Luận án Nghiệm đại số của một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một

c biến đổi thành
một nghiệm của G = 0 và một nghiệm khác
a
c
của G = 0 được biến đổi
thành một nghiệm của F = 0.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
Trong chương này chúng tôi đưa ra một số tính chất của bậc tổng thể
vi phân của các đa thức vi phân cấp một. Đó là tính chất tương thích của
bậc đối với phép nhân đa thức (Mệnh đề 2.7), tính chất tương thích của
tác động nhóm với phép hợp thành các ánh xạ (Mệnh đề 2.9), tính chất
bất biến của bậc tổng thể vi phân dưới tác động của nhóm các phép biến
đổi Mo¨bius (Định lý 2.11).
38
Chương 3
Nghiệm đại số của phương trình vi
phân đại số cấp một
Trong chương này, chúng tôi thiết lập một số tính chất bảo toàn nghiệm
của các phương trình vi phân đại số cấp một thuộc cùng một lớp tương
đương dưới tác động của các phép biến đổi Mo¨bius. Đặc biệt, các nghiệm
tổng quát đại số được bảo toàn. Kết hợp với tính chất bất biến của bậc
tổng thể vi phân, chúng tôi đưa ra một chặn bậc mới cho nghiệm tổng
quát đại số của phương trình vi phân đại số cấp một thuộc một lớp tương
đương autonom. Chúng tôi đề xuất một thuật toán tìm nghiệm tổng quát
đại số của các phương trình thuộc lớp autonom. Các kết quả của chương
này được đăng trong bài báo [6].
3.1 Nghiệm đại số
Định nghĩa 3.1. Cho K là một trường vi phân và F ∈ K{y} là một đa
thức vi phân. Một nghiệm đại số của F = 0 trên K là một nghiệm của
F và đồng thời là một phần tử đại số trên trường K.
39
Trong luận án này chúng tôi quan tâm đến việc tìm nghiệm đại số của
phương trình vi phân đại số cấp một F (y, y′) = 0 trên K.
Mệnh đề 3.2. Nếu F ∈ K{y} là một đa thức vi phân bất khả quy cấp
một thì mỗi nghiệm kỳ dị của F (y, y′) = 0 là một nghiệm đại số. Hơn nữa,
số nghiệm kỳ dị của F (y, y′) = 0 là hữu hạn.
Chứng minh. Nhận xét rằng một nghiệm chung của F = 0 và S = 0 hoặc
là một nghiệm của biệt thức của F , (disc(F ) = res(F, S, y′)), hoặc là một
nghiệm của hệ số đầu của F . Vì F là một đa thức vi phân cấp một nên
disc(F ) và in(F ) đều là các đa thức một biến theo y với hệ số trên K.
Từ đó suy ra mỗi nghiệm kỳ dị của F (y, y′) = 0 đều là một nghiệm đại
số trên K và số các nghiệm đại số của F (y, y′) = 0 nhỏ hơn hoặc bằng
degy disc(F ) + degy in(F ).
Mệnh đề 3.3. Cho P (y) là đa thức tối tiểu của một nghiệm đại số η ∈ L
của F (y, y′) = 0 trên K. Khi đó, mọi ξ ∈ L thỏa P (ξ) = 0 đều là nghiệm
đại số của F (y, y′) = 0.
Chứng minh. Vì P là đa thức tối tiểu của η nên η là một nghiệm tổng
quát của 〈P 〉. Giả sử F (η) = 0, theo Mệnh đề 1.53, ta có prem(F, P ) = 0.
Từ đó suy ra SkP I
l
PF = Q1P
′+Q2P , trong đó P ′ là đạo hàm của P , SP và
IP tương ứng là tách và hệ số đầu của P . Chú ý rằng, với ξ thỏa P (ξ) = 0
ta có P ′(ξ) = 0 và SP (ξ) 6= 0, IP (ξ) 6= 0. Do đó, F (ξ) = 0.
Trong luận án này, ta xét K = C(x) và tìm các nghiệm đại số của
F (y, y′) = 0 trên C(x). Thực ra việc tìm một nghiệm đại số của F (y, y′) =
0 là việc tính đa thức tối tiểu của nó trên trường cơ sở C(x). Ta nói đa
40
thức bất khả quy P (x, y) là một nghiệm đại số của F (y, y′) = 0 có nghĩa
là một trong các hàm đại số y(x), xác định bởi P (x, y(x)) = 0, là một
nghiệm của F (y, y′) = 0. Bậc của một nghiệm đại số được hiểu là bậc
của đa thức tối tiểu xác định nghiệm đại số đó.
Phần còn lại của mục này chúng tôi trình bày lại một số kết quả về
nghiệm đại số của phương trình vi phân đại số cấp một autonom (tức là
mọi hệ số là hằng) trong bài báo của J. M. Aroca và các cộng sự [2]. Các
kết quả này được chúng tôi tổng quát hóa cho các phương trình không
autonom nhưng tương đương với một phương trình autonom.
Đối với các phương trình vi phân đại số cấp một autonom, để tính một
nghiệm tổng quát đại số của F (y, y′) = 0 ta chỉ cần tính một nghiệm đại
số không tầm thường.
Định nghĩa 3.4 ([2]). Một nghiệm đại số P (x, y) = 0 của phương trình vi
phân đại số cấp một autonom F (y, y′) = 0 được gọi là không tầm thường
nếu degx P > 0.
Mệnh đề 3.5 ([2]). Cho F ∈ C{y} là một đa thức vi phân bất khả quy
cấp một với hệ số hằng. Giả sử P (x, y) = 0 là một nghiệm đại số không
tầm thường của F (y, y′) = 0. Khi đó P (x+ c, y) = 0 là một nghiệm tổng
quát đại số của F (y, y′) = 0, với c là hằng số tùy ý.
Chặn bậc sau là cơ sở chính để đưa ra một thuật toán tìm một nghiệm
đại số không tầm thường của phương trình vi phân đại số cấp một autonom.
Định lý 3.6 ([2]). Cho F ∈ Q[y, y′] là một đa thức bất khả quy trên Q.
Giả sử P ∈ Q[x, y] là bất khả quy và P (x, y) = 0 là một nghiệm đại số
41
không tầm thường của phương trình vi phân autonom F (y, y′) = 0. Khi đó
degx P = degy′ F, degy P ≤ degy F + degy′ F.
Hơn nữa, P (x + c, y) = 0 là một nghiệm tổng quát đại số của phương
trình F (y, y′) = 0 và chặn bậc như vậy là mịn theo nghĩa có thể chỉ ra một
phương trình vi phân autonom F (y, y′) = 0 mà chặn bậc ở trên đạt được
dấu bằng.
Ví dụ 3.7. a) Cho phương trình vi phân đại số cấp một autonom
F (y, y′) = y′2 − 2y − 9
4
= 0.
Tách của F là S =
∂
∂y′
F (y, y′) = 2y′, nghiệm kỳ dị của F = 0 là y = −9
8
.
Nghiệm tổng quát đại số của F = 0 là
y =
1
2
((x+ c)2 + 3(x+ c)).
Ở đây P (x, y) = 12((x+ c)
2 + 3(x+ c))− y. Suy ra degx P = degy′ F = 2
và degy P = 1 thỏa mãn
1 = degy P ≤ degy F + degy′ F = 1 + 2 = 3.
b) ([2, Example 3.9]) Cho n > m > 0 và (m,n) = 1. Đặt
P (x, y) = yn − xm
là đa thức bất khả quy. Rõ ràng P (x, y) = 0 là một nghiệm đại số của
phương trình vi phân đại số
F (y, y′) = yn−my′m −
(m
n
)m
= 0.
Khi đó ta có degy P = degy F + degy′ F.
42
3.2 Một số tính chất bảo toàn của nghiệm
Định lý 3.8. Cho F,G ∈ AODE (1)K và giả sử F ∼ G. Khi đó F có một
nghiệm tổng quát đại số nếu và chỉ nếu G có một nghiệm tổng quát đại
số.
Chứng minh. Giả sử η là một nghiệm tổng quát đại số của F . Giả sử tồn
tại ΦM ∈ G(1)K xác định bởi M(y) =
ay + b
cy + d
sao cho G = ΦM • F . Khi đó
F = ΦM−1 •G. Vì F (η, η′) = 0 nên
(cη + d)δFG(ΦM(η, η
′)) = 0.
Suy ra M(η) là một nghiệm đại số của G vì cη + d 6= 0. Mặt khác, giả sử
H ∈ AODE (1)K sao cho H(ΦM(η, η′)) = 0, nghĩa là ΦM−1 •H ∈ AODE (1)K
triệt tiêu tại η. Vì η là một nghiệm tổng quát của F nên
ΦM−1 •H ∈ {F} : SF ,
trong đó SF là tách (separant) của F . Từ F = ΦM−1 •G ta suy ra
SF = (cy + d)
δG
∂M
∂y
SG(ΦM) = (cy + d)
δG−2(ad− bc)SG(ΦM)
và do đó (ΦM−1 •H) · SF ∈ {F} hay là
(ΦM−1 •H) · (cy + d)δG−2(ad− bc)SG(ΦM) ∈ {ΦM−1 •G}.
Cho ΦM tác động lên tích ở trên, từ Mệnh đề 2.9 ta suy ra HSG ∈ {G},
tức là H ∈ {G} : SG. Do đó M(η) là một nghiệm tổng quát đại số của
G.
Rõ ràng, ta chỉ cần tính một nghiệm đại số không tầm thường của một
phương trình vi phân đại số cấp một autonom. Khi đó, ta có một nghiệm
43
tổng quát đại số của phương trình khi ta thay biến x thành x+ c với hằng
số tùy ý c. Sự tồn tại nghiệm tổng quát đại số có tính chất bảo toàn qua
lớp tương đương của các phương trình vi phân đại số cấp một. Câu hỏi tự
nhiên được đặt ra là “nghiệm đại số không tầm thường” của phương trình
vi phân trong lớp autonom các phương trình vi phân đại số cấp một được
hiểu như thế nào.
Định nghĩa 3.9. Cho c ∈ C là hằng số, ta định nghĩa ánh xạ tịnh tiến
Tc : AODE (1)K → AODE (1)K
bởi
Tc ? F = F (x+ c, y, y
′) với mọi F ∈ AODE (1)K .
Khái niệm phương trình autonom có thể được phát biểu lại dựa vào
ánh xạ tịnh tiến Tc như sau.
Mệnh đề 3.10. F ∈ AODE (1)K là autonom nếu và chỉ nếu Tc ? F = F
với mọi c ∈ C.
Chứng minh. Rõ ràng, nếu F là autonom thì mọi hệ số của F là hằng. Do
đó Tc ? F = F với mọi c ∈ C. Ngược lại, giả sử Tc ? F = F với mọi c ∈ C.
Giả sử aα,β(x) là một hệ số khác hằng của F tương ứng với đơn thức y
αy′β,
tức là degx aα,β(x) = k > 0. Vì Tc ? F −F = 0 nên mọi hệ số của đa thức
hiệu đồng nhất bằng không, nói riêng, ta có aα,β(x+ c)− aα,β(x) = 0 với
mọi c ∈ C. Do đó đa thức aα,β(x+ c)− aα,β(x) là một đa thức bậc k theo
c có vô hạn nghiệm c. Điều này không xảy ra, vậy mọi hệ số của F đều là
hằng.
44
Ta thấy rằng F ∈ AODE (1)K thuộc một lớp autonom nếu tồn tại ΦM ∈
G(1)K sao cho Tc ? (ΦM • F ) = ΦM • F, ∀c ∈ C, tức là
ΦM−1 • (Tc ? (ΦM • F )) = F, ∀c ∈ C.
Định nghĩa 3.11. Cho F ∈ AODE (1)K thuộc lớp autonom và ΦM là một
phép biến đổi sao cho ΦM •F là autonom. Một nghiệm đại số P (x, y) = 0
của F (y, y′) = 0 trên C(x) được gọi là không tầm thường tương ứng với
ΦM nếu degx(ΦM • P ) > 0.
Chú ý rằng khi chúng ta xét các phương trình vi phân đại số cấp một
autonom và M là ánh xạ đồng nhất thì định nghĩa này trùng với Định
nghĩa 3.4 của nghiệm đại số không tầm thường được đưa ra trong [2].
Định lý 3.12. Cho F (y, y′) = 0 là một phương trình vi phân đại số cấp
một trong lớp autonom và ΦM là phép biến đổi sao cho ΦM • F = 0 là
autonom. Giả sử P (x, y) = 0 là một nghiệm đại số không tầm thường của
F (y, y′) = 0 trên C(x) tương ứng với ΦM . Khi đó ΦM−1•(Tc?(ΦM•P )) = 0
là một nghiệm tổng quát đại số của phương trình F (y, y′) = 0, trong đó c
là hằng số tùy ý.
Chứng minh. Giả sử P (x, y) = 0 là một nghiệm đại số không tầm thường
của phương trình vi phân đại số cấp một F (y, y′) = 0 tương ứng với ΦM .
Khi đó phương trình vi phân ΦM • F = 0 là autonom và có một nghiệm
đại số không tầm thường là ΦM • P = 0. Từ đó suy ra Tc ? (ΦM • P ) = 0
là một nghiệm tổng quát đại số của phương trình vi phân ΦM •F = 0. Do
đó ΦM−1 • (Tc ? (ΦM •P )) = 0 là một nghiệm tổng quát đại số của phương
trình vi phân đại số cấp một F (y, y′) = 0.
45
Định lý 3.13. Giả sử phương trình vi phân đại số cấp một F (y, y′) = 0
thuộc lớp autonom và P (x, y) = 0 là một nghiệm đại số không tầm thường
của phương trình F (y, y′) = 0 tương ứng với ΦM . Khi đó, giống của đường
cong đại số P (x, y) = 0 bằng giống của đường cong đại số F (y, y′) = 0.
Chứng minh. Vì phương trình vi phân đại số cấp một F (y, y′) = 0 thuộc
lớp autonom nên tồn tại một phép biến đổi song hữu tỷ ΦM sao cho phương
trình vi phân ΦM •F = 0 là autonom. Khi đó ΦM •P = 0 là một nghiệm
đại số không tầm thường của phương trình ΦM • F = 0. Theo [2, Lemma
3.5], giống của ΦM •P = 0 bằng giống của ΦM •F = 0. Do ΦM là một phép
biến đổi song hữu tỷ nên giống của P (x, y) = 0 và giống của F (y, y′) = 0
bằng nhau.
3.3 Một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số
Theo [2, Theorem 3.4 và Theorem 3.8], bậc của một nghiệm đại số
không tầm thường của một phương trình vi phân đại số cấp một autonom
F (y, y′) = 0 là bị chặn. Chúng ta sử dụng kết quả này để tìm ra một chặn
bậc mới cho nghiệm tổng quát đại số của một phương trình vi phân đại
số cấp một trong lớp tương đương autonom của nó. Ở đây khi nói bậc của
một nghiệm đại số chúng ta hiểu là bậc của đa thức tối tiểu của nó trên
trường cơ sở. Kết quả chính của mục này là định lý sau.
Định lý 3.14. Cho F ∈ AODE (1)K và giả sử tồn tại ΦM ∈ G(1)K sao
cho ΦM • F là phương trình vi phân đại số autonom. Khi đó, bậc của
một nghiệm tổng quát đại số của F (y, y′) = 0 trên K bị chặn trên bởi
46
(δF + degy′ F ). Hơn nữa, nếu K = C(x) và M(y) =
ay + b
cy + d
, trong đó bậc
của a, b, c, d nhỏ hơn N , thì bậc theo x của đa thức tối tiểu của nghiệm
tổng quát đại số của F (y, y′) = 0 nhỏ hơn degy′ F +N(δF + degy′ F ).
Chứng minh. Theo Định lý 2.11, ta có
degy′ G = degy′ F, degyG ≤ δF .
Giả sử Q(x, y) là đa thức bất khả quy của một nghiệm đại số không tầm
thường yˆ của phương trình G(y, y′) = 0 trên C(x). Vì G(y, y′) = 0 là một
phương trình vi phân đại số cấp một autonom nên theo [2, Theorem 3.8]
suy ra
degxQ = degy′ G và degyQ ≤ degyG+degy′ G ≤ δF +degy′ F. (3.1)
Rõ ràng M−1(yˆ) là một nghiệm đại số không tầm thường của F = 0. Giả
sử M(y) =
ay + b
cy + d
. Khi đó
(cM−1(yˆ) + d)degy QQ(x,M(M−1(yˆ))) = 0.
Suy ra M−1(yˆ) là một nghiệm của đa thức (cy + d)degy QQ(x,M(y)), tức
là M−1(yˆ) là một phần tử đại số trên K với bậc không quá degyQ. Bất
đẳng thức (3.1) suy raM−1(yˆ) là một phần tử đại số trên K với bậc không
quá (δF + degy′ F ). Vì bậc của một nghiệm đại số không tầm thường và
bậc của một nghiệm tổng quát đại số của G = 0 bằng nhau nên phần đầu
của định lý được chứng minh.
Vì degxQ = degy′ G = degy′ F và degyQ ≤ δF + degy′ F nên theo
Mệnh đề 2.13 suy ra bậc theo x của đa thức tối tiểu của một nghiệm tổng
quát đại số của phương trình vi phân đại số cấp một F (y, y′) = 0 nhỏ hơn
degy′ F +N(δF +degy′ F ). Phần sau của định lý đã được chứng minh.
47
Lưu ý rằng với phương trình vi phân đại số cấp một autonom thì bậc của
một nghiệm tổng quát đại số của F = 0 bị chặn trên bởi degy′ F +degy F ,
đại lượng này nhỏ hơn hoặc bằng degy′ F + δF . Nói cách khác, khi ta hạn
chế lên các phương trình vi phân đại số cấp một autonom thì chặn bậc sẽ
cao hơn. Điều này có lý vì chặn bậc của chúng tôi áp dụng cho lớp các
phương trình vi phân đại số cấp một rộng hơn và lớp này chứa các phương
trình autonom.
Chúng tôi đề xuất thuật toán để tính nghiệm tổng quát đại số của
phương trình vi phân đại số cấp một trong lớp autonom, và trình bày ví
dụ về phương trình vi phân đại số không autonom chuyển thành phương
trình vi phân đại số autonom và tính nghiệm tổng quát đại số của phương
trình đã cho.
Thuật toán 1
Input: F ∈ K[y, y′], degy F > 0, degy′ F > 0, M(y) =
ay + b
cy + d
để
ΦM • F là autonom.
Output: Tính nghiệm tổng quát đại số của F = 0 nếu có.
1. Sử dụng Thuật toán 4.4 trong [2] để tính một nghiệm đại số không
tầm thường của ΦM • F . Nếu ΦM • F không có nghiệm đại số không
tầm thường thì kết luận “F = 0 không có nghiệm tổng quát đại số”.
2. Nếu Q(x, y) = 0 là nghiệm đại số không tầm thường của ΦM •F = 0
nhận được từ bước 1 thì
(−cy + a)degy QQ(x+ C,M−1(y)) = 0
là một nghiệm tổng quát đại số của F = 0 với C là hằng số tùy ý.
48
Ví dụ 3.15. Xét phương trình không autonom
F (y, y′) =
(
7x2 + 10 y2x4 − 14x3y − 2x5y3) y ′2
+
[−2x6y5 + (−4x4 + 10x5)y4 + (20x3 − 20x4)y3
+ (−28x2 + 12x3)y2 + (14x2 + 14x)y − 14x] y ′
− 2x5y6 + (10x4 − 2x3)y5 + (−20x3 + 10x2 − x4)y4
+ (4x3 − 14x+ 12x2)y3 + (7− 6x2 + 14x)y2 − 14y + 7 = 0.
Ta có δF = 7. Đặt M(y) = xy − 1. Biến đổi ΦM biến phương trình
F (y, y′) = 0 thành phương trình
G(y, y′) = ΦM•F = x7[(1−2y3+4y2)y′2+(−2y5−8y2+8y)y′+4−y4−4y] = 0,
và phương trình này tương đương với phương trình autonom
(1− 2y3 + 4y2)y′2 + (−2y5 − 8y2 + 8y)y′ + 4− y4 − 4y = 0.
Ta kiểm tra được phương trình G(y, y′) = 0 có nghiệm đại số không tầm
thường
Q(x, y) = xy2 − y + x2 + 1 = 0.
Do đó, nghiệm tổng quát đại số của G(y, y′) = 0 là
Q(x+ c, y) = (x+ c)y2 − y + (x+ c)2 + 1 = 0,
với c là hằng số tùy ý. Đa thức
ΦM−1 •Q(x+ c, y) = Q (x+ c, xy − 1) =
=(cx2 + x3)y2 + (−2xc− 2x2 − x)y + x2 + c+ x+ 2 + 2xc+ c2
là đa thức tối tiểu của nghiệm tổng quát đại số của F (y, y′) = 0.
49
Chú ý rằng đường cong đại số ΦM−1 •Q(x+ c, y) = 0 có giống bằng 1,
cùng giống với đường cong đại số F (y, y′) = 0. Trong ví dụ này, bậc của
nghiệm tổng quát đại số là 2 và chặn bậc là degy′ F + δF = 2 + 7 = 9.
Chú ý 3.16. Trong Thuật toán 1, chúng tôi giả thiết rằng F (y, y′) = 0
là tương đương với một phương trình autonom qua phép biến đổi ΦM .
Vấn đề xác định liệu F (y, y′) = 0 có tương đương với một phương trình
autonom hay không là một vấn đề mở. Trong chương sau chúng tôi giải
quyết vấn đề này khi biết thêm giả thiết rằng F (y, y′) = 0 là một phương
trình tham số hữu tỷ được.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3
Trong chương này chúng tôi thiết lập một số tính chất bảo toàn liên
quan đến nghiệm của phương trình vi phân đại số dưới tác động của nhóm
các phép biến đổi Mo¨bius. Cụ thể, chúng tôi chứng minh tính chất bảo
toàn nghiệm tổng quát đại số (Định lý 3.8); đưa ra cách xác định một
nghiệm tổng quát đại số từ một nghiệm đại số không tầm thường của một
phương trình vi phân đại số cấp một thuộc lớp autonom (Định lý 3.12);
chứng minh giống của đường cong đại số xác định nghiệm bằng giống của
đường cong tương ứng với phương trình vi phân nếu phương trình vi phân
thuộc lớp tương đương autonom (Định lý 3.13); đưa ra một chặn bậc mới
cho nghiệm tổng quát đại số của một phương trình vi phân đại số cấp một
thuộc lớp tương đương autonom (Định lý 3.14). Từ đó chúng tôi đề xuất
một thuật toán (Thuật toán 1) tìm nghiệm tổng quát đại số của một
phương trình vi phân đại số cấp một thuộc lớp tương đương autonom.
50
Chương 4
Sự tương đương của các phương
trình vi phân đại số cấp một tham
số hữu tỷ được
Cho K là một mở rộng hữu hạn của trường vi phân C(x). Tập hợp
các phương trình vi phân hữu tỷ dạng y′ = R(x, y), trong đó R(x, y) là
hàm hữu tỷ theo y với hệ số trên K, là đóng dưới tác động của các phép
biến đổi Mo¨bius trên K, tức là các phép biến đổi dạng y =
aw + b
cw + d
với
a, b, c, d ∈ K, ad − bc 6= 0. Trong chương này chúng tôi đưa ra một tiêu
chuẩn kiểm tra sự tương đương của các phương trình vi phân đa thức dạng
y′ = P (x, y) với P là một đa thức theo y với hệ số trên K. Từ đó chúng
tôi đưa ra một điều kiện cần và một điều kiện đủ để kiểm tra sự tương
đương giữa các phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được
(tức là giống đường cong bằng 0).
51
4.1 Phương trình vi phân đa thức
Một phương trình vi phân đa thức có dạng
y′ = an(x)yn + an−1(x)yn−1 + · · ·+ a1(x)y + a0(x), (4.1)
trong đó a0, a1, . . . , an ∈ K, an 6= 0. Đây là dạng tổng quát của phương
trình vi phân Riccati (n = 2) và phương trình vi phân Abel (n = 3).
Rõ ràng qua phép biến đổi dạng y = aw+ b một phương trình vi phân
đa thức biến thành một phương trình vi phân đa thức. Trong phần này
chúng tôi tìm các hàm bất biến của phương trình vi phân đa thức đối với
phép biến đổi có dạng y = aw+ b. Theo Định nghĩa 2.3, chúng ta cần tìm
các hàm theo các hệ số của phương trình vi phân đa thức không thay đổi
qua các phép biến đổi dạng y = aw + b.
Phép biến đổi này có thể được xem như là hợp thành của hai ánh xạ
f(w) = aw và g(z) = z + b, tức là y = g(f(w)). Theo đó, các hệ số
(a0, a1, . . . , an) được biến đổi thành (A0, A1, . . . , An) qua ánh xạ g(z) =
z + b và sau đó các hệ số (A0, A1, . . . , An) biến đổi thành (a˜0, a˜1, . . . , a˜n)
qua ánh xạ f(w) = aw.
4.1.1 Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = z + b
Phương trình (4.1) được biến đổi thành
z′ = An(x)zn + An−1(x)zn−1 + · · ·+ A1(x)z + A0(x), (4.2)
52
trong đó 
An = an
An−i =
i∑
j=0
an−j
(
n− j
i− j
)
bi−j, ∀i = 1, . . . , n− 1
A0 =
n∑
j=0
ajb
j − b′.
(4.3)
Với i = 1, từ phương trình thứ hai của hệ ta suy ra
b =
An−1 − an−1
nan
.
Thế b vào (n− 2) phương trình tiếp theo, ta được, với mọi 2 ≤ i ≤ n− 1,
An−i =
i∑
j=0
an−j
(
n− j
i− j
)(
An−1 − an−1
nan
)i−j
=
i−1∑
j=0
[(
n−j
i−j
)
ni−j
Ai−jn−1
ai−jn
an−j +
i−j−1∑
k=1
(−1)k
(
n−j
i−j
)(
i−j
k
)
ni−j
Ai−j−kn−1 a
k
n−1
ai−jn
an−j+
(−1)i−j
(
n−j
i−j
)
ni−j
ai−jn−1an−j
ai−jn
]
+ an−i
=
(
n
i
)
ni
Ain−1
ai−1n
+
(
n−1
i−1
)
ni−1
Ai−1n−1an−1
ai−1n
+
i−1∑
j=2
(
n−j
i−j
)
ni−j
Ai−jn−1an−j
ai−jn
−
(
n
i
)(
i
1
)
ni
Ai−1n−1an−1
ai−1n
+
i−1∑
k=2
(−1)k
(
n
i
)(
i
k
)
ni
Ai−kn−1a
k
n−1
ai−1n
+
i−2∑
k=1
(−1)k
(
n−1
i−1
)(
i−1
k
)
ni−1
Ai−1−kn−1 a
k+1
n−1
ai−1n
+
i−1∑
j=2
i−j−1∑
k=1
(−1)k
(
n−j
i−j
)(
i−j
k
)
ni−j
Ai−j−kn−1 a
k
n−1an−j
ai−jn
+
i−1∑
j=0
(−1)i−j
(
n−j
i−j
)
ni−j
ai−jn−1an−j
ai−jn
+ an−i
(4.4)
53
Kết hợp các hệ số của các đơn thức đồng dạng và chú ý rằng
(−1)k
(
i
k
)(
n
i
)
ni
+ (−1)k−1
(
i−1
k−1
)(
n−1
i−1
)
ni−1
= (−1)k−1 (k − 1)
(
i
k
)(
n
i
)
ni
,
ta có
An−i =
(
n
i
)
ni
Ain−1
ai−1n
+
i−1∑
k=2
(−1)k−1 (k − 1)
(
i
k
)(
n
i
)
ni
Ai−kn−1a
k
n−1
ai−1n
+
i−1∑
j=2
i−j−1∑
k=0
(−1)k
(
n−j
i−j
)(
i−j
k
)
ni−j
Ai−j−kn−1 a
k
n−1an−j
ai−jn
+
i−1∑
j=0
(−1)i−j
(
n−j
i−j
)
ni−j
ai−jn−1an−j
ai−jn
+ an−i.
(4.5)
Nói riêng, cho i = 2,
An−2 =
(
n
2
)
n2
A2n−1
an
−
(
n
2
)
n2
a2n−1
an
+ an−2.
Định lý sau đây cho chúng ta một công thức của An−i mà không có sự
xuất hiện của những hạng tử trộn, tức là những hạng tử chứa đồng thời
An−1 và an−1.
Định lý 4.1. Với mọi 2 ≤ i ≤ n− 1, ta có
An−i = −
i−1∑
j=0
(−1)i−j
(
n−j
i−j
)
ni−j
Ai−jn−1An−j
ai−jn
+
i−1∑
j=0
(−1)i−j
(
n−j
i−j
)
ni−j
ai−jn−1an−j
ai−jn
+ an−i.
(4.6)
Chứng mi