Luận án Khối lượng các trường hiệu dụng theo các chiều phụ trội

=
 
 = − − 
 
 , 
với các trạng thái kích thích 
 1 1 1 1
1 1
( ... , ...
~ ... . ... 0p qp q
p q
n n m m
n n m m
   
+ ++ +
. 
Ta thực hiện tính: 
 37 
+ Trạng thái kích thích đầu tiên: 
1 1
1 1
2
0
1
0 8 0 8 0kkn n
k
p a
 
 
+ + 
−
=
= − − 
 1 1
1 1 0
1
8 , 0 8 0k kk n k
k
a
 
  
+ + 
+
=
 = − + − 
 
 1
1 0
1
8 , 0 8 0kk n
k
a

 
+ 
+
=
 = − −
 
 ( )1 1,0 0
1
8 8 0k n k
k
k a
 
  
+
−
=
= − − − 
 11 08 0 8 0n a

 
+= − . 
Do đó p2 = 8n1 – 8a0. 
+ Trạng thái kích thích thứ 2: 
1 2 1 2
1 2 1 2
2
0
1
| 0 8 | 0 8 | 0kkn n n n
k
p a
   
 
+ + + +
−
=
= − − 
1 2 1 2
1 2 1 2 0
1 1
8{ [ , ] | 0 | 0 } 8 | 0k kk kn n n n
k k
a
    
  
+ + + ++
−
= =
= − + −  
1 2 1 2 2
1 2 1 2 2 0
1 1
8{ [ , ] | 0 ([ , ] | 0 } 8 | 0k k kk kn n n n n
k k
a
     
   
+ + + + ++
−
= =
= − + + −  
1 2
1 2
1 2 1 2 2
1 2 1 2 2
2
0
1 1
| 0
8{ [ , ] | 0 [ , ] | 0 } 8 | 0
n n
k kk kn n n n n
k k
p
a
 
     
 
+ +
+ + + + ++
−
= =
=
= − + − 
2 11 2
1,0 2,02 1 0
1 1
8( (-k ) | 0 (-k ) | 0 ) 8 | 0k n k nk kn n
k k
a
   
     
+ ++ +
− −
= =
= − + −  
2 1
1 2 11 2 2 0
8( n | 0 n | 0 ) 8 | 0nn n n a
   + +−−= − − − − 
1 2 2 1
1 2 2 11 2 0
8(n | 0 n | 0 ) 8 | 0
n n n n
a
    + + + += + − 
1 2
1 21 2 0
8(n n ) | 0 8 | 0
n n
a
  + += + − . 
Do đó 2 1 2 08( ) 8p n n a= + − . 
 38 
+ Các trạng thái kích thích cao hơn: 
2
0
1
8
p
i
i
p a n
=
  
= − + 
 
 (1.158) 
( ) ( )1 2 1 1
1 1
( , ,..., )
0 0 0 0| ... . ... | 0
p qp
p q
vn n n v
n n m m
L a L a
 
+ ++ +
− = − 
1 1
1 1
2
0
1
1
... . ... | 0
8
p q
p q
vv
kk n n m m
k
p a

 
+ ++ + 
−
=
= − − − 
 
1 1 1 1
1 1 1 1
2
1
... . ... 8 . . ... . ... | 0p q p q
p q p q
v vv v
kkn n m m n n m m
k
p
  
 
+ + + ++ + + + 
−
=
 
 = − 
 
 . 
Thực hiện tính toán: 
+ Trạng thái kích thích đầu tiên: 
1 1
1 1
2
0
1 1
| 0 8 8( | 0 8 | 0kkn n
k k
p a
 
 
+ + 
−
= =
= − = − −  
1 1 1
1 1 0
1
8( ( , . | 0 8 | 0k kk n k
k
a
  
  
+ + + 
=
 = − + −
 
1
1 0
1
8( , | 0 8 | 0kk n
k
a
 
 
+ + 
=
 = − −
 
1
1,0 0
1
8 . 8 | 0k n k
k
k

  
+ 
−
=
= − − − 
 
11 0
8n | 0 8 | 0
n
a

+
= − . 
Do đó 2 1 08 8p n a= − . 
+ Trạng thái kích thích thứ 2: 
1 2 1 2
1 1 1 2
2
0
1
| 0 8 | 0 8 | 0kkn n n n
k
p
   
 
+ + + + 
−
=
= − − 
1 2 1 2
1 2 1 2 0
1 1
8 , | 0 | 0 8 | 0k kk kn n n n
k k
    
  
+ + + 
−
= =
  = − + −  
  
1 2 2
1 1 2 0
1
8 ( , ) | 0 8 | 0k kk n n n
k
   
  
+ + + 
=
 = − + −
 
 39 
( )2 11 2 2 11 2 08 | 0 | 0 8 | 0n n n nn n   
+
− −= − − − − 
( )1 2 2 11 2 2 11 2 08 | 0 | 0 8 | 0n n n nn n    
+ + + +
= + − 
( ) 1 2
1 21 2 0
8 | 0 8 | 0
n n
n n
  
+ +
= + − . 
Do đó ( )2 1 2 08 8p n n a= + − . 
+ Các trạng thái kích thích tiếp theo: 
2
0
1
8
q
i
i
p a m
=
  
= − + 
 
 . (1.159) 
Từ (1.158) và (1.159), ta có: 
2 2
0 0
1 1
8 8
p q
i i
i i
M p a n a m
= =
= = − + = − + 
  , (1.160) 
với điều kiện để trạng thái kích thích khả dĩ: 
1 1
p q
i i
i i
n m
= =
=  . (1.161) 
Từ (1.156) và (1.160), ta thấy rằng: Các trạng thái nền không kích thích (p=0, 
q=0) có bình phương khối lượng thấp nhất, 2 02m a= − (với dây mở) và 
2
08m a= −
(với dây đóng). 
Như vậy khi 0 0a thì các trạng thái này có 
2 0m và các hạt tương ứng 
được gọi là tachyon. 
1.4.2. Phổ khối lượng trong siêu dây 
Biểu thức Lagrangian tự do của siêu dây: 
1
2
2
0
1
1
,
1
,
mieànNS
mieànR
s s
s
n n
n
n n
n
sb b
L p
a
nd d






−
=
−
 =
−
=
= − − − 



 (1.162) 
với a = 2 đối với siêu dây mở và a = 8 đối với siêu dây đóng. 
Phổ khối lượng trong siêu dây mở: 
 40 
+ Siêu dây mở NS: 
Từ (1.162), ta có: 
1
| 0
2
oL 
− = 
2
11
2
1 1
| 0
2
n n s s
n
s
p sb b
a
 
  
− −
= =
 −
 − − − = 
  
1 2 1 2
1 1 1 1
1 1
1 1
2
11
2
... ... | 0
1 2 2 ... ... | 0 ,
p q
p q
qp
q
vv v
n n n s s s
vv
n n s s pn s s
n s
p b b b
sb b b b
 
 
 
+ ++ + + +
+++ +
− −
= =
 =
 
= − + + 
 
 
 (1.163) 
với các trạng thái kích thích dạng: 
( )1 1 1 1
1 1
... , ...
| ~ ... ... | 0 , 0, 0
p q p q
p q
n n s s
n n s s
b b n s
   
+ ++ +
 . 
Ta xét số hạng thứ hai trong biểu thức (1.163): 
1 2 1
1 2 1
1
2 ... .b ...b | 0p q
p q
vv
n n n n n s s
n
 
 
+ ++ + +
−
=
− = 
1 2 1
1 2 11 2
2( ... ) ... b ...b | 0p q
p q
vv
p n n n s s
n n n
  
+ ++ + +
= + + + 
1 2 1 2
1 2 1 2
1
2 ... .b b ...b | 0p q
p q
p
vv v
i n n n s s s
i
n
  
+ ++ + + +
=
=  . (1.164) 
Ta xét số hạng thứ ba trong biểu thức (1.163): 
1 2 1
1 2 1
1
2
2 ... . ... 0p q
p q
vv
s s n n n s s
s
sb b b b
 
 
+ ++ + +
−
=
− = 
1 2 1
1 2 11 2
2( ... ) ... . ... 0p q
p q
vv
q n n n s s
s s s b b
  
++ + +
= + + + 
1 2 1
1 2 1
1
2 ... . ... 0p q
p q
q
vv
q n n n s s
i
s b b
  
+ ++ + +
=
=  . (1.165) 
Vậy phổ khối lượng của các trạng thái kích thích siêu dây mở NS: 
 41 
2 2
1 1
1 2
p q
i i
i i
m p n s
= =
= = − + + 
  . (1.166) 
+ Đối với siêu dây mở R: 
Từ (1.162), ta có: 
0 0L  = 
2
1 1
1
0n n n n
n n
p nd d
a
 
  
− −
= =
 −
 − −  = 
  
1 2 1 2
1 2 1 2
2 ... . ... 0p q
p q
vv v
b n n s s s
p d d d
  
+ ++ + + +
 = 
1 2 1
1 2 1
1 1
2 ... . ... 0p q
p q
vv
n n n n n n n s s
n n
nd d d d
  
  
+ ++ + +
− −
= =
 
= − + 
 
  
1 1
1 1
1 1
2 ... ... 0qp
q
vv
n n n n pn s s
n n
nd d d d
 
  
+++ +
− −
= =
 
= − + 
 
  (1.167) 
Ta xét số hạng thứ hai trong biểu thức (1.167): 
1 2 1
1 2 1
1
2 ... ... 0p q
p q
vv
n n n n n s s
n
b b
 
 
+ ++ + +
−
=
− = 
1 2 1
1 2 11 2
2( ... ) ... ... 0p q
p q
vv
p n n n s s
n n n b b
  
+ ++ + +
= + + + 
1 2 1
1 2 1
1
2 ... ... 0p q
p q
p
vv
i n n n s s
i
n b b
  
++ + +
=
=  (1.168) 
Ta xét số hạng thứ ba trong biểu thức (1.167): 
1 2 1
1 2 1
1
2 ... . ... 0p q
p q
vv
n n n n n s s
n
nd d d d
 
 
+ ++ + +
−
=
− = 
1 2 1
1 2 11 2
2( ... s ) ... . ... 0p q
p q
vv
q n n n s s
s s d d
  
+ ++ + +
= + + + 
1 2 1
1 2 1
1
2 ... . ... 0p q
p q
q
vv
q n n n s s
i
s d d
  
+ ++ + +
=
=  (1.169) 
Thay (1.168) và (1.169) vào (1.167), ta được phổ khối lượng của các trạng thái 
kích thích siêu dây mở R: 
 42 
2 2
1 1
2
qn
i q
i i
p m n s
= =
= = + 
  . (1.170) 
Phổ khối lượng trong siêu dây đóng: 
Thực hiện tính toán tương tự như trên, ta được phổ khối lượng của các dao động 
ứng với chuyển động phải và chuyển động trái của quỹ đạo như sau: 
• Đối với siêu dây đóng NS-NS:
2
1 1 1 1
4 8 4 8
p q k
i i i i
i i i i
m n s m r
= = = =
= + + = − + + 
    (1.171) 
• Trạng thái kích thích siêu dây đóng NS-R: 
2
1 1 1 1
4 8 4 8
p q k
i i i i
i i i i
m n s m r
= = = =
= + + = − + + 
    (1.172) 
• Trạng thái kích thích siêu dây đóng R-NS: 
2
1 1 1 1
8 4 8
p q k
i i i i
i i i i
m n s m r
= = = =
= + = − + + 
    (1.173) 
• Trạng thái kích thích siêu dây đóng R-R: 
2
1 1 1 1
8 8
p q k
i i i i
i i i i
m n s m r
= = = =
= + = + 
    (1.174) 
Các kết quả (1.171), (1.172), (1.173) và (1.174) chứng tỏ rằng: 
- Các siêu dây mở NS và siêu dây đóng NS-NS đều có chứa tachyon (ở trạng 
thái không kích thích) với 2 1m = − và 2 4m = − . 
- Các siêu dây có miền R không chứa tachyon. 
1.5. Kết luận chương 1 
Trong chương này chúng tôi trình bày tổng quan về các chiều phụ trội trong lý 
thuyết dây boson và siêu dây, phiếm hàm trường dây và phổ các trạng thái kích thích. 
Từ đó ta thấy rằng lý thuyết dây boson cần không – thời gian 26 chiều (22 chiều phụ 
trội) và các lý thuyết siêu dây cần không - thời gian 10 chiều (6 chiều phụ trội). Sau 
cuộc cách mạng siêu dây lần thứ hai vào năm 1995, năm phương án khác nhau của 
lý thuyết siêu dây được thống nhất thành lý thuyết M với 11 chiều. Như vậy, chúng 
ta thấy rằng các chiều phụ trội đóng vai trò rất quan trọng trong các lý thuyết thống 
 43 
nhất các tương tác cũng như các hạt cơ bản. Đặc biệt, sự xuất hiện của các hạt tach-
yon ( 2 0m ) trong lý thuyết dây và siêu dây. 
 44 
CHƯƠNG II: CƠ CHẾ SINH KHỐI LƯỢNG 
Các chiều phụ trội được xem là không thể thiếu trong các lý thuyết thống nhất các 
tương tác, đặc biệt là lý thuyết siêu dây (đã được trình bày trong chương trước). 
Trong chương này chúng tôi trình bày tổng quan về sự co gọn của các chiều phụ trội 
để chứng tỏ rằng ý nghĩa vật lý của chúng chưa được làm rõ. Từ đó, chúng tôi đưa 
ra điều kiện tuần hoàn và cơ chế sinh khối lượng cho các trường hiệu dụng. Để minh 
họa, chúng tôi áp dụng cơ chế này cho trường vô hướng và trường vector (trường 
spinor sẽ được trình bày trong chương sau). 
Lý thuyết gauge đóng vai trò rất quan trọng trong SM, lý thuyết mô tả rất thành 
công tương tác giữa tương tác mạnh và tương tác điện yếu của các hạt cơ bản, cũng 
như trong các lý thuyết thống nhất các tương tác. Tuy nhiên, lý thuyết gauge đòi hỏi 
các khối lượng gauge boson phải bằng không. Đây là vấn đề gây khó khăn trong 
việc thống nhất các tương tác. Để giải quyết vấn đề này, lý thuyết gauge cần phải 
kết hợp với cơ chế Higgs. Trong chương, chúng tôi đề xuất cơ chế sinh khối lượng 
cho các gauge boson độc lập với cơ chế Higgs, được gọi là bất biến gauge biến dạng. 
2.1. Sự co gọn của các chiều phụ trội 
2.1.1. Co gọn theo vòng tròn 
Trong việc thống nhất các loại lực tương tác trong tự nhiên, mô hình không thời 
– gian với số chiều cao hơn 4 được xem là có nhiều triển vọng nhất. Trong lý thuyết 
Kaluza – Klein, chiều thứ 5 được thêm vào không - thời gian 4 chiều thành không – 
thời gian 5 chiều để thống nhất lực hấp dẫn và lực điện từ [8,9] và Klein đã đưa ra 
giả thuyết rằng chiều không gian thứ 5 co gọn lại thành vòng tròn có bán kính rất 
nhỏ vào cỡ hằng số Plank h, được gọi là điều kiện tuần hoàn (xem hình 2.1). Tuy 
thuyết Kaluza – Klein đã thống nhất thành công lực hấp dẫn và lực điện từ bằng cách 
thêm chiều phụ trội thứ 5 và các chiều này bị co gọn trong không thời gian 4 chiều 
nhưng ý nghĩa của sự co gọn của chiều thứ 5 chưa được làm rõ. 
 45 
Hình 2.1: Tại mỗi điểm trong không thời gian, một chiều phụ trội 
bị co lại thành vòng tròn [75] 
Từ thành công trong mô hình không thời gian 5 chiều, các nhà vật lý đã ra sức 
nghiên cứu các lý thuyết có số chiều cao hơn, nghĩa là có nhiều chiều phụ trội bị 
cuộn lại. Hai kịch bản cho các chiều phụ trội bị co lại đã được đề xuất (xem hình 2.2 
và 2.3). 
Hình 2.2. Tại mỗi điểm trong không thời gian, một chiều phụ trội co lại 
 thành một mặt cầu [75] 
 46 
Hình 2.3. Tại mỗi điểm trong không thời gian, một chiều phụ trội bị co lại 
thành một mặt hình xuyến [75] 
Mọi hàm vật lý xác định trên vòng tròn co gọn phải thỏa mãn điều kiện tuần hoàn 
[67]: 
 ( )
5 5
52 ( )f x R f x + = (2.1) 
với 5 50 2x R và R5 là bán kính của vòng tròn co gọn. 
Do đó mọi hàm vật lý f(xA) xác định trong không - thời gian có thể được khai triển 
Fourier như sau: 
( ) ( )
5
5( ) .
in
x
RA n
n
f x f x e
+ 
=− 
=  (2.2) 
Áp dụng cho metric Kaluza – Klein, ta có: 
( ) ( )
5
5( ) .
in
x
R
A n
AB AB
n
G x G x e
+ 
=− 
=  (2.3) 
Bỏ qua các số hạng với n≠0 trong biểu thức khai triển Fourier (2.3), ta được biểu 
thức [67]: 
( )(0)AB ABG G x (2.4) 
và đó được gọi là sự rút gọn chiều hoàn toàn. 
Để chứng tỏ điều này, ta hãy xét trường vô hướng phức ( )Ax (không chứa 
trong các thành phần metric GAB) với biểu thức khai triển Fourier như sau [67]: 
 47 
( ) ( )
( ) ( )
5
5
5
5
( )
5
* ( )*
5
1
2
1
2
in
x
R
in
x
R
A n
n
A n
n
x x e
R
x x e
R


−
+ 
=− 
+ 
=− 
=
=


 (2.5) 
Lagrangian tương ứng có dạng: 
( ) ( ) ( )*, .A AB A AA BL x GG x x = −   
 
5 1
* 5 * 5 * 55 *2 2
5 5 5 5. . . .
v v
v vgW G G G G
 
  = −   +   +   +   , (2.6) 
với W được gọi là thừa số kích cỡ lại Weyl. 
Ta có tác dụng dưới dạng 4 chiều thông thường: 
 ( )4 ,S d xL x = , (2.7) 
trong đó 
 ( ) ( )5, , AL x dx L x = . (2.8) 
Thay (2.5) vào (2.6), ta được: 
( )
5 5
*
5 5
3 1
( ) ( )2 2
5
1
, . .
2
in im
x x
R RA v n m
v
n m
L x gW g e e
R

  
+ + −
=− =− 
 = −  
  
( )
5 5
*
5 5
5 5
*
5 5
5 5
*
5 5
( ) ( )
5
( ) ( )
5
1 ( ) ( )
5 5
.
.
.
in im
x x
R Rv n m
v
n m
in im
x x
R Rv n m
v v
n m
in im
x x
R Rv n m
v
n m
im
A g e e
R
in
A g e e
R
in im
g A A e e
R R





 
+ + −
=− =− 
+ + −
=− =− 
+ + −
−
=− =− 
− 
− − 
 + + −
 
 
 
 (2.9) 
Trong phép gần đúng (2.4), ta có thể xem g,  , A ở (2.9) chỉ phụ thuộc vào .x
 
Lúc này, thay (2.9) vào (2.8) và chú ý 
55
5
( )2
5
5
0
2
i m nR x
R
mne dx R
 
−
= , ta được: 
 48 
( )
( )* ( ) ( )* ( )
3 1 2
5 1 ( )* ( )2 2
22
( )* ( ) ( )* ( ) 5
2
5 5
,
n n n n
v v
v n n
n n n nn
v v
in
A
R n
L x gW g
Rin n
A A A
R R
 
 
 
   
+ 
−
=− 
  
  −  
 = − +  
 +  + 
 
 
3 1 2
( )* ( ) 1 ( )* ( )2 2
2
5
v n n n n
v
n
n
gW g D D
R

  
+ 
−
=− 
= − + 
 , (2.10) 
trong đó D có ý nghĩa đạo hàm hiệp biến gauge [66,67]: 
( ) ( )
5
( )* ( )*
5
,
.
n n
n n
in
D A
R
in
D A
R
  
  
  − 
  + 
 (2.11) 
Như vậy, thành phần Fourier ( )
5
5( )
in
x
Rn x e tương ứng với hạt mang điện và có 
khối lượng
5
~
n
R
. 
2.1.2. Co gọn theo hình xuyến D – 4 chiều 
Trong trường hợp số chiều không – thời gian là D (với D-4 chiều không gian phụ 
trội), các chiều phụ trội co gọn thành hình xuyến D-4 chiều với bán kính RK, 
K=5,6,,D. 
Ta có các công thức khai triển như sau [67]: 
( ) 5 5( , , )5
( )
, , , .
KD
k
KD k
K
x
i n
Rn nD
AB AB x
n
G x x x G e
 =
=− 

=  , (2.12) 
( ) 5 5( , , )5
( )
1
, , , . .
(2 )
KD
k
KD k
K
x
i n
Rn nD
x
nK
K
x x x e
R

 
=

=

 . (2.13) 
2.1.3. Co gọn khái quát theo đường kín 
Sự co gọn theo vòng tròn chỉ là trường hợp đặc biệt của sự co gọn theo một chu 
kỳ thể hiện bởi điều kiện: 
 ( ) ( )
5 5f x L f x+ = (2.14) 
 49 
trong đó 50 x L , L gọn là chu kỳ tuần hoàn. 
Ta lưu ý rằng [67]: 
52
( )( ) ( )
in
x
A n L
AB AB
n
G x G x e

+ 
=− 
=  (2.15) 
và điều kiện (2.4) về sự rút gọn chiều hoàn toàn vẫn không thay đổi. 
2.2. Điều kiện tuần hoàn theo các chiều phụ trội 
Trong không thời – gian 4+d chiều, với d là số chiều phụ trội, ta xét biểu thức hàm 
trường theo tọa độ [46]: 
 ( ) ( , ) ( , )M aF x F x y F x y  , (2.16) 
trong đó Mx là vectơ toạ độ 4+d chiều, với ,5,6,...,4M d= + . Chỉ số Hy Lạp sẽ 
được sử dụng cho chỉ số Lorentz thông thường  =0,1,2,3. Để thuận tiện, chúng tôi 
sẽ ký hiệu 4a ay x + , với a =1,2,...,d. 
Chúng ta không quan tâm trực tiếp sự co gọn về mặt topo của các chiều phụ trội. 
Thay vào đó, chúng ta đưa ra một điều kiện tuần hoàn được đặt vào các hàm trường 
phụ thuộc vào các chiều phụ trội. 
Điều kiện tuần hoàn: 
 ( ) ( )( , ) . ( , )a a aFF x y L f F x y+ = (2.17) 
ở đây ( )aFf hàm tham số phụ thuộc vào chiều dài co gọn 
( )aL của các chiều phụ 
trội. 
 Lấy đạo hàm theo không – thời gian phụ trội, ta được phương trình [46,47]: 
 ( )( , ) . ( , )aFa F x y g F x yy

=

, (2.18) 
trong đó: 
( )( ) ( ).
aa L a
F Ff e g= , (2.19) 
( ) ( )
( )
1
ln 2 ,a aF Fag f ni n ZL
 = + 
, 
với ( )aL là kích thước của chiều phụ trội thứ a. 
 Trong trường hợp tổng quát [48]: 
 50 
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
. ,
1
[ln ( 2 )], ,
a
Fia a
F F
a a a
F F Fa
f e
g i n z Z
L

  
=
= + + 
 (2.20) 
ở đây ( )aF và 
( )a
F là các hàm của 
( )aL . 
Cho trường trung tính, ,F F
+ = ( )aFf là thực và 
( ) 0, 0aF n = = . 
Như vậy, điều kiện tuần hoàn cho hàm trường trong không – thời gian phụ trội đã 
được đưa ra như sau: Đạo hàm của hàm trường theo không – thời gian phụ trội sẽ 
bằng hàm trường đó nhân với một hệ số ( )aFg (như biểu thức (2.18)) phụ thuộc vào 
chiều dài co gọn L của các chiều phụ trội (như biểu thức (2.19) hoặc (2.20)). 
2.3. Nguyên lý bất biến tương đối tổng quát với không – thời gian đa chiều 
2.3.1. Phép biến đổi Lorentz 
Theo [72], phép biến đổi Lorentz là phép biến đổi tọa độ trong không – thời gian 
Minkowski: 
 ( ') .x x  =  (2.21) 
và công thức biến đổi ngược: 
 1( ) . 'x x  
−=  , 
trong đó  là các hệ số thực sao cho tích vô hướng của hai vector bảo toàn 
 ' 'x y xy= 
và thỏa mãn biểu thức 
 
     = . 
Ta xét một số trường hợp đặc biệt của phép biến đổi Lorentz: 
 Phép biến đổi đồng đẳng: 'x x = . 
 Phép biến đổi tọa độ không gian: 0 0'x x= , 'k kx x= − (k=1,2,3). 
 Phép biến đổi thời gian: 0 0'x x= − , 'k kx x= (k=1,2,3). 
 Phép biến đổi cả tọa độ không – thời gian: 'x x = − . 
Phương trình (2.21) được gọi là phép biến đổi Lorentz đồng nhất. Ngoài ra, ta còn 
có phép biến đổi Lorentz không đồng nhất (còn được gọi là phép biến đổi Poincaré) 
với biểu thức: 
 51 
 'x x a   =  + , (2.22) 
với a là vector tịnh tiến. 
Nếu    = thì (2.22) trở thành: 
 'x x a  = + 
được gọi là phép biến đổi tịnh tiến. 
2.3.2. Nguyên lý bất biến tương đối rộng 
Phương trình (2.21) và (2.22) chỉ là trường hợp đặc biệt của phép biến đổi tổng 
quát: 
 .
' ( )x x f x  → = . (2.23) 
Ta xét các loại tensor cấp n như sau [67]: 
 Tensor phản biến cấp n là đại lượng biến đổi theo quy luật: 
( ) ( )
1
1 2 1
1
... ...
' ...
n
n n
n
v v
v v
x x
T x T x
x x

     =
 
. (2.24) 
 Tensor hiệp biến cấp n là đại lượng biến đổi theo quy luật: 
 ( ) ( )
1
...11 2 1
...' ...
n
v vnn nv v
x x
T x T x
x x

  
 
 =
  
. (2.25) 
 Tensor hỗn hợp phản biến cấp m và hiệp biến cấp n là đại lượng biến đổi theo 
quy luật: 
( ) ( )
1 1
1 1
1 11 1
... ...
... ...
... . ...
m n
m m
n nm nv v v v
x x x x
T x T x
x xx x
  
   
  
    
 =
   
 (2.26) 
và công thức biến đổi ngược: 
1 1
1 1
1 11 1
... ...
... ...
( ) ... ... ' ( ')
m n
m m
n nm n
vv
v v
x x x x
T x T x
x xx x

   
     
    
=
   
. (2.27) 
Ta xét một vài trường hợp đặc biệt: 
 Đại lượng ( )x gọi là vô hướng nếu bất biến đối với phép biến đổi (2.21): 
 ( ) ( )x x = . (2.28) 
 ( )F x được gọi là vector phản biến nếu biến đổi theo quy luật: 
 52 
( ) ( )v
v
x
F x F x
x

  =

. (2.29) 
2.3.3. Đạo hàm hiệp biến 
Ta nhận thấy rằng: đạo hàm bình thường tensor 1
1
...
...
( )m
n
T x
 
   không tuân theo 
qui luật biến đổi (2.26), nghĩa là nó không phải là một tensor. Để khắc phục điều 
này, ta đưa vào đạo hàm hiệp biến 1
1
...
...
( )m
n
T x
 
   như sau [67]: 
- Đối với tensor phản biến 1
...
( )mT x
 
 hạng m: 
( )1 1 1 1 11... ... ... ......m m m mmv v v vT T x T T
        
 
− =  + + + . 
với: v

 gọi là liên thông Affine hay ký hiệu Christoffel. 
- Đối với tensor hiệp biến 
1...
( )
n
T x   hạng n: 
( ) ( ) ( )1
1 1 2 1 11
...
... ... ......
...m
n n n nnv v v v
T T x T x T x
   
          −
 =  − − − . 
- Một cách tổng quát, đối với tensor hỗn hợp 1
1
...
...
( )m
n
T x
 
  hạng (n,m): 
( )
( ) ( )
1 1 1 1 11
1 1 1 1
1 1
1 2 1 1
... ... ... ...
... ... ... ...
... ...
... ...
...
...
m m m mm
n n n n
m m
nn n
v v v v
v v
T T x T T
T x T x
        
        
    
     
−
−
 =  +  + + 
−  − − 
Ta xét các trường hợp đặc biệt: 
- Với vector phản biến ( )vF x
 :