Luận án Một số kết quả về mặt f-cực tiểu trong các không gian tích

∂v
∂x
∂v
)
+ |∇x|2
]
= 2x∆fx+ 2|∇x|2.
Tương tự, ta có
∆fy
2 = 2y∆fy + 2|∇y|2 và ∆fz2 = 2z∆fz + 2|∇z|2.
Do đó
∆fr
2 = ∆fx
2 + ∆ϕy
2 + ∆fz
2 = 2(x, y, z)(∆fx,∆fy,∆fz) + 2(|∇x|2 + |∇y|2 + |∇z|2)
= 4 + 2(x, y, z)(∆fx,∆fy,∆fz).
29
Tổng quát hơn, đối với hàm khoảng cách r trên các siêu mặt X(u) =
(x1(u), . . . , xn(u)) trong Rn (với u ∈ Rn−1), ta có
∆fr
2 = 2(n− 1) + 2(x1, . . . , xn)(∆fx1, . . . ,∆fxn).
Bây giờ, chúng ta xét mặt tham số X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) trong R3
(trường hợp Rn hoàn toàn tương tự) với chú ý f(u, v) = f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)).
Ta có
∆fx = divf ∇x = ef div(e−f∇x) = ef
[
∂
∂u
(
e−f
∂x
∂u
)
+
∂
∂v
(
e−f
∂x
∂v
)]
= ∆x− ∂f
∂u
∂x
∂u
− ∂f
∂v
∂x
∂v
= ∆x− 〈∇f,Xu〉xu − 〈∇f,Xv〉xv.
Tương tự, ta có
∆fy = ∆y − 〈fϕ,Xu〉yu − 〈∇f,Xv〉yv và ∆fz = ∆z − 〈∇f,Xu〉zu − 〈∇f,Xv〉zv.
Suy ra
(∆fx,∆fy,∆fz) = ∆X − 〈∇f,Xu〉Xu − 〈∇f,Xv〉Xv.
Mặt khác, ta có biểu diễn
∇f = 〈∇f,Xu〉Xu + 〈∇f,Xv〉Xv + 〈∇f,N〉N.
Do đó
(∆fx,∆fy,∆fz) = ∆X −∆f + 〈∇f,N〉N.
Hay
(∆fx,∆fy,∆fz) +∇f = ∆X + 〈∇f,N〉N.
Để có được tính chất tương tự trong Rn (với mật độ hằng) về mối quan hệ
giữa mặt cực tiểu và tính chất điều hòa của mặt, chúng ta cần đưa ra định nghĩa
thích hợp cho toán tử Laplace với mật độ hay f -Laplace của mặt.
Định nghĩa 2.3.7. Cho Σ là một siêu mặt trong Rn với mật độ e−f và X : U ⊂
Rn−1 −→ Rn là một tham số hóa của Σ. Khi đó, f-Laplace của X được xác định
như sau
∆fX := ∆X + 〈∇f,N〉N.
Nhận xét 2.3.8. Với Định nghĩa 2.3.7 và các tính toán trên, ta có
∆fX = (∆fx,∆fy,∆fz) +∇f.
Điều này cho thấy ∆fX, về mặt hình thức, không mang tính mở rộng từ việc
∆X := (∆x,∆y,∆z).
30
Tuy nhiên, ta thu được kết quả tương tự với kết quả trong không gian Rn như
sau:
Định lý 2.3.9. Cho X : U ⊂ Rn−1 −→ Rn là một tham số hóa trực giao của
siêu mặt Σ, khi đó X là siêu mặt f-cực tiểu khi và chỉ khi ∆fX = 0.
Sau đây là một số kết quả chính thu được của luận án về mối liên hệ giữa
mặt f -cực tiểu và nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình. Các kết
quả này được trích từ [20], một bài báo nằm trong danh mục công trình nghiên
cứu của tác giả liên quan đến đề tài.
2.4 Mối liên hệ giữa mặt f-cực tiểu và nghiệm tự
đồng dạng của dòng độ cong trung bình
Theo trên, một mặt được gọi là f -cực tiểu nếu Hf = H + 〈∇f,N〉 = 0 (ở
đây ta đang dùng công thức H(p) = tr(Sp)). Một nghiệm tự đồng dạng co rút có
phương trình xác định là H+
〈F,N〉
2
= 0. Sự tương đồng giữa hai đẳng thức trên
nảy sinh câu hỏi tự nhiên về mối quan hệ giữa các mặt f -cực tiểu và nghiệm tự
đồng dạng co rút. Thật vậy, nếu xét trong một không gian với mật độ e−f phù
hợp thì một nghiệm tự đồng dạng co rút là một mặt f -cực tiểu và ngược lại.
Ngoài ra, mối quan hệ đồng nhất này còn xảy ra giữa mặt f -cực tiểu và nghiệm
tự đồng dạng tịnh tiến. Và hai không gian mật độ xảy ra điều này cũng chính là
hai không gian mật độ quan trọng: không gian với mật độ cầu (tương ứng với
không gian với mật độ Gauss) và không gian với mật độ log-tuyến tính.
2.4.1 Mặt f-cực tiểu và nghiệm tự đồng dạng co rút
Mệnh đề 2.4.1.1. Nghiệm tự đồng dạng co rút của dòng độ cong trung bình
trong Rn là siêu mặt f-cực tiểu trong không gian với mật độ tựa Gauss, Rn với
mật độ e−r
2/4.
Chứng minh. Xét không gian Rn với mật độ e−r2/4. Ta có
∇f =
(
x1
2
,
x2
2
. . . . ,
xn
2
)
.
Khi đó f -độ cong trung bình của siêu mặt xác định bởi X được cho bởi
Hf = H +
1
2
〈X,N〉 .
Từ đó, chúng ta thấy rằng các siêu mặt f -cực tiểu trong không gian Rn với mật
độ e−r
2/4 là các nghiệm tự đồng dạng co rút của dòng độ cong trung bình và
ngược lại. 
31
Cần chú ý rằng mẫu số 4 ở hàm mật độ không đóng vai trò quan trọng.
Chúng ta có thể thay đổi nó nếu thay đổi thời gian ban đầu (hoặc thời điểm
xảy ra kỳ dị) đối với nghiệm tự đồng dạng co rút. Hơn nữa, nếu ta có M là mặt
f -cực tiểu trong không gian với mật độ e−r
2/2 thì ta có mặt 2M là mặt f -cực
tiểu trong không gian với mật độ e−r
2/4.
Vì vậy, nếu không có gì gây nhầm lẫn, ta có thể nói nghiệm tự đồng dạng
co rút của dòng độ cong trung bình là siêu mặt f -cực tiểu trong không gian với
mật độ Gauss.
Ví dụ 2.4.1.2.
1. Trong mặt phẳng Gauss G2, ta biết rằng đường tròn tâm O, bán kính 1
là một mặt f -cực tiểu, nó tương ứng với đường tròn tâm O, bán kính 2 là
nghiệm tự đồng dạng co rút trong R2.
2. Trong không gian Gauss G3, các mặt phẳng đi qua gốc tọa độ, mặt cầu
tâm O bán kính
√
2, các mặt trụ có trục Ox,Oy,Oz bán kính 1 là các mặt
f -cực tiểu, chúng lần lượt tương ứng với các mặt phẳng đi qua gốc tọa độ,
mặt cầu tâm O bán kính 2
√
2, các mặt trụ có trục Ox,Oy,Oz bán kính 2
là các nghiệm tự đồng dạng co rút trong R3.
2.4.2 Mặt f-cực tiểu và nghiệm tự đồng dạng tịnh tiến
Mệnh đề 2.4.2.1. Nghiệm tự đồng dạng tịnh tiến của dòng độ cong trung bình
là mặt f-cực tiểu trong không gian với mật độ log-tuyến tính.
Chứng minh. Xét không gian với mật độ log-tuyến tính (Rn, e−f ) với f = −axn.
Gọi v = (0, 0, . . . , a). Ta có ∇f = (0, 0, . . . ,−a) = −v.
Giả sử X(x, t) = X(x) + vt là một nghiệm tự đồng dạng tịnh tiến của dòng độ
cong trung bình. Khi đó, vì
∂X
∂t
(x, t) = H(x)N(x) nên
H(x)N(x) = v =⇒ H = 〈v,N〉
=⇒ H = −〈∇f,N〉
=⇒ H + 〈∇f,N〉 = 0
=⇒ X là mặt f -cực tiểu
Ngược lại, cho X(x, t) = X(x) + vt là mặt f -cực tiểu trong (Rn, e−f ) với
f = −axn. Ta sẽ chỉ ra rằng X(x, t) = X(x)+vt là nghiệm tự đồng dạng của dòng
độ cong trung bình. Thật vậy, ta có
∂X
∂t
(x, t) = v. Và vì X(x, t) là mặt f -cực tiểu
nên ta có H−〈v,N〉 = 0, do đó thành phần vuông góc của vectơ v là (v)⊥ = HN.
32
Suy ra (
∂X
∂t
(x, t))⊥ = H(x)N(x). Đây cũng là công thức tương đương dùng để
định nghĩa nghiệm của dòng độ cong trung bình (xem [11], [12]). Do đó, X(x, t)
là nghiệm tự đồng dạng tịnh tiến của dòng độ cong trung bình.
Mặt khác, vì trong không gian Rn với mật độ log-tuyến tính, tập hợp tất cả
các điểm có cùng mật độ là một siêu phẳng nên bằng một phép đổi tọa độ thích
hợp, ta có thể giả thiết hàm mật độ có dạng e−xn .
Vậy, một cách tổng quát ta có nghiệm tự đồng dạng tịnh tiến của dòng độ
cong trung bình là mặt f -cực tiểu trong không gian với mật độ log-tuyến tính.
Ví dụ 2.4.2.2.
1. Trong mặt phẳng (R2, ey), mặt f -cực tiểu là đường thẳng song song với trục
Oy hoặc đường cong Grim Reaper, chúng lần lượt tương ứng với đường
thẳng song song với trục Oy và đường cong Grim Reaper là các nghiệm tự
đồng dạng tịnh tiến trong R2.
2. Trong không gian (R3, ez) các mặt phẳng x = c, y = c (c là hằng số) là các
mặt f -cực tiểu, chúng lần lượt tương ứng với các mặt phẳng x = c, y = c là
nghiệm tự đồng dạng tịnh tiến trong R3.
3. Trong không gian (R3, ez), mặt với tham số hóa X(u, v) = (u, v,− ln(cos v)),
u ∈ R, v ∈ (−pi
2
,
pi
2
) là mặt f -cực tiểu (xem [31]), nó tương ứng là nghiệm
tự đồng dạng tịnh tiến trong R3. Và như vậy, chúng ta có thêm một ví dụ
về nghiệm tự đồng dạng tịnh tiến trong R3 từ kết quả về mặt f -cực tiểu.
2.5 Kết luận Chương 2
Trong Chương 2, luận án đã giải quyết được các vấn đề sau:
- Trình bày một cách tổng quan về đa tạp với mật độ, các ví dụ và một số
khái niệm trong không gian với mật độ. Giới thiệu một số không gian với
mật độ thường gặp như không gian Gauss, không gian với mật độ cầu và
không gian với mật độ log-tuyến tính.
- Giới thiệu sơ lược về mặt f -cực tiểu, một số ví dụ và tổng hợp một số kết
quả quan trọng về mặt f -cực tiểu như:
+ Một siêu mặt f -cực tiểu tương đương với việc nó là một cực trị của
phiếm hàm f -diện tích.
+ Mọi đa tạp con được định cỡ với mật độ là f -cực tiểu diện tích trong
lớp các đa tạp con đồng điều với nó.
+ Nếu Σ là một siêu mặt f -cực tiểu trong Rn = Rn−1 × R với mật độ
33
e−f(x1,...,xn−1) thì Σ là cực tiểu diện tích theo mật độ một cách địa phương.
+ Từ khái niệm toán tử f -Laplace suy ra một siêu mặt tham số hóa trực
giao với tham số hóa X là f -cực tiểu khi và chỉ khi ∆fX = 0.
- Đặc biệt, luận án đã thiết lập và chứng minh được mối liên hệ giữa mặt
f -cực tiểu và nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình. Cụ thể,
luận án đã chứng minh:
+ Nghiệm tự đồng dạng co rút của dòng độ cong trung bình trong Rn là
siêu mặt f -cực tiểu trong không gian với mật độ tựa Gauss, Rn với mật độ
e−r
2/4 (Mệnh đề 2.4.1.1).
+ Nghiệm tự đồng dạng tịnh tiến của dòng độ cong trung bình là siêu mặt
f -cực tiểu trong không gian với mật độ log-tuyến tính (Mệnh đề 2.4.2.1).
34
Chương 3
MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MẶT f-CỰC TIỂU
TRONG CÁC KHÔNG GIAN TÍCH
Trong chương này, tác giả trình bày các kết quả chính mà luận
án đạt được về mặt f -cực tiểu trong các không gian tích với mật
độ, trong đó phép toán tích có thể là tích Riemann, tích cong (tích
warped) hay tích Lorentz. Để tiện theo dõi, trước khi đi vào các kết
quả chính đó, luận án dành mục 3.1 để trình bày sơ lược một số
khái niệm về đa tạp với mật độ dạng tích hay tích của các đa tạp
với mật độ, không gian tích cong, không gian tích Lorentz và một số
tính chất cơ bản trong các không gian tích này. Nội dung của mục
3.1 này được trích từ các tài liệu [39], [42], [45]. Sau đó, bằng cách
xét mỗi không gian tích với mật độ cụ thể, trong các mục 3.2, 3.3
và 3.4 tiếp theo, luận án lần lượt thu được một số kết quả về mặt
f -cực tiểu (f -cực đại) trong các không gian tích với mật độ bao gồm:
tính cực tiểu diện tích (địa phương hoặc toàn cục) với mật độ của
các silce trong một số không gian tích cong với mật độ; một số định
lý kiểu Bernstein cho các siêu mặt f -cực tiểu (f -cực đại); cuối cùng
là một số kết quả liên quan đến định lý kiểu Bernstein và các kết
quả kiểu nửa không gian cho các mặt f -cực tiểu cả đối chiều 1 và
đối chiều cao trong không gian Gauss. Các kết quả thu được trong
chương này của luận án được trích từ các bài báo [3], [21], [22], [30]
nằm trong danh mục công trình nghiên cứu của tác giả liên quan
đến đề tài.
3.1 Không gian mật độ với tích Riemann, tích cong,
tích Lorentz
Trước hết, chúng ta có một số khái niệm về đa tạp nửa Riemann, đa tạp
tích nửa Riemann (gồm có đa tạp tích Riemann và đa tạp tích Lorentz) và đa
tạp tích cong.
Định nghĩa 3.1.1.
Chỉ số ν của dạng song tuyến tính b trên không gian vectơ thực V là số
nguyên lớn nhất mà là số chiều của một không gian con W ⊂ V sao cho b|W xác
35
định âm, nghĩa là b(v, v) < 0 với v 6= 0, v ∈ W.
Metric tensor g trên đa tạp M là một trường tensor loại (0, 2) không suy
biến, đối xứng, có chỉ số hằng trên M theo nghĩa g gán một cách trơn mỗi điểm
p của M với một tích vô hướng gp (dạng song tuyến tính, đối xứng, không suy
biến) trên TpM và các gp đều có cùng chỉ số với mọi p ∈M.
Định nghĩa 3.1.2. Đa tạp nửa Riemann là một đa tạp trơn M cùng với một
metric tensor g, thường được viết gọn bởi (M, g).
Giá trị chung ν của chỉ số gp trên một đa tạp nửa Riemann M được gọi là
chỉ số của M . Ta có 0 ≤ ν ≤ n = dimM.
- Nếu ν = 0 thì M cùng với g là một đa tạp Riemann; khi đó, mỗi gp là một
tích trong (dạng song tuyến tính, đối xứng, xác định dương) trên TpM.
- Nếu ν = 1 và n ≥ 2 thì M cùng với g là một đa tạp Lorentz.
Chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu 〈, 〉 thay cho g. Chuẩn của một vectơ tiếp xúc v là
|v| =
√
|〈v, v〉|.
Với mỗi p ∈ Rn, có một đẳng cấu tuyến tính chính tắc từ Rn vào TpRn biến v
thành vp =
∑
vi∂i. Vì vậy, tích vô hướng trên Rn cho ta một metric tensor ở
trên với
〈vp, wp〉 = v · w =
∑
viwi.
Do đó, Rn sẽ là một đa tạp Riemann và được gọi là n-không gian Ơclit.
Với số nguyên ν, 0 ≤ ν ≤ n, ta đổi ν dấu cộng phía trước trong metric tensor
trên Rn thành các dấu trừ thì sẽ cho ta một metric tensor với chỉ số ν như sau
〈vp, wp〉 = −
ν∑
i=1
viwi +
n∑
j=ν+1
vjwj .
Với n ≥ 2 thì Rn1 được gọi là n-không gian Minkowski.
Bổ đề sau cho ta khái niệm đa tạp tích nửa Riemann, nó được chia thành
hai loại: đa tạp tích Riemann và đa tạp tích Lorentz.
Bổ đề 3.1.3 ([42], Lemma 5). Cho M và N là hai đa tạp nửa Riemann cùng
với các metric tensor tương ứng là gM và gN . Gọi pi : M×N →M và σ : M×N →
N lần lượt là các phép chiếu của M ×N lên M và N. Xét
g = pi∗(gM ) + σ∗(gN ).
36
Cụ thể hơn, ta có
g(X,X) = gM (dpi(X), dpi(X)) + gN (dσ(X), dσ(X)),∀X ∈ T(p,q)M.
Hay ta viết gọn g = gM + gN . Khi đó, g là một metric tensor trên M × N và
(M ×N, g) trở thành một đa tạp tích nửa Riemann.
- Nếu g có chỉ số ν = 0 thì (M ×N, g) là đa tạp tích Riemann.
- Nếu g có chỉ số ν = 1 thì (M ×N, g) là đa tạp tích Lorentz.
Kết quả trên cũng được mở rộng đối với tích hữu hạn của các đa tạp nửa
Riemann bất kì. Chẳng hạn, không gian nửa Ơclit Rnν là
R11 × · · · ×R11︸ ︷︷ ︸
ν nhân tử
×R1 × · · · ×R1︸ ︷︷ ︸
n−ν nhân tử
= Rνν ×Rn−ν .
Một loại đa tạp tích được nghiên cứu rộng rãi trong những năm gần đây và
được luận án đề cập đến trong mục 3.2 đó là đa tạp tích cong (tích warped), nó
được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 3.1.4. Cho B và F là hai đa tạp nửa Riemann cùng với các metric
tensor tương ứng là gB, gF và w là một hàm trơn, dương trên B. Xét đa tạp tích
B × F với các phép chiếu pi : B × F → B và σ : B × F → F . Đa tạp tích cong
M = B ×w F là đa tạp tích B × F cùng với metric tensor:
g = pi∗(gB) + (w ◦ pi)2σ∗(gF ).
Cụ thể hơn, ta có
g(X,X) = gB(dpi(X), dpi(X)) + w
2(p)gF (dσ(X), dσ(X)),∀X ∈ T(p,q)M.
Hay ta viết gọn g = gB + w2gF . Đặc biệt, khi w = 1 thì B ×w F quay về đa tạp
tích nửa Riemann thông thường.
Tiếp theo, chúng ta có khái niệm đa tạp tích với mật độ (đa tạp với mật độ
dạng tích) hay tích của các đa tạp với mật độ được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 3.1.5. Giả sử M1 và M2 là hai đa tạp với mật độ, trong đó các
hàm mật độ tương ứng lần lượt là e−h1(x) và e−h2(y). Trên đa tạp tích M1 ×M2,
chúng ta xét hàm mật độ e−f(x,y) = e−(h1(x)+h2(y)) với mọi x ∈ M1, y ∈ M2. Khi
đó, phần tử thể tích k-chiều theo mật độ của M1 ×M2 được xác định bởi
dVf = e
−(h1+h2)dVM1dVM2 .
Ta gọi M1 ×M2 với mật độ như trên là đa tạp tích với mật độ (đa tạp với mật
độ dạng tích) hay tích của các đa tạp với mật độ.
37
Để ý rằng với định nghĩa trên, chúng ta có thể xem không gian Gauss là tích
của các đường thẳng Gauss
Gn = G1 × · · · ×G1 (n nhân tử).
Mặt khác, theo Mệnh đề 2.4.1.1, shrinker là mặt f -cực tiểu trong không gian
Gauss, một không gian với mật độ dạng tích. Đây là lý do tại sao trong một số
kết quả chính đạt được của luận án mặt được xét là shrinker trong khi tên đề
tài của luận án là “Một số kết quả về mặt f -cực tiểu trong các không gian tích”.
Không gian tích Riemann cùng với metric Riemann đã trở nên khá quen
thuộc. Vì vậy, luận án dành phần cuối của mục 3.1 để sơ lược một số khái niệm
và tính chất cơ bản trong hai không gian tích còn lại: không gian tích cong và
không gian tích Lorentz.
Không gian tích cong
Trước hết, ta có tính chất thú vị được thể hiện trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 3.1.6 ([42], Definition 33). Cho M = B ×w F là một đa tạp tích
cong. Khi đó, ta có: ∀p ∈ B, ánh xạ σ|p×F : p× F −→ F là một phép vị tự dương
lên F với hệ số vị tự là 1
w(p)
.
Nhận xét 3.1.7. Từ Mệnh đề 3.1.6 trên, ta suy ra (σ|p×F )−1 : F −→ p × F là
một phép vị tự với hệ số vị tự là w(p). Vì vậy nếu M là mặt tròn xoay thu được
khi quay đường cong phẳng C quanh một trục trong R3 và S1(1) là đường tròn
đơn vị, w : C −→ R+∗ là hàm khoảng cách từ một điểm trên C đến trục quay khi
đó M = C ×w S1(1).
Do đó, ta có một số ví dụ đơn giản về không gian tích cong như sau:
Ví dụ 3.1.8.
1. Mặt trụ M bán kính r có thể biểu diễn bởi M = R×w S1(1), với w(x) = r
(xem Hình 3.1.1).
2. Mặt Hyperbolic 1-tầng H : x2 + y2 − z2 = 1 có thể biểu diễn bởi H =
C×w S1(1), với C là đường Hyperbol có phương trình y2− z2 = 1 nằm trong mặt
phẳng (Oyz), nó là một đường sinh của mặt, w(0, y, z) = |y| (xem Hình 3.1.2).
3. Mặt Catenoid M : x2 + y2 = cosh2 z có thể biểu diễn bởi M = C ×w S1(1),
với C là đường cong có phương trình |y| = cosh z nằm trong mặt phẳng (Oyz),
nó là một đường sinh của mặt, w(0, y, z) = cosh z (xem Hình 3.1.3).
38
Hình 3.1.1: Mặt trụ là một không gian tích cong
Hình 3.1.2: Mặt Hyperbolic 1-tầng là một không gian tích cong
Hình 3.1.3: Mặt Catenoid là một không gian tích cong
39
Tiếp theo, để đơn giản chúng ta xét không gian tích cong R ×w R2, đó là
không gian tích R×R2 cùng với tích vô hướng được xác định như sau:
〈x, y〉 = x1.y1+w2(p) (x2.y2 + x3.y3) , ∀x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ T(p,q)R×wR2.
Metric tương ứng:
g(X,X) = dx2 + w2(p).(dy2 + dz2), ∀X = (x, y, z) ∈ T(p,q)R×w R2.
Trong không gian tích cong này, phép toán tích trong của hai vectơ được định
nghĩa như sau:
Định nghĩa 3.1.9. Trong không gian tích cong R×wR2 cho vectơ x = (x1, x2, x3)
và y = (y1, y2, y3) cùng đặt tại điểm (p, q). Khi đó, tích trong của x và y được xác
định bởi định thức như sau:
x ∧ y :=
∣∣∣∣∣∣∣
w2(p).e1 e2 e3
x1 x2 x3
y1 y2 y3
∣∣∣∣∣∣∣
Ta có thể kiểm tra được công thức trên thỏa mãn các tính chất của tích vectơ:
〈x ∧ y, x〉 = 0; 〈x ∧ y, y〉 = 0; det(x, y, x ∧ y) ≥ 0; và |x ∧ y|2 + 〈x, y〉2 = |x|2.|y|2.
Xét mặt Σ có dạng đồ thị {(u(y, z), y, z) : (y, z) ∈ R2} với tham số hóa X(y, z) =
(u(y, z), y, z). Khi đó, ta có
Xy = (uy, 1, 0); Xz = (uz, 0, 1); Xyy = (uyy, 0, 0); Xyz = (uyz, 0, 0); Xzz = (uzz, 0, 0).
Xy ∧Xz =
∣∣∣∣∣∣∣
w2(p).e1 e2 e3
uy 1 0
uz 0 1
∣∣∣∣∣∣∣ = (w2,−uy,−uz).
Suy ra
N =
Xy ∧Xz
|Xy ∧Xz| =
(w2,−uy,−uz)√
w4 + w2(u2y + u
2
z)
Để thiết lập được công thức về độ cong trung bình của mặt trong không gian
tích cong R×wR2, trước hết chúng ta xét biến phân thứ nhất (xem [41], p. 22-23)
với kết quả như sau: Xét hàm
J [u] =
∫ ∫
Ω
L(x, y, u, ux, uy) dxdy,
40
trong đó L là một hàm trên miền Ω ⊂ R2 cho trước, được giả thiết trơn đến cấp
cần thiết, u = u(x, y) là một hàm khả vi theo hai biến x và y. Đặt p = ux, q = uy.
Khi đó nghiệm cực tiểu u(x, y) của J [u] phải thỏa mãn phương trình Euler-
Lagrange sau:
∂L
∂u
(x, y, u, ux, uy)− ∂
∂x
(
∂L
∂p
(x, y, u, ux, uy)
)
− ∂
∂y
(
∂L
∂q
(x, y, u, ux, uy)
)
= 0.
Sử dụng biến phân thứ nhất đối với mặt kiểu đồ thị Σ = {(u(y, z), y, z) : (y, z) ∈
R2} với tham số hóa X(y, z) = (u(y, z), y, z) trong không gian tích cong R×w R2,
ta có:
J [u] =
∫ ∫
Ω
L(y, z, u, uy, uz) dydz,
trong đó:
L(y, z, u, uy, uz) =| Xy∧Xz |=
√
w4 + w2(u2y + u
2
z) = w
√
w2 + u2y + u
2
z = w
√
w2 + p2 + q2.
Tính toán trực tiếp, ta có:
∂L
∂u
= w′
√
w2 + p2 + q2 + w
ww′√
w2 + p2 + q2
=
(2w′w2 + w′u2y + w′u2z)(w2 + u2y + u2z)
(
√
w2 + u2y + u
2
z)
3
;
∂L
∂p
=
fp√
w2 + p2 + q2
=
wuy√
w2 + u2y + u
2
z
;
∂L
∂q
=
wq√
w2 + p2 + q2
=
wuz√
w2 + u2y + u
2
z
;
∂
∂y
(
∂L
∂p
)
=
(w′u2y + wuyy)(w2 + u2y + u2z)− (w′w2u2y + wu2yuyy + wuyuzuyz)
(
√
w2 + u2y + u
2
z)
3
và
∂
∂z
(
∂L
∂q
)
=
(w′u2z + wuzz)(w2 + u2y + u2z)− (w′w2u2z + wu2zuzz + wuyuzuyz)
(
√
w2 + u2y + u
2
z)
3
.
Do đó ta có phương trình Euler-Lagrange trên tương đương với
wuyy(w
2 + u2z)− 2wuyuzuyz + wuzz(w2 + u2y)− 3w′w2(u2y + u2z)− 2w′w4
(
√
w2 + u2y + u
2
z)
3
= 0.
Đặt:
H =
1
2
wuyy(w
2 + u2z)− 2wuyuzuyz + wuzz(w2 + u2y)− 3w′w2(u2y + u2z)− 2w′w4
w2(
√
w2 + u2y + u
2
z)
3
.
Khi đó, H được gọi là độ cong trung bình của mặt. Nó có mối quan hệ với đại
lượng div
Du
w
√
w2 +Du2
được thể hiện trong mệnh đề sau:
41
Mệnh đề 3.1.10 ([45], p. 1387). Mối quan hệ giữa div
Du
w
√
w2 +Du2
và H được
xác định bởi đẳng thức
div
Du
w
√
w2 +Du2
= 2H +
w′√
w2 + |Du|2
[
2− |Du|
2
w2
]
.
Nhận xét 3.1.11.
1. Nếu mặt ở dạng slice (lát), tức là u = const thì độ cong trung bình của
mặt được xác định cụ thể là: H = −w
′
w
= −(logw)′ = const.
2. Vấn đề mặt cực tiểu liên quan trực tiếp đến độ cong trung bình của mặt,
vì vậy xác định được công thức tính độ cong trung bình của mặt sẽ hữu
ích trong việc giải quyết một số vấn đề về mặt cực tiểu trong không gian
tích cong này.
Không gian tích Lorentz
Vì metric tensor của không gian này không có tính chất xác định dương nên
mỗi vectơ tiếp xúc của nó được chia thành 3 loại như trong định nghĩa sau:
Định nghĩa 3.1.12. Một vectơ tiếp xúc v của đa tạp nửa Riemann M được
gọi là kiểu không gian nếu 〈v, v〉 > 0 hoặc v = 0; kiểu ánh sáng nếu 〈v, v〉 = 0 và
v 6= 0; kiểu thời gian nếu 〈v, v〉 <