Luận án Nghiên cứu cộng hưởng Electron-phonon và cộng hưởng từ-phonon trong giếng lượng tử

+)ζ )]
)}
,
trong đó, ta đã đặt
41
HSB0 =
LxLyDV0m
∗
8pi3~2(fβ − fα) ,
λ1(±) =
(
k2⊥α +
2m∗
~2
[
~(Ω± ωLO)− (εnζ − εnα)
])1/2
,
λ2(±) =
(
k2⊥β −
2m∗
~2
[
~(Ω± ωLO)− (εnβ − εnζ)
])1/2
,
f
1(±)
ζ =
1
1 + exp
[
1
kBT
(
(~2λ2
1(±)/2m
∗)+εnζ−EF
)] ,
f
2(±)
ζ =
1
1 + exp
[
1
kBT
(
(~2λ2
2(±)/2m
∗)+εnζ−EF
)] .
và
Inβnζ =
∫ +∞
−∞
|Jnβnζ(qz)|2dqz, (2.18)
Inαnζ =
∫ +∞
−∞
|Jnαnζ(qz)|2dqz,
nếu xét dịch chuyển từ trạng thái ban đầu nα ≡ n đến trạng thái cuối nβ ≡ n′ thì tích
phân bao phủ In′n trong (2.18) được tính cụ thể như sau:
*Trước hết ta cần phải tính tích phân:
In′n =
∫ ∞
0
φn′ (z)e
iqzφn(z) +
∫ ∞
0
φn′ (z)e
−iqzφn(z)dz. (2.19)
Chú ý rằng:
eiqz + e−iqz = 2 cos(qz), (2.20)
nên tích phân trên được viết lại là:
In′n = 2
∫ ∞
0
φn′ (z) cos(qz)ϕn(z)dz. (2.21)
Hay:
In′n = CnCn′
∫ ∞
0
Ai
[
Mz −K2n
M2/3
]
e±iqzAi
[
Mz −K2n′
M2/3
]
dz. (2.22)
Nếu ta đặt
x = Mz ⇒ z = x
M
, dz =
dx
M
, (2.23)
42
khi đó, cận của tích phân không thay đổi nên tích phân trên trở thành:
In′n =
CnCn′
M
∫ ∞
0
Ai
[
x−K2n
M2/3
]
e
±i
q
M
x
Ai
[
x−K2
n′
B2/3
]
dx. (2.24)
Áp dụng công thức (3.127) trong [57], có dạng∫ ∞
0
Ai
[
x+ a
β
]
Ai
[
x+ b
β
]
e±iGxdx (2.25)
=
|β|1/2
2
√
pi|G|1/2 exp
{
−i
[
β3G3
12
− (a− b)
2
4β3
G+
G(a+ b)
2
+
pi
4
sgn(βG)
]}
,
ta suy ra:
In′n =
CnCn′
M
|β|1/2
2
√
pi|G|1/2 (2.26)
× exp
{
−i
[
β3G3
12
− (a− b)
2
4β3
G+
G(a+ b)
2
+
pi
4
sgn(βG)
]}
.
Tiếp theo, bình phương module biểu thức này ta được:
|In′n|2 =
C2nC
2
n′
M2
|β|
4pi|G| . (2.27)
Ở đây, G = q
B
và β = M2/3 nên kết quả tích phân (2.24) là:
|In′n|2 =
C2nC
2
n′
M1/34pi|q| . (2.28)
Thực hiện tính tích phân theo q. Kết quả thu được là
In′n =
∫ ∞
−∞
C2nC
2
n′
M1/34pi|q|dq ≈ 9, 21× 10
6 × C
2
nC
2
n′
M1/34pi
, (2.29)
với
M1/3 =
(
2m∗eF
~2
)1/3
≈ 3, 14× 106 ×F1/3. (2.30)
Cuối cùng, thay B0(Ω) vào (2.6), ta thu được biểu thức tường minh công suất hấp
thụ tuyến tính của sóng điện từ do tương tác electron-phonon quang dọc trong TrQW.
43
2.1.2. Biểu thức công suất hấp thụ phi tuyến
Để thu được biểu thức tường minh công suất hấp thụ phi tuyến trong giếng lượng
tử tam giác, ta cần sử dụng biểu thức hàm sóng và năng lượng lần lượt từ công thức
(1.11), (1.12) vào (1.62) và (1.70) theo hướng z để tính các yếu tố ma trận có dạng
giống như (z)αβ, (jz)βα. Thực hiện tính tương tự như (2.2),(2.3), (2.4) và (2.5), ta được
(z)αβ ≡ 〈k⊥α, nα|z|k⊥β, nβ〉 = δ~k⊥α,~k⊥βGnα,nβCnβCnα ,
(z)να ≡ 〈k⊥ν , nν |z|k⊥α, nα〉 = δ~k⊥ν ,~k⊥αGnν ,nαCnνCnα ,
(z)βδ ≡ 〈k⊥β, nβ|z|k⊥δ, nδ〉 = δ~k⊥β ,~k⊥δGnβ ,nδCnβCnδ ,
(jz)βν ≡ ie~
m∗
〈k⊥β, nβ| ∂
∂z
|k⊥ν , nν〉 = ie~
m∗
δ~k⊥β ,~k⊥νLnβ ,nνCnβCnν ,
(jz)δα ≡ ie~
m∗
〈k⊥δ, nα| ∂
∂z
|k⊥δ, nα〉 = ie~
m∗
δ~k⊥δ,~k⊥αLnδ,nαCnδCnα .
Thay các số hạng ở trên vào (1.62), ta thu được thành phần phi tuyến của tenxơ độ
dẫn. Bằng cách tính toán tương tự như phần tuyến tính, kết quả tìm được biểu thức
tổng quát thành phần phi tuyến P1(Ω) theo hướng z công suất hấp thụ sóng điện từ
trong TrQW như sau:
P1(Ω) = e
3E30~
2m∗
HSP0
∑
nα
∑
nβ
∑
nν
∑
nδ
(fβ − fα)B0(Ω)
(~Ω− Eβα)2 +B20(Ω)
×
{
− (~Ω− Eβα)B1(2Ω) + (2~Ω− Eβν)B0(Ω)
(2~Ω− Eβν)2 +B21(2Ω)
(2.31)
+
(~Ω− Eβα)B2(2Ω) + (2~Ω− Eδα)B0(Ω)
(2~Ω− Eδα)2 +B22(2Ω)
}
× δnα,nβδnν ,nαδnβ ,nνδnβ ,nδδnδ,nα ×Knα,nβKnν ,nαKnβ ,nδKnβ ,nνKnδ,nα
× Lnα,nβLnν ,nαLnβ ,nδLnβ ,nνLnδ,nα ,
ở đây
Eβα = Eβ − Eα = Enβ(k⊥β)− Enα(k⊥α),
Eβν = Eβ − Eν = Enβ(k⊥β)− Enν (k⊥ν), (2.32)
Eδα = Eδ − Eα = Enδ(k⊥δ)− Enα(k⊥α).
44
Như vậy, ta cần xác định hai hàm độ rộng phổ phi tuyến B1(2Ω) và B2(2Ω) trong công
thức (2.31). Thực hiện tính tương tự như thành phần độ rộng phổ tuyến tính B0(Ω),
các đại lượng này lần lượt có dạng
B1(2Ω) =
pi
fβ − fα
∑
q,ζ
|Cνζ(q)|2
× {[(1 +Nq)fβ(1− fζ)−Nqfζ(1− fβ)]δ(2~Ω− Eβζ + ~ωLO)
− [(1 +Nq)fζ(1− fβ) +Nqfζ(1− fζ)] δ(2~Ω− Eβζ − ~ωLO)
− [(1 +Nq)fα(1− fζ)−Nqfζ(1− fα)] δ(2~Ω− Eαζ + ~ωLO)
+ [(1 +Nq)fζ(1− fβ)−Nqfβ(1− fζ)] δ(2~Ω− Eαζ − ~ωLO)}
+
pi
fβ − fα
∑
q,ζ
|Cζβ(q)|2 (2.33)
× {[(1 +Nq)fζ(1− fα)−Nqfα(1− fζ)] δ(2~Ω− Eζα − ~ωLO)
+ [Nqfζ(1− fα)− (1 +Nq)fα(1− fζ)] δ(2~Ω− Eζα + ~ωLO)} ,
và
B2(2Ω) =
pi
fβ − fα
∑
q,ζ
|Cδζ(q)|2
× {[(1 +Nq)fζ(1− fα)−Nqfα(1− fζ)] δ(2~Ω− Eζα + ~ωLO)
+ [Nqfβ(1− fζ)− (1 +Nq)fζ(1− fβ)] δ(2~Ω− Eζβ + ~ωLO)
+ [(1 +Nq)fβ(1− fζ)−Nqfζ(1− fβ)] δ(2~Ω− Eζβ − ~ωLO)
− [(1 +Nq)fα(1− fζ) +Nqfζ(1− fα)] δ(2~Ω− Eζα − ~ωLO)}
− pi
fβ − fα
∑
q,ζ
|Cβζ(q)|2 (2.34)
× {[(1 +Nq)fβ(1− fζ)−Nqfζ(1− fβ)] δ(2~Ω− Eβζ + ~ωLO)
+ [Nqfβ(1− fζ)− (1 +N1)fζ(1− fβ)] δ(2~Ω− Eβζ − ~ωLO)} .
Tiếp theo, ta thực hiện phép tính chuyển tổng theo q và ζ thành tích phân như phần
tuyến tính, kết quả thu được các biểu thức của độ rộng phổ phi tuyến lần lượt là
45
B1(2Ω) = HSB0
∑
nν ,nζ
∫ +∞
−∞
|Jnζnν (qz)|2dqz
×
{
λ11(+)
k2⊥β − λ211(+)
[
(1 +Nq)fβ(1− f (11+)ζ )−Nqf (11+)ζ (1− fβ)
− (1 +Nq)fα(1− f (11+)ζ ) +Nqf (11+)ζ (1− fα)
]
× λ11(−)
k2⊥β − λ211(−)
[
(1 +Nq)f
(11−)
ζ (1− fα)−Nqfα(1− f (11−)ζ )
− (1 +Nq)f (11−)ζ (1− fβ)−Nqfβ(1− f (11−)ζ )
]}
(2.35)
− HSB0
∑
nζ
∫ +∞
−∞
|Jnβnζ(qz)|2dqz
×
{
λ12(−)
k2⊥α − λ212(−)
[
(1 +Nq)fα(1− f (12−)ζ )−Nqf (12−)ζ (1− fα)
]
− λ12(+)
k2⊥α − λ212(+)
[
(1 +Nq)f
(12+)
ζ (1− fα)−Nqfα(1− f (12+)ζ )
]}
,
B2(2Ω) = HSB0
∑
nζ ,nδ
∫ +∞
−∞
|Jnζnδ(qz)|2dqz
×
{
λ21(+)
k2⊥β − λ221(+)
[
(1 +Nq)f
21(+)
ζ (1− fα)−Nqfα(1− f 21(+)ζ )
]
+
λ22(+)
k2⊥β − λ222(+)
[
Nqfβ(1− f 22(+)ζ )− (1 +Nq)f 22(+)ζ (1− fβ)
]
+
1
λ22(−)
[
(1 +Nq)fβ(1− f 22(−)ζ )−Nqf 22(−)ζ (1− fβ)
]
− λ22(−)
k2⊥β − λ222(−)
[
(1 +Nq)fα(1− f 21(−)ζ ) +Nqf 21(−)ζ (1− fα)
]}
− HSB0
∑
nζ
∫ +∞
−∞
|Jnβnζ(qz)|2dqz (2.36)
×
{
λ22(−)
k2⊥α − λ222(−)
[
(1 +Nq)fβ(1− f 22(−)ζ )−Nqf 22(−)ζ (1− fβ)
]
+
λ22(+)
k2⊥α − λ222(+)
[
Nqfβ(1− f 22(+)ζ )− (1 +N1)f 22(+)ζ (1− fβ)
]}
,
trong đó, ta đã đặt các số hạng tương ứng như sau:
HSP0 =
E20e~
2m∗
(z)αβ(jz)αβ,
46
λ12(±) = λ21(±) =
√
2m∗
~
(2~Ω± ~ωLO),
λ11(±) =
(
k2⊥α +
2m∗
~2
[
(2~Ω± ~ωLO)− (εnβ − εnζ)
])1/2
,
f
11(±)
ζ =
1
1 + exp
[
1
kBT
(
(~2λ2
11(±)/2m
∗)+εnζ−EF
)] ,
và
f
12(±)
ζ = f
21(±)
ζ =
1
1 + exp
[ 1
kBT
(
~2λ2
12(±)
2m∗ +εnζ−EF )]
λ22(±) =
(
k2⊥β −
2m∗
~2
[
(2~Ω± ~ωLO)− (εnζ − εnα)
])1/2
,
f
22(±)
ζ =
1
1 + exp
[
1
kBT
(
(~2λ2
22(±)/2m
∗)+εnζ−EF
)] .
Bằng cách thay thế các biểu thức (2.35) và (2.36) vào biểu thức (2.31), kết quả sẽ
thu được biểu thức công suất hấp thụ phi tuyến P1(Ω). Cuối cùng, ta thế (2.6) và (2.31)
vừa tìm được vào (1.68), kết quả thu được biểu thức giải tích tổng quát công suất hấp
thụ phi tuyến bậc một trong TrQW.
2.2. Kết quả tính số và thảo luận
Bằng cách sử dụng phần mềm Mathematica, kết quả tính số và vẽ đồ thị công suất
hấp thụ tuyến tính và phi tuyến trong TrQW với các thông số vật liệu được cho bởi [4]
như sau: χ∞ = 10.89, χ0 = 13.18, m∗ = 0.067m0 với m0 là khối lượng của electron tự
do, EF = 50 meV là mức năng lượng Fermi, 0 = 8.85× 1012 F·m−1 là hằng số điện môi
trong chân không và ~ωLO = 36.25 meV là năng lượng phonon quang dọc. Chúng tôi
chỉ nghiên cứu sự dịch chuyển từ trạng thái đầu nα = 1 đến trạng thái cuối nβ = 2.
2.2.1. Điều kiện cộng hưởng ODEPR
Từ hình 2.1, ta nhận thấy rằng có 3 đỉnh cộng hưởng trên đường cong thỏa mãn điều
kiện ODEPR
`~Ω± Eβα ± ~ωLO = 0, với ` = 1. (2.37)
47
1a 1b 1c
0 10 20 30 40 50 60 70
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
N ng l ng photon HmeVL
A
P
tu
y
n
tín
h
H
v
bk
L
Hình 2.1: Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính vào năng lượng
photon. Ở đây, T = 200 K và F = 10× 105 V/m.
+ Đỉnh 1a định vị tại ~Ω = 14.58 meV, thỏa mãn điều kiện ~Ω = Eβ − Eα. Đây là
quá trình mà trong đó các electron từ trạng thái α hấp thụ một photon để dịch chuyển
tới trạng thái β không kèm theo bất kỳ quá trình hấp thụ và/hoặc phát xạ phonon nào.
+ Đỉnh 1b định vị tại ~Ω = 36.25 meV, tương ứng quá trình hấp thụ một photon
thỏa mãn điều kiện ~Ω = ~ωLO. Đây là đỉnh do các dịch chuyển nội vùng con.
+ Đỉnh 1c định vị tại ~Ω = 50.83 meV, thỏa mãn điều kiện ~Ω = ~ωLO + Eβα =
36.25 + 14.58 meV. Đây là đỉnh ODEPR , tương ứng với electron ở trạng thái năng
lượng Eα hấp thụ môt photon để nhảy lên trạng thái năng lượng Eβ. Quá trình này
kèm với phát xạ một phonon có năng lượng ~ωLO.
Hình 2.2 cho thấy có 7 đỉnh cộng hưởng trên đường cong. Các đỉnh 1a, 1b và 1c
tương ứng với quá trình hấp thụ tuyến tính đã được giải thích cụ thể, trong khi các
đỉnh 2a, 2b, 2c và 2d tương ứng với quá trình hấp thụ hai photon thỏa mãn điều kiện
cộng hưởng
`~Ω± Eβα ± ~ωLO = 0, với ` = 2, (2.38)
được giải thích cụ thể như sau:
+ Đỉnh 2a tương ứng với giá trị ~Ω = 7.29 meV, thỏa mãn điều kiện 2~Ω = Eβ−Eα.
Đỉnh này mô tả sự dịch chuyển của các electron từ trạng thái |α〉 tới trạng thái |β〉
bằng cách hấp thụ hai photon có cùng năng lượng ~Ω và không kèm theo quá trình hấp
thụ và/hoặc phát xạ phonon.
48
1a 1b 1c
2a
2b
2c 2d
0 10 20 30 40 50 60 70
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
N ng l ng photon HmeVL
A
P
ph
it
uy
n
H
v
bk
L
Hình 2.2: Sự phụ thuộc công suất hấp thụ phi tuyến vào năng lượng photon.
Ở đây, T = 200 K và F = 10× 105 V/m.
+ Các đỉnh 2b và 2d định vị tại ~Ω = 10.825 meV và ~Ω = 25.425 meV tương ứng
thỏa mãn các điều kiện ODEPR 2~Ω = Eβα ± ~ωLO.
+ Đỉnh 2c định vị tại 18.125 meV là do dịch chuyển nội vùng con thỏa mãn điều
kiện 2~Ω = ~ωLO.
2.2.2. Sự phụ thuộc công suất hấp thụ và độ rộng vạch phổ vào điện trường
aL
45 50 55 60 65
0
1
2
3
4
5
N ng l ng photon HmeVL
A
P
tu
y
n
tín
h
H
v
bk
L bL
0 10 20 30 40 50 60 70
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
N ng l ng photon HmeVL
A
P
ph
it
uy
n
H
v
bk
L
Hình 2.3: Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon đối với 3
giá trị khác nhau của điện trường nhờ a) quá trình hấp thụ tuyến tính và b) quá
trình hấp thụ phi tuyến. Các đường liền nét (màu đen), đường gạch gạch (màu
đỏ) và đường chấm chấm (màu xanh) lần lượt tương ứng với F = 5× 105 V/m,
F = 10× 105 V/m và F = 15× 105 V/m. Ở đây, T = 200 K.
49
Từ hình 2.3. a) và hình 2.3. b), ta thấy rằng khi điện trường tăng lên thì độ lớn của
AP đối với cả trường hợp tuyến tính và phi tuyến đều gia tăng cũng như vị trí các đỉnh
cộng hưởng dịch chuyển về phía năng lượng cao hơn (hiện tượng dịch chuyển xanh). Lý
do chính của hiện tượng dịch chuyển xanh này đến từ sự gia tăng của năng lượng dịch
chuyển Eβα. Những kết quả này cũng được giải thích khi điện trường tăng dẫn đến sự
giam giữ của electron trong TrQW tăng nên năng lượng dịch chuyển cũng tăng lên.
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
ã
ã
ã
ã
ã
ã
ã
ã
ã
ã
Ÿ m t-photon
ã hai-photon
1 2 3 4 5
0.10
0.15
0.20
0.25
F H10 ´ 105 VmL
FW
H
M
Hm
eV
L
Hình 2.4: Sự phụ thuộc của FWHM vào điện trường. Các chấm vuông (đặc,
màu xanh) và (rỗng, màu đen) lần lượt tương ứng với quá trình hấp thụ tuyến
tính và phi tuyến.
Từ hình vẽ biểu diễn sự phụ thuộc của AP vào năng lượng photon, bằng phương
pháp profile, ta thu được FWHM của đỉnh ODEPR như hình 2.4. FWHM như một
hàm của cường độ điện trường F trong cả hai trường hợp tuyến tính và phi tuyến. Khi
thông số đặc trưng của TrQW này tăng lên thì FWHM cũng gia tăng. Điều này chính
là do F tăng dẫn đến độ rộng giếng giảm như được minh họa trong hình 1.3. Vì vậy,
xác suất tán xạ electron–phonon quang dọc tăng lên thì FWHM cũng gia tăng.
2.2.3. Sự phụ thuộc công suất hấp thụ và độ rộng vạch phổ vào nhiệt độ
Hình 2.5 a) và hình 2.5 b) cho thấy rằng khi nhiệt độ tăng lên thì vị trí đỉnh ODEPR
không bị ảnh hưởng nhưng cường độ của nó lại tăng lên. Nhiệt độ càng cao thì giá trị
đỉnh cộng hưởng càng lớn trong cả hai trường hợp tuyến tính và phi tuyến. Với sự gia
tăng của nhiệt độ, hàm phân bố phonon Nq tăng lên dẫn đến độ lớn của AP cũng tăng.
Trong khi đối số của hàm delta không phụ thuộc nhiệt độ vì thế năng lượng hấp thụ
photon vẫn được giữ nguyên so với sự thay đổi nhiệt độ. Kết quả này phù hợp tốt với
các nghiên cứu trong mô hình với các thế giam giữ truyền thống trước đây [26, 60].
50
aL
5 10 15 20 25
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
N ng l ng photon HmeVL
A
P
tu
y
n
tín
h
H
v
bk
L bL
0 10 20 30 40 50 60 70
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
N ng l ng photon HmeVL
A
P
ph
it
uy
n
H
v
bk
L
Hình 2.5: Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon đối với
3 giá trị khác nhau của nhiệt độ nhờ a) quá trình hấp thụ tuyến tính và b)
quá trình hấp thụ phi tuyến. Các đường liền nét (màu đen), đường gạch gạch
(màu đỏ) và đường chấm chấm (màu xanh) lần lượt tương ứng với T = 100 K,
T = 200 K và T = 300 K. Ở đây, F = 10× 105 V/m.
è è è è è
è è
è è
è
è
è
è
è
è
è
è
è
è
è
è
é
é
é
é
é
é
é
é
é
é
é
é
é
é
é
é é
é é
é é
è m t-photon
é hai-photon
100 150 200 250 300
0.02
0.03
0.04
0.05
T HKL
FW
H
M
Hm
eV
L
Hình 2.6: Sự phụ thuộc của FWHM vào nhiệt độ tại F = 10 × 105 V/m. Các
chấm tròn (đặc, màu xanh) và (rỗng, màu đen) lần lượt tương ứng với quá trình
hấp thụ tuyến tính và phi tuyến.
Hình 2.6 biểu diễn FWHM như một hàm của nhiệt độ T . Dựa vào hình vẽ,ta thấy
FWHM tăng lên cùng với sự gia tăng của nhiệt độ đối với cả hai quá trình hấp thụ
tuyến tính và phi tuyến. Về ý nghĩa vật lý, kết quả này đến từ FWHM tỉ lệ với xác suất
tán xạ electron–phonon quang dọc. Do đó, khi nhiệt độ tăng lên thì xác suất tán xạ
cũng gia tăng. Bên cạnh đó, từ hình vẽ ta nhận thấy rằng, FWHM của đỉnh ODEPR
phi tuyến luôn nhỏ hơn trong trường hợp tuyến tính. Kết quả này được giải thích là do
xác suất tán xạ của quá trình hai photon nhỏ hơn quá trình một photon.
51
Kết luận chương 2
Trong chương này, chúng tôi đã khảo sát độ rộng vạch phổ và công suất hấp thụ tuyến
tính và phi tuyến do tương tác electron-phonon quang dọc trong trong giếng lượng tử
thế tam giác khi có mặt điện trường cao tần xoay chiều. Kết quả cho thấy rằng:
1. Khi nhiệt độ tăng lên thì công suất hấp thụ và độ rộng vạch phổ cũng tăng nhưng
vị trí các đỉnh cộng hưởng không thay đổi trong cả hai quá trình hấp thụ tuyến tính và
phi tuyến.
2. Công suất hấp thụ, độ rộng vạch phổ tuyến tính và phi tuyến phụ thuộc mạnh
vào thông số đặc trưng (điện trường F) của mô hình nên: vị trí các đỉnh cộng hưởng
electron-phonon dò tìm bằng quang học biểu hiện dịch chuyển về phía năng lượng cao
hơn khi điện trường gia tăng (dịch chuyển xanh) và độ rộng vạch phổ cũng tăng lên
cùng với sự gia tăng của điện trường.
3. Những kết quả nghiên cứu chứng tỏ phù hợp tốt với nhiều công bố trước đây cho
mô hình các thế giam giữ truyền thống. Mặc khác, do đặc tính dễ dàng điều chỉnh khi
thay đổi giá trị thông số điện trường nên cấu trúc này được ứng dụng nhiều trong lĩnh
vực chế tạo các linh kiện quang, điện tử và quang tử hiện đại.
52
Chương 3. Cộng hưởng electron-phonon trong giếng
lượng tử thế hyperbol bất đối xứng đặc biệt
Trong chương này, chúng tôi trình bày biểu thức giải tích và kết quả tính số, vẽ đồ
thị công suất hấp thụ cũng như độ rộng vạch phổ tuyến tính và phi tuyến các đỉnh cộng
hưởng electron–phonon dò tìm bằng quang học trong giếng lượng tử thế hyperbol bất đối
xứng đặc biệt vào các thông số đặc trưng của thế giam giữ và nhiệt độ.
3.1. Công suất hấp thụ tuyến tính và phi tuyến trong
giếng lượng tử thế hyperbol bất đối xứng đặt biệt
Biểu thức giải tích tổng quát của công suất hấp thụ phi tuyến trong SAsHQW cũng
tính được tương tự như trong TrQW, có dạng
PNLn(Ω) = E
2
0z
2
{
Re[σzz(Ω)] +Re[σzzz(Ω)E0z]
}
= P0(Ω) + P1(Ω). (3.1)
Ta cũng lần lượt thay các công thức (1.15) và (1.16) vào độ dẫn tuyến tính (1.57)
cũng như độ dẫn phi tuyến (1.62) để tính các yếu tố ma trận (z)αβ, (jz)βα. Kết quả thu
được như sau:
(z)αβ ≡ 〈k⊥α, nα|z|k⊥β, nβ〉 = δ~k⊥α,~k⊥βGnα,nβCnβCnα ,
(z)να ≡ 〈k⊥ν , nν |z|k⊥α, nα〉 = δ~k⊥ν ,~k⊥αGnν ,nαCnνCnα ,
(z)βδ ≡ 〈k⊥β, nβ|z|k⊥δ, nδ〉 = δ~k⊥β ,~k⊥δGnβ ,nδCnβCnδ ,
(jz)βν ≡ ie~
m∗
〈k⊥β, nβ| ∂
∂z
|k⊥ν , nν〉 = ie~
m∗
δ~k⊥β ,~k⊥νLnβ ,nνCnβCnν ,
(jz)δα ≡ ie~
m∗
〈k⊥δ, nα| ∂
∂z
|k⊥δ, nα〉 = ie~
m∗
δ~k⊥δ,~k⊥αLnδ,nαCnδCnα ,
53
trong đó, ta đã đặt các Gn,n′ bất kì có dạng
Gn,n′ =
∫ −∞
−∞
φ∗n(z)zφn′ (z)dz
=
+∞∫
−∞
z
α+1
2 e−βz
2
1F1
(− n, α + 1, 2βz2) (3.2)
× zz α+12 e−βz21F1
(− n′ , α + 1, 2βz2),
và các Ln,n′ bất kì được tính theo
Ln,n′ =
∫ −∞
−∞
φ∗n(z)zφn′ (z)dz
=
+∞∫
−∞
z
α+1
2 e−βz
2
1F1
(− n, α + 1, 2βz2) (3.3)
× ∂
∂z
[
z
α+1
2 e−βz
2
1F1
(− n′ , α + 1, 2βz2)].
Bên cạnh, để tính tích phân bao phủ In′n trong (2.18), năng lượng có dạng giống
như năng lượng của một dao động điều hòa với tần số ωz = (8U0/m
∗a2)1/2. Trong quan
điểm gần đúng này, tích phân trong công thức (2.18) trở nên có giá trị và kết quả tính
số thu được là
I01 =
√
pi
2
(
2m∗U0
~2a2
)1/4
, (3.4)
với các dịch chuyển được xét ở hai trạng thái thấp nhất (n = 0, n′ = 1). Khi đó, giá trị
năng lượng ngưỡng trong gần đúng này sẽ có dạng
∆ε01 = ε1 − ε0 = 2~
a
√
2U0
m∗
. (3.5)
Thay thế tất cả các công thức vừa tìm được vào (1.69) và (1.70), kết quả xác định
được biểu thức công suất hấp thụ tuyến tính và phi tuyến trong SAsHQW. Các kết quả
giải tích ở trên thì rất phức tạp tuy nhiên những tính chất vật lý sẽ được giải thích cụ
thể khi ta thực hiện tính số và vẽ đồ thị ở phần tiếp theo.
54
3.2. Kết quả tính số và thảo luận
Chúng tôi sẽ thảo luận hiệu ứng ODEPR tuyến tính và phi tuyến trong giếng lượng tử
thế hyperbol bất đối xứng đặc biệt GaAs thông qua khảo sát AP và FWHM. Các thông
số vật liệu được sử dụng để tính số có dạng [46]: mật độ electron ne = 3×1016 cm−3 tương
ứng với mức năng lượng Fermi EF = 83.08 meV, biên độ điện trường E0 = 4×105 V/m,
và U0 = 228 meV. Ở đây, chúng tôi chỉ xét dịch chuyển giữa hai trạng thái đầu tiên tức
là dịch chuyển từ trạng thái nα = 0 tới trạng thái nβ = 1.
3.2.1. Điều kiện cộng hưởng ODEPR
1a 1b 1c
40 60 80 100 120
0
10
20
30
40
50
N ng l ng photon HmeVL
A
P
tu
y
n
tín
h
H
v
bk
L
Hình 3.1: Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính vào năng lượng
photon. Ở đây, T = 300 K và a = 20 nm.
Chúng ta thấy rằng có 3 đỉnh cộng hưởng trên đường cong được biểu diễn như hình
3.1 và thỏa mãn điều kiện ODEPR tuyến tính
`~Ω± Eβα ± ~ωLO = 0, với ` = 1. (3.6)
+ Đỉnh 1a định vị tại ~Ω = 36.04 meV, thỏa mãn điều kiện ~Ω = Eβ −Eα − ~ωLO.
Đây là đỉnh ODEPR tuyến tính trong đó mô tả quá trình các electron từ trạng thái
α hấp thụ một photon để dịch chuyển tới trạng thái β kèm theo hấp thụ một phonon
quang dọc.
+ Đỉnh 1b định vị tại ~Ω = 72.29 meV, tương ứng quá trình hấp thụ một photon
thỏa mãn điều kiện ~Ω = Eβ −Eα. Đây là quá trình mà trong đó các electron từ trạng
55
thái α hấp thụ một photon để dịch chuyển tới trạng thái β không kèm theo bất kỳ quá
trình hấp thụ và/hoặc phát xạ phonon nào.
+ Đỉnh 1c định vị tại ~Ω = 108.54 meV, thỏa mãn điều kiện ~Ω = ~ωLO +Eβα. Đây
cũng là đỉnh ODEPR tuyến tính, tương ứng với electron ở trạng thái năng lượng Eα
hấp thụ môt photon để nhảy lên trạng thái năng lượng Eβ. Quá trình này kèm với phát
xạ một phonon có năng lượng ~ωLO.
Từ hình 3.2, ta thấy có 5 đỉnh cộng hưởng trên đường cong thỏa mãn điều kiện
ODEPR phi tuyến
`~Ω± Eβα ± ~ωLO = 0, với ` = 2. (3.7)
2a 2b 2c
1b 1c
20 40 60 80 100 120
0
5
10
15
20
N ng l ng photon HmeVL
A
P
ph
it
uy
n
H
v
bk
L
Hình 3.2: Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ phi tuyến vào năng lượng photon.
Ở đây, T = 300 K và a = 20 nm.
+ Đỉnh 2a định vị tại ~Ω = 18.02 meV, thỏa mãn điều kiện 2~Ω = Eβ −Eα− ~ωLO.
Đây là đỉnh ODEPR phi tuyến trong đó mô tả quá trình các electron từ trạng thái α hấp
thụ hai photon để dịch chuyển tới trạng thái β kèm theo hấp thụ một phonon quang dọc.
+ Đỉnh 2b định vị tại ~Ω = 36.15 meV, tương ứng quá trình hấp thụ hai photon
thỏa mãn điều kiện 2~Ω = Eβ−Eα. Đây là quá trình mà trong đó các electron từ trạng
thái α hấp thụ hai photon để dịch chuyển tới trạng thái β không kèm theo bất kỳ quá
trình hấp thụ và/hoặc phát xạ phonon nào.
+ Đỉnh 2c định vị tại ~Ω = 54.27 meV, thỏa mãn điều kiện 2~Ω = ~ωLO +Eβα. Đây
là đỉnh ODEP