
phương pháp cổ điển về điều kiện không xuyên qua [37]. 
a) Phương trình tương quan tại bề mặt tiếp xúc 
Do độ chính xác cần thiết trong việc giải bài toán tiếp xúc, nhiều cách tiếp cận 
khác nhau đã được sử dụng để mô hình hóa ứng xử tại bề mặt tiếp xúc. Hai hướng chính 
có thể theo trong phương pháp phần tử hữu hạn là áp đặt điều kiện tiếp xúc theo phương 
vuông góc. 
66 
Biểu thức đầu tiên được sử dụng đối với vấn đề tiếp xúc có độ chính xác thấp khi 
sự cần thiết thiết yếu nhất là sự thực hiện chính xác các ràng buộc về hình học như mô 
phỏng va chạm hay tạo khuôn. Trường hợp này không thể xác định mối liên hệ tương 
quan trong bề mặt tiếp xúc. Áp lực tiếp xúc vuông góc liên hệ với phản lực trên bề mặt 
tiếp xúc và có thể suy luận từ phương trình ràng buộc. Quy trình này là cách tiếp cận cổ 
điển để biểu thức hóa các mối ràng buộc của tiếp xúc. Đã có nhiều nhà khoa học nghiên 
cứu theo hướng này. Đối với ứng dụng theo phương pháp phần tử hữu hạn, có thể tham 
khảo các nghiên cứu của Wilson và Parsons [38] hay Chan và Tuba [39] đối với biến 
dạng nhỏ, của Alart và Curnier [40] đối với biến dạng lớn. 
Ứng xử tại bề mặt theo phương tiếp tuyến (ứng xử ma sát) là rất phức tạp. Một 
số nhà nghiên cứu cố gắng xây dựng các biểu thức cho đối tượng thứ ba trong bề mặt 
tiếp xúc có các đặc trưng đặc biệt và chỉ thể hiện tại thời điểm của tải trọng cơ học tiếp 
tuyến. Các biểu thức tương quan được sử dụng nhiều nhất là theo mô hình cổ điển 
Coulomb. Gần đây, tiếp xúc ma sát được nghiên cứu theo lý thuyết dẻo ứng dụng trong 
phương pháp phần tử hữu hạn. 
b) Dạng yếu của tiếp xúc và xu hướng lời giải chung 
Dạng yếu của vấn đề tiếp xúc dẫn đến sự không cân bằng khi các điều kiện tiếp 
xúc được biểu diễn dưới dạng ràng buộc không cân bằng. Hướng giải quyết bài toán này 
được áp dụng là kết hợp hệ số Lagrangian và phương pháp hàm phạt. Đa số các chương 
trình phần tử hữu hạn giải bài toán tiếp xúc sử dụng phương pháp hệ số Lagrangian hoặc 
hàm phạt. Mỗi phương pháp có ưu điểm và nhược điểm riêng và sẽ được thảo luận sau 
đây. Các phương pháp này được xây dựng để thỏa mãn các phương trình điều kiện theo 
phương vuông góc của mặt tiếp xúc. Sự kết hợp hai phương pháp trên đưa đến phương 
pháp được gọi là phương pháp hệ số Lagrangian tăng cường trong đó kế thừa ưu điểm 
của cả hai phương pháp. 
c) Rời rạc hóa bề mặt tiếp xúc 
Khi sự rời rạc của các bề mặt tiếp xúc được xem xét, người ta phải phân biệt giữa 
sự tiếp xúc của hai vật thể biến dạng hoặc sự tiếp xúc của một vật thể biến dạng với một 
67 
vật thể tuyệt đối cứng. Đối với ứng dụng phần tử hữu hạn cho bài toán tiếp xúc của hai 
vật thể biến dạng, sự thay đổi nhỏ của hình học được giả thiết nên lý thuyết hình dạng 
tuyến tính có thể được áp dụng. Các điều kiện ràng buộc hoàn toàn có thể dựa trên các 
nút theo Francavilla và Zienkiewicz [41]. Các phần tử cần được rời rạc hóa để các điểm 
nút khớp với nhau trên bề mặt tiếp xúc. Đối với bài toán bất kỳ, các điểm nút phân bố 
trên bề mặt tiếp xúc giữa hai vật thể không theo quy luật đặc biệt là khi chia lưới tự 
động. Wriggers, Simo và Taylor [42] đã phát triển phương pháp phân đoạn để rời rạc 
hóa bề mặt tiếp xúc. 
Đối với trường hợp tổng quát của tiếp xúc bao gồm biến dạng lớn, phương pháp 
rời rạc được dùng nhiều nhất là phương pháp nút-phần tử. Sự trượt bất kỳ của một nút 
trên toàn bộ bề mặt tiếp xúc là không bị hạn chế. Wriggers và Simo xây dựng bài toán 
biến dạng lớn hai chiều cần thiết cho việc xây dựng biểu thức ma trận với giả thiết không 
có ma sát [43]. Biểu thức tiếp xúc ma sát có thể xem trong nghiên cứu của Wriggers và 
công sự [44]. Ma trận tiếp tuyến đối với bài toán ba chiều không ma sát của rời rạc nút-
phần tử được phát triển bởi Parisch [45]. Trường hợp đặc biệt của bài toán tiếp xúc của 
vật thể cứng tuyệt đối được giải bởi Hansson và Klarbring [46], Wriggers và Imhof [47] 
hay Heegaard và Curnier [48]. 
d) Thuật giải đối với tích phân của các biểu thức trên mặt tiếp xúc 
Các phương trình trên bề mặt tiếp xúc bao gồm sự liên quan đến phương tiếp 
tuyến và phương vuông góc với mặt tiếp xúc. Đối với phương vuông góc, biểu thức 
đánh giá tương tự như đối với đàn hồi hữu hạn có thể được sử dụng để thu được giá trị 
áp lực tiếp xúc cho trước. Đối với phương tiếp tuyến, việc giải phương trình ma sát trượt 
cần có một thuật giải đặc biệt. Trong các ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn, thuật 
toán này được gọi là “thử-lỗi” mà có thể không hội tụ trong một số trường hợp. 
e) Thuật giải tìm kiếm tiếp xúc 
Sự tìm kiếm đối với các ràng buộc về tiếp xúc là không quan trọng đối với biến 
dạng lớn do các nút bề mặt của vật thể có thể tiếp xúc với bất cứ phần nào của vật thể 
khác. Sự phát triển thuật toán tìm kiếm có thể chia làm hai cách tiếp cận chung. Cách 
68 
thứ nhất là liên kết với sự tiếp xúc giữa vật thể biến dạng và không biến dạng. Trong 
trường hợp này, vật thể không biến dạng có thể mô tả bởi các hàm ẩn dẫn đến sự đơn 
giản và hiệu quả trong việc kiểm tra các điểm tiếp xúc nằm trên bề mặt vật thể biến 
dạng. Trong trường hợp có hơn hai vật thể biến dạng tiếp xúc với nhau, thuật toán tìm 
kiếm trở nên phức tạp và thường chia thành tìm kiếm tổng thể và cục bộ. Tìm kiếm tổng 
thể là tìm các vật thể hoặc bề mặt có thể tiếp xúc đối với bước thời gian và chuyển vị 
cho trước. Khi tiếp xúc được xác nhận, tìm kiếm cục bộ được thực hiện để kiểm tra xem 
có sự xuyên qua hay không và xác định chính xác vị trí của nó. 
f) Phương pháp thích ứng với bài toán tiếp xúc 
Phương pháp số đối với bài toán tiếp xúc cho kết quả xấp xỉ, do đó cần thiết phải 
kiểm soát được sai số tính toán. Các nghiên cứu thực hiện trong thời gian qua tập trung 
vào kỹ thuật thích ứng cho mô hình số tự động cho kết quả chính xác và tin cậy. Đối 
tượng của kỹ thuật thích ứng là để thu được lưới phần tử tối ưu mà thời gian tính toán 
là tối thiểu. 
2.4.2. Sự ràng buộc tại bề mặt tiếp xúc [49] 
a) Phương pháp chính phụ 
Đối với mỗi ràng buộc về mặt hình học, hai mặt tiếp xúc bao gồm mặt chính và 
mặt phụ. Các thành phần chuyển vị được thiết lập trong đó loại bỏ toàn bộ các thành 
phần chuyển vị trên mặt phụ. Các thành phần chuyển vị trên mặt phụ sẽ được xác định 
từ thành phần chuyển vị trên mặt chính thông qua các hàm ràng buộc và trong hệ phương 
trình chỉ tồn tại các thành phần chuyển vị chính. Ma trận chuyển liên hệ giữa véc tơ 
chuyển vị đầy đủ và véc tơ chuyển vị rút gọn (chỉ chứa các thành phần chuyển vị của 
nút chính) và liên hệ này được viết thành biểu thức như sau: 
ˆu Tu (2.74) 
trong đó uˆ là véc tơ chuyển vị thu gọn đã loại bỏ các thành phần chuyển vị của nút phụ 
từ véc tơ chuyển vị đầy đủ u ; T là ma trận chuyển. 
69 
Ma trận độ cứng và véc tơ tải trọng tươ