Luận án Chẩn đoán vết nứt trong cần trục tháp bằng phương pháp thử nghiệm động

) + 𝛿21𝛷2(𝑥) + (1 − 𝛿11)𝛷3(𝑥) − 𝛿21𝛷4(𝑥); 
𝐻2(𝑥) = 𝛿12𝛷1(𝑥) + 𝛿22𝛷2(𝑥) − 𝛿12𝛷3(𝑥) + (
1
𝜆
− 𝛿22)𝛷4(𝑥); 
𝐻3(𝑥) = 𝛿13[𝛷1(𝑥) − 𝛷3(𝑥)] + 𝛿23[𝛷2(𝑥) − 𝛷4(𝑥)]; (2.13) 
𝐻4(𝑥) = 𝛿14[𝛷1(𝑥) − 𝛷3(𝑥)] + 𝛿24[𝛷2(𝑥) − 𝛷4(𝑥)]; 
𝑞1 = 𝛿13𝑊𝑞(𝐿) + 𝛿14𝑊𝑞
′(𝐿); 𝑞2 = 𝛿23𝑊𝑞(𝐿) + 𝛿24𝑊𝑞
′(𝐿). 
Vì vậy ta có thể nhận được 
 𝑭(𝜔) = {
𝑄1
𝑀1
𝑄2
𝑀2
} = 𝐸𝐼
{
 𝑊
‴(0, 𝜔)
𝑊″(0, 𝜔)
𝑊‴(𝐿, 𝜔)
𝑊″(𝐿, 𝜔)}
= 
 = 𝐸𝐼
[
𝐻1
‴(0) 𝐻2
‴(0) 𝐻3
‴(0 𝐻4
‴(0)
𝐻1
″(0) 𝐻2
″(0) 𝐻3
″(0) 𝐻4
″(0)
𝐻1
‴(𝐿) 𝐻2
‴(𝐿) 𝐻3
‴(𝐿) 𝐻4
‴(𝐿)
𝐻1
″(𝐿) 𝐻2
″(𝐿) 𝐻3
″(𝐿) 𝐻4
″(𝐿)]
{
𝑊1
𝛩1
𝑊2
𝛩2
} + 𝐸𝐼
{
 𝑊
‴̂𝑞
𝑊 ″̂𝑞
𝑊 ‴̂𝑞
𝑊 ″̂𝑞}
hay 
{𝑭(𝜔)} = [𝑫(𝜔)]{𝑽(𝜔))} + {𝑷(𝜔)}, (2.14) 
trong đó ma trận độ cứng động và véc tơ tải trọng nút tính được bằng 
𝑫(𝜔) = 𝐸𝐼
[
𝐻1
‴(0) 𝐻2
‴(0) 𝐻3
‴(0 𝐻4
‴(0)
𝐻1
″(0) 𝐻2
″(0) 𝐻3
″(0) 𝐻4
″(0)
𝐻1
‴(𝐿) 𝐻2
‴(𝐿) 𝐻3
‴(𝐿) 𝐻4
‴(𝐿)
𝐻1
″(𝐿) 𝐻2
″(𝐿) 𝐻3
″(𝐿) 𝐻4
″(𝐿)]
; (2.15) 
 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) (0), (0), ( ), ( ) .
T
q q q qEI W W W L W L P 
2.1.2.2. Ma trận độ cứng động lực của phần tử thanh, dầm có vết nứt 
Giả sử trong thanh tồn tại m vết nứt tại các vị trí 𝑒1, . . . , 𝑒𝑚, các vết nứt này là 
mở có độ sâu tương ứng là 𝑎1, . . . , 𝑎𝑚 và được mô tả bằng các lò xo dọc trục có độ 
cứng tương đương là 𝑇1, . . . , 𝑇𝑚. được tính từ độ sâu vết nứt theo công thức [26] 
2
1 1/ 2 (1 )( / ) ( ), / , 1, ...,j j jEA LT h L f z z a h j m  
2 2 3 4
1
5 6 7 8
( ) (0.6272 0.17248 5.92134 10.7054 31.5685
67.47 139.123 146.682 92.3552 );
f z z z z z z
z z z z
25 
Khi đó, nghiệm của phương trình (2.2) phải thỏa mãn các điều kiện tại vết nứt 
𝑈′(𝑒𝑗 + 0) = 𝑈
′(𝑒𝑗 − 0) = 𝑈
′(𝑒𝑗); 
𝑈(𝑒𝑗 + 0) = 𝑈(𝑒𝑗 − 0) + 𝛾1𝑗𝑈
′(𝑒𝑗); (2.16) 
Nếu giả thiết ( , )jU x  là nghiệm tổng quát của phương trình (2.1) trong đoạn 
(𝑒𝑗−1,𝑒𝑗), 𝑗 = 1, . . . , 𝑛 + 1, thì các điều kiện (2.16) sẽ cho ta mối liên hệ 
𝑈𝑗
′(𝑒𝑗) = 𝑈𝑗−1
′ (𝑒𝑗); 𝑈𝑗(𝑒𝑗) = 𝑈𝑗−1(𝑒𝑗) + 𝛾1𝑗𝑈𝑗−1
′ (𝑒𝑗), 𝑗 = 1, . . . , 𝑚. 
Từ đó ta có thể biểu diễn các nghiệm như sau 
𝑈1(𝑥) = 𝑈0(𝑥) + 𝛾11𝑈0
′ (𝑒1) 𝑐𝑜𝑠 𝜆 (𝑥 − 𝑒1); 
𝑈2(𝑥) = 𝑈1(𝑥) + 𝛾12𝑈1
′ (𝑒2) 𝑐𝑜𝑠 𝜆 (𝑥 − 𝑒2); 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 
𝑈𝑗(𝑥) = 𝑈𝑗−1(𝑥) + 𝛾1𝑗𝑈𝑗−1
′ (𝑒𝑗) 𝑐𝑜𝑠 𝜆 (𝑥 − 𝑒𝑗); (2.17) 
𝑗 = 1, 2, 3, . . . ., 𝑛 + 1. 
 Lần lượt thay biểu thức trước vào biểu thức sau, ta có thể nhận được 
𝑈(𝑥) = 𝑈0(𝑥) + ∑ 𝜇𝑗𝐾𝑢(𝑥 − 𝑒𝑗)
𝑚
𝑗=1 , (2.18) 
trong đó 
𝐾𝑢(𝑥) = {
𝑐𝑜𝑠 𝜆 𝑥: 𝑥 ≥ 0;
0: 𝑥 < 0;
 𝐾𝑢
′ (𝑥) = {
−𝜆 𝑠𝑖𝑛 𝜆 𝑥: 𝑥 ≥ 0;
0: 𝑥 < 0;
𝜇𝑗 = 𝛾1𝑗[𝑈0
′ (𝑒𝑗 , 𝜆) − 𝜆∑ 𝜇𝑘
𝑗−1
𝑘=1 𝑠𝑖𝑛 𝜆 (𝑒𝑗 − 𝑒𝑘)], 𝑗 = 1, . . . , 𝑛. 
Dễ dàng nhận thấy 
𝑈0(𝑥) = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠 𝜆 𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 𝜆 𝑥 
với 1 2,C C là các hằng số tùy ý được xác định từ các điều kiện biên. Nếu biểu diễn 
𝜇𝑗 = 𝐶1𝜇1𝑗 + 𝐶2𝜇2𝑗 , 𝑗 = 1, . . . , 𝑚 
ta có thể viết lại biểu thức (2.4) ở dạng 
 𝑈(𝑥) = 𝐶1𝜙1(𝑥) + 𝐶2𝜙2(𝑥), (2.19) 
trong đó 
𝜙1(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝜆 𝑥 + ∑ 𝜇1𝑗𝐾𝑢(𝑥 − 𝑒𝑗)
𝑚
𝑗=1 , 
 𝜙2(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 𝜆 𝑥 + ∑ 𝜇2𝑗𝐾𝑢(𝑥 − 𝑒𝑗)
𝑚
𝑗=1 ; (2.20) 
 {
𝜇1𝑗
𝜇2𝑗
} = 𝜆𝛾1𝑗 {
− 𝑠𝑖𝑛 𝜆 𝑒𝑗 − ∑ 𝜇1𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜆 (𝑒𝑗 − 𝑒𝑖)
𝑗−1
𝑖=1
𝑐𝑜𝑠 𝜆 𝑒𝑗 − ∑ 𝜇2𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜆 (𝑒𝑗 − 𝑒𝑖)
𝑗−1
𝑖=1
}. (2.21) 
26 
Sử dụng các hàm dạng (2.20) ta có thể tính được ma trận độ cứng động cho 
phần tử thanh có vết nứt bằng 
 [𝐃𝑢(𝜔)] = [
𝐷11(𝜔) 𝐷12(𝜔)
𝐷21(𝜔) 𝐷22(𝜔)
], (2.22) 
trong đó 
𝐷11 = 𝐸𝐴 [
𝜙1(𝐿)𝜙2
′ (0)
𝜙2(𝐿)
− 𝜙1
′ (0)] ; 
𝐷12 = −𝐸𝐴𝜙2
′ (0)/𝜙2(𝐿); 
𝐷21 = 𝐸𝐴 [𝜙1
′ (𝐿) −
𝜙1(𝐿)𝜙2
′ (𝐿)
𝜙2(𝐿)
] ; 
𝐷22 = 𝐸𝐴𝜙2
′ (𝐿)/𝜙2(𝐿). 
Để xác định hoàn toàn ma trận độ cứng động nêu trên, chúng ta cần tính các tham số 
𝜇1𝑗 , 𝜇2𝑗 , 𝑗 = 1, . . . , 𝑚 trong các hàm dạng dao động (2.20), chúng được xác định như sau. 
Đưa vào hai véc tơ 
𝝁1 = {𝜇11, . . . , 𝜇1𝑚}, 𝝁2 = {𝜇21, . . . , 𝜇2𝑚} 
dễ dàng nhận thấy chúng có thể tính được từ phương trình 
[𝐀]{𝝁} = {𝒃}, (2.23) 
trong đó ma trận [ ] [ , , 1,..., ]ija i j m A được xác định bằng 
𝑎𝑗𝑗 = 1; 𝑎𝑖𝑗 = 0: 𝑖 𝑗; 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑚 
với 
{𝒃} = {𝑏1, 𝑏2,  , 𝑏𝑚}, 𝑏𝑗 = −𝜆𝛾1𝑗 𝑠𝑖𝑛 𝜆 𝑒𝑗 , 𝑗 = 1, . . . , 𝑚 
để tính 
1μ và 
1{ } { cos , 1,..., }j j jb e j m   b 
để tính 
2μ . Trong trường hợp thanh không có vết nứt 
𝜇1𝑗 = 𝜇2𝑗 = 0, 𝑗 = 1, . . . , 𝑚, 
khi đó ma trận độ cứng động lực được rút gọn thành 
𝑫0(𝜔) = 𝜆𝐸𝐴 [
𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝜆 𝐿 −1/ 𝑠𝑖𝑛 𝜆𝐿
−1/ 𝑠𝑖𝑛 𝜆 𝐿 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝜆 𝐿
]. (2.24) 
Hơn thế nữa, nếu ta cho 0 , thì ma trận (2.9) trở thành 
𝑙𝑖𝑚
𝜆→0
𝑫0(𝜔) = 𝐿𝐸𝐴 [
1 −1
−1 1
] = 𝑲0 (2.25) 
27 
(2.25) chính là ma trận độ cứng của phần tử thanh tính bằng phương pháp phần tử 
hữu hạn. Điều này chứng tỏ ma trận độ cứng tính được bằng phương pháp phần tử 
hữu hạn chỉ là trường hợp riêng của ma trận độ cứng động khi tần số bằng 0 (tĩnh). 
Xét phần tử dầm Euler-Bernoulli chiều dài L chứa n vết nứt tại các vị trí 
, 1, ...,je j n được mô tả bằng các lò xo xoắn tương đương có độ cứng là jK , được 
tính từ độ sâu vết nứt theo công thức [27] 
2
2 2/ 6 (1 )( / ) ( ), /j j jEI LK h L f z z a h  
2 2 3 4
2
5 6 7 8
( ) (0.6272 1.04533 4.5948 9.9736 20.2948
33.0351 47.1063 40.7556 19.6 ).
f z z z z z z
z z z z
Trong mỗi đoạn dầm 
(𝑒𝑗 , 𝑒𝑗+1), 𝑗 = 0, . . . , 𝑛, 𝑒0 = 0, 𝑒𝑛+1 = 𝐿 
dao động của dầm được mô tả bằng phương trình 
𝐸𝐼𝜕4𝑤𝑗(𝑥, 𝑡)/𝜕𝑥
4 + 𝜌𝐴𝜕2𝑤𝑗(𝑥, 𝑡)/𝜕𝑥
2 = 0, 𝑗 = 0, . . . , 𝑛 
cùng với các điều kiện tương thích tại các vị trí vết nứt , 1,...,je j n 
𝑤𝑗−1(𝑒𝑗 , 𝑡) = 𝑤𝑗(𝑒𝑗 , 𝑡); 𝑤𝑗−1
′ (𝑒𝑗 , 𝑡) = 𝑤𝑗
′(𝑒𝑗 , 𝑡) − 𝛾2𝑗𝑤𝑗
″(𝑒𝑗 , 𝑡); 
𝑤𝑗−1
″ (𝑒𝑗 , 𝑡) = 𝑤𝑗
″(𝑒𝑗 , 𝑡); 𝑤𝑗−1
‴ (𝑒𝑗 , 𝑡) = 𝑤𝑗
‴(𝑒𝑗 , 𝑡). (2.26) 
Trong miền tần số ta có phương trình 
𝑑4𝑊𝑗(𝑥)/𝑑𝑥
4 − 𝜆4𝑊𝑗(𝑥) = 0, 𝑗 = 0, . . . , 𝑛, 𝜆 = (𝜌𝐴𝜔
2/𝐸𝐼)1/4 (2.27) 
và 
𝑊𝑗−1(𝑒𝑗) = 𝑊𝑗(𝑒𝑗);𝑊𝑗−1
′ (𝑒𝑗) = 𝑊𝑗
′(𝑒𝑗) − 𝛾2𝑗𝑊𝑗
″(𝑒𝑗); 
 𝑊𝑗−1
″ (𝑒𝑗) = 𝑊𝑗
″(𝑒𝑗);𝑊𝑗−1
‴ (𝑒𝑗) = 𝑊𝑗
‴(𝑒𝑗); 𝑗 = 1, . . . , 𝑛. (2.28) 
Giả sử 𝑊𝑗(𝑥),𝑊𝑗−1(𝑥) là nghiệm phương trình (2.27) trong hai đoạn liên kề qua 
vị trí vết nứt je , dễ dàng có thể chứng minh được mối quan hệ truy hồi [14] 
 𝑊𝑗(𝑥) = 𝑊𝑗−1(𝑥) + 𝛾2𝑗𝑊𝑗−1
″ (𝑒𝑗)𝑆(𝑥 − 𝑒𝑗), (2.29) 
trong đó hàm 
 𝑆(𝑥) = (1/2𝜆)(𝑠𝑖𝑛ℎ 𝜆 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 𝜆 𝑥). 
Công thức (2.29) thực chất là sự mở rộng liên tục nghiệm của phương trình 
dao động trong đoạn dầm trước sang đoạn dầm kế tiếp thỏa mãn điều kiện (2.28) tại 
vị trí vết nứt, có thể viết cụ thể như sau 
𝑊1(𝑥) = 𝑊0(𝑥) + 𝛾21𝑊0
″(𝑒1)𝑆(𝑥 − 𝑒1); 
28 
𝑊2(𝑥) = 𝑊1(𝑥) + 𝛾22𝑊1
″(𝑒2)𝑆(𝑥 − 𝑒2), 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 
𝑊𝑛(𝑥) = 𝑊𝑛−1(𝑥) + 𝛾2𝑛𝑊𝑛−1
″ (𝑒𝑛)𝑆(𝑥 − 𝑒𝑛). 
Đưa vào hàm số K(x) cùng các đạo hàm của nó được xác định như sau 
𝐾𝑤
(𝑝)(𝑥) = {
0: 𝑥 < 0;
𝑆(𝑝)(𝑥): 𝑥 ≥ 0;
; 𝑝 = 0, 1, 2, 3, . .. 
và ký hiệu 
 𝜇𝑗 = 𝛾2𝑗[𝑊0
″(𝑒𝑗) + ∑ 𝜇𝑘𝑆
″(𝑒𝑗 − 𝑒𝑘)
𝑗−1
𝑘=1 ], 𝑗 = 1, . . . , 𝑛, (2.30) 
ta có thể biểu diễn dạng dao động tổng quát của cả dầm ở dạng 
𝑊(𝑥) = 𝑊0(𝑥) + ∑ 𝜇𝑘𝐾𝑤(𝑥 − 𝑒𝑘)
𝑛
𝑘=1 . (2.31) 
Lưu ý rằng trong công thức trên 0( , )W x  là dạng dao dộng của dầm không có 
vết nứt nên có dạng 
 𝑊0(𝑥) = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝜆 𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝜆 𝑥 + 𝐶3 𝑐𝑜𝑠 𝜆 𝑥 + 𝐶4 𝑠𝑖𝑛 𝜆 𝑥. (2.32) 
Nếu ta biểu diễn 
𝜇𝑘 = 𝜇𝑘1𝐶1 + 𝜇𝑘2𝐶2 + 𝜇𝑘3𝐶3 + 𝜇𝑘4𝐶4 
và sử dụng (2.32) thì biểu thức (2.31) có thể viết lại thành 
 𝑊(𝑥) = 𝐶1Φ1(𝑥, 𝜆) + 𝐶2Φ2(𝑥, 𝜆) + 𝐶3Φ3(𝑥, 𝜆) + 𝐶4Φ4(𝑥, 𝜆), (2.33) 
trong đó các hàm 
Φ1(𝑥, 𝜆) = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝜆 𝑥 + ∑ 𝜇𝑘1𝐾𝑤(𝑥 − 𝑒𝑘)
𝑛
𝑘=1 , 
Φ2(𝑥, 𝜆) = 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝜆 𝑥 + ∑ 𝜇𝑘2𝐾𝑤(𝑥 − 𝑒𝑘)
𝑛
𝑘=1 , 
Φ3(𝑥, 𝜆) = 𝑐𝑜𝑠 𝜆 𝑥 + ∑ 𝜇𝑘3𝐾𝑤(𝑥 − 𝑒𝑘)
𝑛
𝑘=1 , 
Φ4(𝑥, 𝜆) = 𝑠𝑖𝑛 𝜆 𝑥 + ∑ 𝜇𝑘4𝐾𝑤(𝑥 − 𝑒𝑘)
𝑛
𝑘=1 . 
Sử dụng các hàm dạng dao động (2.33) và các công thức (2.13) ta có thể tính 
được ma trận độ cứng động cho phần tử dầm có vết nứt ở dạng (2.15). 
2.2. Mô hình độ cứng động của kết cấu tháp có vết nứt 
2.2.1. Lưới chia nút và phần tử 
Xét mô hình kết cấu tháp cho trong Hình 2.3, trong đó xác định 4 phần tử dầm 
E1, E2, E3, E4; 2 phần tử thanh (chỉ chịu kéo nén) E5, E6. Do nút liên kết với nền 
được coi là cố định nên bị loại ngay khỏi các điểm nút, do vậy chỉ còn lại 4 nút N1, 
N2, N3, N4. Ngoài ra còn có 3 khối lượng tập trung tại các nút N1, N2, N4 ký hiệu là 
𝑚1, 𝑚2, 𝑚4. 
29 
Hình 2.3. Sơ đồ nút và phần tử của kết cấu tháp. 
2.2.2. Chuyển vị nút (cục bộ và tổng thể) 
Xác định các chuyển vị nút tổng thể của kết cấu như trong Hình 2.4, bao gồm 
12 chuyển vị nút, tức 12 bậc tự do, tạo thành véc tơ: 
{𝐔} = {U1, V1, Θ1, U2, V2, Θ2, U3, V3, Θ3, U4, V4, Θ4}. 
Từ đó ta xác định được chuyển vị nút cục bộ cho các phần tử, được trình bày 
trong Bảng 2.1. 
Bảng 2.1. Chuyển vị nút – bậc tự do cục bộ của phần tử 
biểu diễn qua chuyển vị nút tổng thể. 
Chuyển vị nút Axial-1 Bending-1 Slope-1 Axial-2 Bending-2 Slope-2 
Phần tử E1 0 0 0 𝑉1 −𝑈1 Θ1 
E2 𝑈1 𝑉1 Θ1 𝑈2 𝑉2 Θ2 
E3 𝑉1 −𝑈1 Θ1 𝑉3 −𝑈3 Θ3 
E4 𝑈4 𝑉4 Θ4 𝑈1 𝑉1 Θ1 
E5 𝑈51 0 0 𝑈52 0 0 
𝑈51 = 𝑈4 cos 𝛼45 +𝑉4 sin 𝛼45, 𝑈52 = 𝑈3 cos 𝛼45 +𝑉3 sin 𝛼45 
E6 𝑈61 0 0 𝑈62 0 0 
𝑈61 = 𝑈3 cos 𝛼26 − 𝑉3 sin 𝛼26, 𝑈62 = 𝑈2 cos 𝛼26 −𝑉2 sin 𝛼26 
𝛼45 – góc giữa phần tử 4 và 5; 𝛼26 – góc giữa phần tử 2 và 6 
E5 
E1 
E2 
E3 
E4 
N4 
N1 
N2 
N3 
E6 
30 
Hình 2.4. Xác định các chuyển vị nút tổng thể. 
2.2.3. Lực đầu nút 
Sơ đồ lực đầu nút được xác định trong Hình 2.4 và theo các công thức được 
xác định ở trên ta có thể tính được các lực đầu nút của các phần tử như sau: 
Phần tử E1: 
𝑈1(𝑥, 𝜔) = ℎ2(𝑥)𝑉1(𝜔), 
𝑊1(𝑥, 𝜔) = −𝐻3(𝑥)𝑈1 + 𝐻4(𝑥)𝛩1; 
𝑁12 = 𝐸𝐴1ℎ2
′ (𝐿1, 𝜔)𝑉1 + 𝐸𝐴1�̂�𝑞1
′ (𝐿1, 𝜔); 
𝑀12 = −𝐸𝐼1𝐻3
′′(𝐿1)𝑈1 + 𝐸𝐼1𝐻4
′′(𝐿1)𝛩1; 
𝑄12 = 𝐸𝐼1𝐻3
′′′(𝐿1)𝑈1 − 𝐸𝐼1𝐻4
′′′(𝐿1)𝛩1. 
Phần tử E2: 
𝑈2(𝑥, 𝜔) = ℎ1(𝑥)𝑈1 + ℎ2(𝑥)𝑈2; 
𝑁21 = −𝐸𝐴2ℎ1
′ (0)𝑈1 − 𝐸𝐴2ℎ2
′ (0)𝑈2; 
𝑁22 = 𝐸𝐴2ℎ1
′ (𝐿2)𝑈1 + 𝐸𝐴2ℎ2
′ (𝐿2)𝑈2; 
𝑊2(𝑥, 𝜔) = 𝐻1(𝑥)𝑉1 + 𝐻2(𝑥)𝛩1 + 𝐻3(𝑥)𝑉2 + 𝐻4(𝑥)𝛩2; 
𝑀21 = −[𝐸𝐼2𝐻1
′′(0)𝑉1+𝐸𝐼2𝐻2
′′(0)𝛩1+𝐸𝐼2𝐻3
′′(0)𝑉2+𝐸𝐼2𝐻4
′′(0)𝛩2]; 
U2 U1 
U3 𝜃3 
V4 
V3 
V1 
𝜃1 𝜃4 U4 𝜃2 
V2 
31 
𝑀22 = 𝐸𝐼2𝐻1
′′(𝐿2)𝑉1+𝐸𝐼2𝐻2
′′(𝐿2)𝛩1+𝐸𝐼2𝐻3
′′(𝐿2)𝑉2+𝐸𝐼2𝐻4
′′(𝐿2)𝛩2; 
𝑄21 = 𝐸𝐼2𝐻1
′′′(0)𝑉1+𝐸𝐼2𝐻2
′′′(0)𝛩1+𝐸𝐼2𝐻3
′′′(0)𝑉2+𝐸𝐼2𝐻4
′′′(0)𝛩2; 
𝑄22 = −[𝐸𝐼2𝐻1
′′′(𝐿2)𝑉1+𝐸𝐼2𝐻2
′′′(𝐿2)𝛩1+𝐸𝐼2𝐻3
′′′(𝐿2)𝑉2+𝐸𝐼2𝐻4
′′′(𝐿2)𝛩2]. 
Phần tử E3: 
𝑈3(𝑥, 𝜔) = ℎ1(𝑥)𝑉1 + ℎ2(𝑥)𝑉3; 
𝑊3(𝑥, 𝜔) = −𝐻1(𝑥)𝑈1 + 𝐻2(𝑥)𝛩1 − 𝐻3(𝑥)𝑈3 + 𝐻4(𝑥)𝛩3; 
𝑁31 = −𝐸𝐴3ℎ1
′ (0)𝑉1−𝐸𝐴3ℎ2
′ (0)𝑉3; 
𝑁32 = 𝐸𝐴3ℎ1
′ (𝐿3)𝑉1+𝐸𝐴3ℎ2
′ (𝐿3)𝑉3; 
𝑀31 = 𝐸𝐼3𝐻1
′′(0)𝑈1 − 𝐸𝐼3𝐻2
′′(0)𝛩1 + 𝐸𝐼3𝐻3
′′(0)𝑈3 − 𝐸𝐼3𝐻4
′′(0)𝛩3; 
𝑀32 = −𝐸𝐼3𝐻1
′′(𝐿3)𝑈1 + 𝐸𝐼3𝐻2
′′(𝐿3)𝛩1 − 𝐸𝐼3𝐻3
′′(𝐿3)𝑈3 + 𝐸𝐼3𝐻4
′′(𝐿3)𝛩3; 
𝑄31 = −𝐸𝐼3𝐻1
′′′(0)𝑈1 + 𝐸𝐼3𝐻2
′′′(0)𝛩1 − 𝐸𝐼3𝐻3
′′′(0)𝑈3 + 𝐸𝐼3𝐻4
′′′(0)𝛩3; 
𝑄32 = 𝐸𝐼3𝐻1
′′′(𝐿3)𝑈1 − 𝐸𝐼3𝐻2
′′′(𝐿3)𝛩1 + 𝐸𝐼3𝐻3
′′′(𝐿3)𝑈3 − 𝐸𝐼3𝐻4
′′′(𝐿3)𝛩3. 
Hình 2.5. Xác định các lực nút trong cần trục. 
N22 
N32 
N41 N42 
N62 
N61 
N51 
N52 
N31 
N21 
N12 
Q3
M3
Q32 
M32 
M41 
Q4
M12 
Q12 
M21 Q21 
M42 
Q42 
M22 
Q22 
32 
Phần tử E4: 
𝑈4(𝑥, 𝜔) = ℎ1(𝑥)𝑈4 + ℎ2(𝑥)𝑈1; 
𝑁41 = −𝐸𝐴4ℎ1
′ (0)𝑈4 − 𝐸𝐴4ℎ2
′ (0)𝑈1; 
𝑁42 = 𝐸𝐴4ℎ1
′ (𝐿4)𝑈4 + 𝐸𝐴4ℎ2
′ (𝐿4)𝑈1; 
𝑊4(𝑥, 𝜔) = 𝐻1(𝑥)𝑉4 + 𝐻2(𝑥)𝛩4 + 𝐻3(𝑥)𝑉1 + 𝐻4(𝑥)𝛩1; 
𝑀41 = −[𝐸𝐼4𝐻1
′′(0)𝑉4 + 𝐸𝐼4𝐻2
′′(0)𝛩4 + 𝐸𝐼4𝐻3
′′(0)𝑉1 + 𝐸𝐼4𝐻4
′′(0)𝛩1]; 
𝑀42 = 𝐸𝐼4𝐻1
′′(𝐿4)𝑉4 + 𝐸𝐼4𝐻2
′′(𝐿4)𝛩4 + 𝐸𝐼4𝐻3
′′(𝐿4)𝑉1 + 𝐸𝐼4𝐻4
′′(𝐿4)𝛩1 
𝑄41 = 𝐸𝐼4𝐻1
′′′(0)𝑉4 + 𝐸𝐼4𝐻2
′′′(0)𝛩4 + 𝐸𝐼4𝐻3
′′′(0)𝑉1 + 𝐸𝐼4𝐻4
′′′(0)𝛩1; 
𝑄42 = −𝐸𝐼4𝐻1
′′′(𝐿4)𝑉4 − 𝐸𝐼4𝐻2
′′′(𝐿4)𝛩4 − 𝐸𝐼4𝐻3
′′′(𝐿4)𝑉1𝐸𝐼4𝐻4
′′′(𝐿4)𝛩1. 
Phần tử E5: 
𝑈5(𝑥, 𝜔) = ℎ1(𝑥)𝑈51 + ℎ2(𝑥)𝑈52; 
𝑁51 = −𝐸𝐴5ℎ1
′ (0)𝑈51 − 𝐸𝐴5ℎ2
′ (0)𝑈52; 
𝑁52 = 𝐸𝐴5ℎ1
′ (𝐿5)𝑈51 + 𝐸𝐴5ℎ2
′ (𝐿5)𝑈52; 
𝑈51 = 𝑈4 cos 𝛼45+𝑉4 sin 𝛼45, 
𝑈52 = 𝑈3 cos 𝛼45+𝑉3 sin 𝛼45; 
𝑁51 = −𝐸𝐴5[ℎ1
′ (0) cos 𝛼45 𝑈4 + ℎ1
′ (0) sin 𝛼45 𝑉4 + 
 +ℎ2
′ (0) cos 𝛼45𝑈3 + ℎ2
′ (0) sin 𝛼45𝑉3] ; 
𝑁52 = 𝐸𝐴5[ℎ1
′ (𝐿5) cos 𝛼45 𝑈4 + ℎ1
′ (𝐿5) sin 𝛼45 𝑉4 + 
 +ℎ2
′ (𝐿5) cos 𝛼45 𝑈3 + ℎ2
′ (𝐿5) sin 𝛼45 𝑉3. 
Phần tử E6: 
𝑈6(𝑥, 𝜔) = ℎ1(𝑥)𝑈61 + ℎ2(𝑥)𝑈62; 
𝑁61 = −𝐸𝐴6ℎ1
′ (0)𝑈61 − 𝐸𝐴6ℎ2
′ (0)𝑈62; 
𝑁62 = 𝐸𝐴6ℎ1
′ (𝐿6)𝑈61 + 𝐸𝐴6ℎ2
′ (𝐿6)𝑈62; 
𝑈61 = 𝑈3 cos 𝛼26 − 𝑉3 sin 𝛼26, 
𝑈62 = 𝑈2 cos 𝛼26 −𝑉2 sin 𝛼26 ; 
𝑁61 = −𝐸𝐴6[ℎ1
′ (0) cos 𝛼26 𝑈3 − ℎ1
′ (0) sin 𝛼26 𝑉3 + 
+ℎ2
′ (0) cos 𝛼26𝑈2 − ℎ2
′ (0) sin 𝛼26𝑉2] = 
 = −𝐸𝐴6ℎ2
′ (0) cos 𝛼26𝑈2 + 𝐸𝐴6ℎ2
′ (0) sin 𝛼26𝑉2 −
 −𝐸𝐴6ℎ1
′ (0) cos 𝛼26 𝑈3 + 𝐸𝐴6ℎ1
′ (0) sin 𝛼26 𝑉3; 
𝑁62 = 𝐸𝐴6ℎ2
′ (𝐿6) cos 𝛼26 𝑈2 − 𝐸𝐴6ℎ2
′ (𝐿6) sin 𝛼26 𝑉2 + 
 +𝐸𝐴6ℎ1
′ (𝐿6) cos 𝛼26 𝑈3−𝐸𝐴6ℎ1
′ (𝐿6) sin 𝛼26 𝑉3. 
33 
Phương trình cân bằng tại các nút kết cấu tháp, cân bằng tất cả các lực tại các 
nút ta được: 
Node 1: 
𝑁42 − 𝑁21 − 𝑄12 − 𝑄31 −𝑚1𝜔
2𝑈1 = 0; 
𝑁12 − 𝑁31 + 𝑄21 + 𝑄42 −𝑚1𝜔
2𝑉1 = 0; 
𝑀12 +𝑀31 +𝑀21 +𝑀42 = 0; 
Node 2: 
𝑁22 + 𝑁62 𝑐𝑜𝑠 𝛼26 −𝑚2𝜔
2𝑈2 = 0; 
𝑄22 − 𝑁62 𝑠𝑖𝑛 𝛼26 −𝑚2𝜔
2𝑉2 = 0; 
𝑀22 = 0; 
Node 3: 
𝑁52 𝑐𝑜𝑠 𝛼45 − 𝑁61 cos 𝛼26 − 𝑄32 = 0; 
𝑁32 + 𝑁52sin𝛼45 + 𝑁61sin𝛼26 = 0; 
𝑀32 = 0. 
Node 4: 
𝑁51 𝑐𝑜𝑠 𝛼45 + 𝑁41 +𝑚4𝜔
2𝑈4 = 0; 
𝑄41 − 𝑁51 𝑠𝑖𝑛 𝛼45 −𝑚4𝜔
2𝑉4 = 0; 
𝑀41 = 0; 
Thay các biểu thức của các lực nút xác định trên vào các phương trình cân 
bằng tại các nút nêu trên ta được phương trình 
[𝐊(𝜔)]{𝐔} = {𝐏}, 
trong đó ký hiệu 
{𝐔} = {𝑈1, 𝑉1, Θ1, 𝑈2, 𝑉2, Θ2, 𝑈3, 𝑉3, Θ3, 𝑈4, 𝑉4, Θ4}
𝑇; 
lực nút 
{𝐏} = {𝑃1, 𝑃2, P3, 𝑃4, 𝑃5, P6, 𝑃7, 𝑃8, P9, 𝑃10, 𝑃11, P12}
𝑇 
trong đó 
𝑃1(𝜔) = 𝐸𝐼3�̂�𝑞3
′′′(0,𝜔) − 𝐸𝐴4�̂�𝑞4
′ (ℓ4, 𝜔) − 𝐸𝐴2�̂�𝑞2
′ (0, 𝜔) + 𝐸𝐼1�̂�𝑞1
′′′(ℓ1, 𝜔); 
𝑃2(𝜔) = −[𝐸𝐴1�̂�𝑞1
′ (ℓ1, 𝜔)+𝐸𝐴3�̂�𝑞3
′ (0, 𝜔)+𝐸𝐼2�̂�𝑞2
′′′(0,𝜔) + 𝐸𝐼4�̂�𝑞4
′′′(ℓ4, 𝜔)]; 
 𝑃3(𝜔) = 𝐸𝐼4�̂�𝑞4
′′ (ℓ4, 𝜔) + 𝐸𝐼3�̂�𝑞3
′′ (0,𝜔) + 𝐸𝐼2�̂�𝑞2
′′ (0,𝜔) + 𝐸𝐼1�̂�𝑞1
′′ (ℓ1, 𝜔). 
𝑃4(𝜔) = −𝐸𝐴2�̂�𝑞2
′ (ℓ2, 𝜔); 
𝑃5(𝜔) = 𝐸𝐼2�̂�𝑞2
′′′(ℓ2, 𝜔); 
34 
𝑃6(𝜔) = −𝐸𝐼2�̂�𝑞2
′′ (ℓ2, 𝜔); 
𝑃7(𝜔) = 𝐸𝐼3�̂�𝑞3
′′′(ℓ3, 𝜔); 
𝑃8(𝜔) = −𝐸𝐴3�̂�𝑞3
′ (ℓ3, 𝜔); 
𝑃9(𝜔) = 𝐸𝐼3�̂�𝑞3′′ℓ3, 𝜔; 
𝑃10(𝜔) = −𝐸𝐴4�̂�𝑞4
′ (0, 𝜔); 
𝑃11(𝜔) = −𝐸𝐼4�̂�𝑞4
′′′(0, 𝜔); 
𝑃12(𝜔) = −𝐸𝐼4�̂�𝑞4
′′ (0, 𝜔). 
và ma trận độ cứng động bằng 
[𝐊(𝜔)] =
=
[
𝐾11 0 𝐾13
0 𝐾22 𝐾23
𝐾31 𝐾32 𝐾33
𝐾14 0 0
0 𝐾25 𝐾26
0 𝐾35 𝐾36
𝐾17 0 𝐾19
0 𝐾28 0
𝐾37 0 𝐾39
𝐾1,10 0 0
0 𝐾2,11 𝐾2,12
0 𝐾3,11 𝐾3,12
𝐾41 0 0
0 𝐾52 𝐾53
0 𝐾62 𝐾63
𝐾44 𝐾45 0
𝐾54 𝐾55 𝐾56
0 𝐾65 𝐾66
𝐾47 𝐾48 0
𝐾57 𝐾58 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
𝐾71 0 𝐾73
0 𝐾82 0
𝐾91 0 𝐾93
𝐾74 𝐾75 0
𝐾84 𝐾85 0
0 0 0
𝐾77 𝐾78 𝐾79
𝐾87 𝐾88 0
𝐾97 0 𝐾99
𝐾7,10 𝐾7,11 0
𝐾8,10 𝐾8,11 0
0 0 0
𝐾10,1 0 0
0 𝐾11,2 𝐾11,3
0 𝐾12,2 𝐾12,3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
𝐾10,7 𝐾10,8 0
𝐾11,7 𝐾11,8 0
0 0 0
𝐾10,10 𝐾10,11 0
𝐾11,10 𝐾11,11 𝐾11,12
0 𝐾12,11 𝐾12,12]
với các phần tử bằng 
𝐾11 = −𝐸𝐴2ℎ1
′ (0)−𝐸𝐼1𝐻3
′′′(𝐿1) + 𝐸𝐴4ℎ2
′ (𝐿4) + 𝐸𝐼3𝐻1
′′′(0) − 𝑚1𝜔
2; 
𝐾13 = 𝐸𝐼1𝐻4
′′′(𝐿1) − 𝐸𝐼3𝐻2
′′′(0); 
𝐾14 = −𝐸𝐴2ℎ2
′ (0); 𝐾17 = 𝐸𝐼3𝐻3
′′′(0); 
𝐾19 = −𝐸𝐼3𝐻4
′′′(0); 𝐾1,10 = 𝐸𝐴4ℎ1
′ (𝐿4). 
𝐾22 = 𝐸𝐴1ℎ2
′ (𝐿1, 𝜔)−𝐸𝐴3ℎ1
′ (0) + 𝐸𝐼2𝐻1
′′′(0) − 𝐸𝐼4𝐻3
′′′(𝐿4) − 𝑚1𝜔
2; 
𝐾23 = 𝐸𝐼2𝐻2
′′′(0) − 𝐸𝐼4𝐻4
′′′(𝐿4); 
𝐾25 = 𝐸𝐼2𝐻3
′′′(0); 𝐾26 = 𝐸𝐼2𝐻4
′′′(0); 
𝐾28 = −𝐸𝐴3ℎ2
′ (0); 𝐾2,11 = −𝐸𝐼4𝐻1
′′′(𝐿4); 
 𝐾2,12 = −𝐸𝐼4𝐻2
′′′(𝐿4). 
𝐾31 = 𝐸𝐼3𝐻1
′′(0)−𝐸𝐼1𝐻3
′′(𝐿1); 
𝐾32 = 𝐸𝐼4𝐻3
′′(𝐿4) − 𝐸𝐼2𝐻1
′′(0); 
𝐾33 = 𝐸𝐼1𝐻4
′′(𝐿1)−𝐸𝐼2𝐻2
′′(0) − 𝐸𝐼3𝐻2
′′(0) + 𝐸𝐼4𝐻4
′′(𝐿4); 
𝐾35 = −𝐸𝐼2𝐻3
′′(0); 𝐾36 = −𝐸𝐼2𝐻4
′′(0); 
35 
𝐾37 = 𝐸𝐼3𝐻3
′′(0); 𝐾39 = −𝐸𝐼3𝐻4
′′(0); 
𝐾3,11 = 𝐸𝐼4𝐻1
′′(𝐿4); 𝐾3,12 = 𝐸𝐼4𝐻2
′′(𝐿4); 
𝐾41 = 𝐸𝐴2ℎ1
′ (𝐿2); 
𝐾44 = 𝐸𝐴2ℎ2
′ (𝐿2) + 𝐸𝐴6ℎ2
′ (𝐿6) cos 𝛼26 cos 𝛼26 −𝑚2𝜔
2 ; 
𝐾45 = −𝐸𝐴6ℎ2
′ (𝐿6) sin 𝛼26 cos 𝛼26 ; 
 𝐾47 = 𝐸𝐴6ℎ1
′ (𝐿6) cos 𝛼26 cos 𝛼26 ; 
𝐾48 = −𝐸𝐴6ℎ1
′ (𝐿6) sin 𝛼26 cos 𝛼26. 𝐾52 = −𝐸𝐼2𝐻1
′′′(𝐿2); 
𝐾53 = −𝐸𝐼2𝐻2
′′′(𝐿2); 𝐾54 = −𝐸𝐴6ℎ2
′ (𝐿6) sin 𝛼26 cos 𝛼26 ; 
𝐾55 = 𝐸𝐴6ℎ2
′ (𝐿6) sin 𝛼26 sin 𝛼26−𝐸𝐼2𝐻3
′′′(𝐿2) − 𝑚2𝜔
2; 
𝐾56 = −𝐸𝐼2𝐻4
′′′(𝐿2); 𝐾57 = −𝐸𝐴6ℎ1
′ (𝐿6) sin 𝛼26 cos 𝛼26 ; 
𝐾58 = 𝐸𝐴6ℎ1
′ (𝐿6) sin 𝛼26 sin 𝛼26 ; 
𝐾62 = 𝐸𝐼2𝐻1
′′(𝐿2); 𝐾63 = 𝐸𝐼2𝐻2
′′(𝐿2); 
𝐾65 = 𝐸𝐼2𝐻3
′′(𝐿2); 𝐾66 = 𝐸𝐼2𝐻4
′′(𝐿2); 𝐾71 = −𝐸𝐼3𝐻1
′′′(𝐿3); 
𝐾73 = 𝐸𝐼3𝐻2
′′′(𝐿3); 𝐾74 = −𝐸𝐴6ℎ2
′ (0) cos 𝛼26 cos 𝛼26; 
𝐾75 = 𝐸𝐴6ℎ2
′ (0) sin 𝛼26 cos 𝛼26 ; 
𝐾77 = 𝐸𝐴5ℎ2
′ (𝐿5) cos 𝛼45 cos 𝛼45 − 
 −𝐸𝐴6ℎ1
′ (0) cos 𝛼26 cos 𝛼26 − 𝐸𝐼3𝐻3
′′′(𝐿3); 
𝐾78 = 𝐸𝐴5ℎ2
′ (𝐿5) sin 𝛼45 cos 𝛼45+𝐸𝐴6ℎ1
′ (0) cos 𝛼26 sin 𝛼26 ; 
𝐾79 = 𝐸𝐼3𝐻4
′′′(𝐿3); 𝐾7,10 = 𝐸𝐴5ℎ1
′ (𝐿5) cos 𝛼45 cos 𝛼45 ; 
𝐾7,11 = 𝐸𝐴5ℎ1
′ (𝐿5) cos 𝛼45 sin 𝛼45 . 𝐾84 = 𝐸𝐴6ℎ2
′ (0) sin 𝛼26 cos 𝛼26 ; 
𝐾85 = −𝐸𝐴6ℎ2
′ (0) sin 𝛼26 sin 𝛼26; 𝐾82 = 𝐸𝐴3ℎ1
′ (𝐿3); 
𝐾87 = 𝐸𝐴5ℎ2
′ (𝐿5) sin 𝛼45 cos 𝛼45+𝐸𝐴6ℎ1
′ (0) sin 𝛼26 cos 𝛼26 ; 
𝐾88 = [
𝐸𝐴3ℎ2
′ (𝐿3) + 𝐸𝐴5ℎ2
′ (𝐿5) sin 𝛼45 sin 𝛼45 −
− − 𝐸𝐴6ℎ1
′ (0) sin 𝛼26 sin 𝛼26
] ; 
𝐾8,10 = 𝐸𝐴5ℎ1
′ (𝐿5) sin 𝛼45 cos 𝛼45 ; 𝐾8,11 = 𝐸𝐴5ℎ1
′ (𝐿5) sin 𝛼45 sin 𝛼45; 
𝐾91 = −𝐸𝐼3𝐻1
′′(𝐿3); 𝐾93 = 𝐸𝐼3𝐻2
′′(𝐿3); 𝐾97 = −𝐸𝐼3𝐻3
′′(𝐿3); 
𝐾99 = 𝐸𝐼3𝐻4
′′(𝐿3). 𝐾10,1 = −𝐸𝐴4ℎ2
′ (0); 
𝐾10,7 = −𝐸𝐴5ℎ2
′ (0) cos 𝛼45 cos 𝛼45 ; 
𝐾10,8 = −𝐸𝐴5ℎ2
′ (0) cos 𝛼45 sin 𝛼45 ; 
 𝐾10,11 = −𝐸𝐴5ℎ1
′ (0) cos 𝛼45 sin 𝛼45 ; 
𝐾10,10 = −𝐸𝐴5ℎ1
′ (0) cos 𝛼45 cos 𝛼45−𝐸𝐴4ℎ1
′ (0) − 𝑚4𝜔
2; 
36 
𝐾11,2 = 𝐸𝐼4𝐻3
′′′(0); 𝐾11,3 = 𝐸𝐼4𝐻4
′′′(0); 
𝐾11,7 = −𝐸𝐴5ℎ2
′ (0) sin 𝛼45 cos 𝛼45 ; 
𝐾11,8 = −𝐸𝐴5ℎ2
′ (0) sin 𝛼45 sin 𝛼45 ; 
 𝐾11,10 = −𝐸𝐴5ℎ1
′ (0) sin 𝛼45 cos 𝛼45 ; 
𝐾11,11 = 𝐸𝐼4𝐻1
′′′(0) − 𝐸𝐴5ℎ1
′ (0) sin 𝛼45 sin 𝛼45 −𝑚4𝜔
2; 
𝐾11,12 = 𝐸𝐼4𝐻2
′′′(0). 𝐾12,2 = 𝐸𝐼4𝐻3
′′(0); 𝐾12,3 = 𝐸𝐼4𝐻4
′′(0); 
𝐾12,11 = 𝐸𝐼4𝐻1
′′(0); 𝐾12,12 = 𝐸𝐼4𝐻2
′′(0). 
2.3. Kết luận Chương 2 
Trong chương này, tác giả đã phát triển phương pháp độ cứng động để tính 
toán đáp ứng động và các đặc trưng dao động của kết cấu tháp có vết nứt. Đã trình 
bày việc xây dựng mô hình độ cứng động lực cho phần tử thanh và dầm chịu tải trọng 
phân bố và phần tử thanh, dầm chứa nhiều vết nứt. Sau đó áp dụng để xây dựng mô 
hình độ cứng động cho kết cấu tháp có vết nứt, trong đó ma trận độ cứng động của 
kết cấu khung gồm 4 phần tử và 4 nút được xây dựng bằng phương trình cân bằng 
các lực và mô men tại các nút. Mô hình độ cứng động của một kết cấu tháp rút gọn 
này rất thuận tiện cho việc tính toán tần số riêng và đáp ứng tần số của kết cấu chịu 
tải trọng phân bố phụ thuộc vào các tham số kết cấu và vết nứt. Mô hình này được áp 
dụng để tính toán số trong các chương sau. 
37 
CHƯƠNG 3. CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG KẾT CẤU KHUNG THÁP 
BẰNG TẦN SỐ RIÊNG 
Nội dung chính của chương này là trình bày bài toán chẩn đoán vết nứt trong 
kết cấu khung tháp bằng tần số riêng, trong đó quan trọng nhất là việc nghiên cứu 
tính toán ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng làm cơ sở dữ liệu để xây dựng một 
phương pháp xác định các phần tử bị nứt. Tu