Luận án Nghiên cứu hiệu năng các hệ thống DCSK dưới ảnh hưởng của chuỗi hỗn loạn đảo ngược thời gian và kênh vệ tinh di động mặt đất

ebyshev bªc hai.
Chuéi hén lo¤n £o ng÷ñc thíi gian x˜k ÷ñc t¤o ra tø chuéi hén lo¤n xk theo
cæng thùc (1.8). H¼nh 2.1 (a) v  (b) l¦n l÷ñt hiºn thà d¤ng sâng cõa t½n hi»u
têng v  t½ch cõa hai chuéi hén lo¤n thæng th÷íng cho tr÷íng hñp 1. Quan s¡t
trüc ti¸p, chóng ta câ thº th§y sü bi¸n êi hén lo¤n cõa bi¶n ë theo thíi gian
chu©n hâa cõa c¡c t½n hi»u n y.
H¼nh 2.1: D¤ng sâng cõa (a) têng v  (b) t½ch cõa hai t½n hi»u hén lo¤n thæng th÷íng.
D¤ng sâng cõa têng v  t½ch cõa c¡c chuéi, â l  xk v  x˜k, cho tr÷íng hñp 2
÷ñc hiºn thà trong H¼nh 2.2 (a) v  (b) t÷ìng ùng. Câ thº th§y r¬ng trong cûa
33
sê quan s¡t, β = 200, d¤ng sâng ð nûa kho£ng thíi gian thù nh§t vîi 0 < β ≤ 100
v  nûa kho£ng thíi gian thù hai vîi 100 < β ≤ 200 £o ng÷ñc v· thíi gian vîi
nhau. C¡c m¨u t÷ìng ÷ìng trong hai nûa, v½ dö t¤i c¡c khe thíi gian thù k v 
(β − k + 1), câ bi¶n ë b¬ng nhau v  phö thuëc thèng k¶ v o nhau. Tuy nhi¶n,
c¡c m¨u ð thíi gian kh¡c nhau trong còng mët nûa l  ëc lªp thèng k¶ vîi nhau.
Do â, c¡c m¨u ri¶ng bi»t ð c¡c khe thíi gian kh¡c nhau cõa c¡c chuéi têng v 
t½ch, â l  xk+ x˜k v  xkx˜k, ch¿ ëc lªp thèng k¶ trong mët nûa cûa sê quan s¡t.
H¼nh 2.2: D¤ng sâng cõa (a) têng v  (b) t½ch cõa c¡c chuéi hén lo¤n thæng th÷íng v 
£o ng÷ñc thíi gian.
2.1.2. ffi°c iºm tü t÷ìng quan v  t÷ìng quan ch²o
H m tü t÷ìng quan cõa chuéi hén lo¤n v  chuéi hén lo¤n £o ng÷ñc thíi gian
÷ñc ch¿ ra nh÷ trong H¼nh 2.3 (a) v  (b) t÷ìng ùng. Rã r ng l  c¡c gi¡ trà tü
t÷ìng quan cõa hai chuéi n y g¦n nh÷ gièng nhau vîi còng mët ë tr¹ thíi gian.
34
H¼nh 2.4 (a) v  (b) t÷ìng ùng hiºn thà c¡c h m t÷ìng quan ch²o cho c¡c
tr÷íng hñp 1 v  2. Chóng ta câ thº th§y sü kh¡c bi»t trong c¡c gi¡ trà t÷ìng
quan ch²o. ffièi vîi h¦u h¸t c¡c ë tr¹ thíi gian, gi¡ trà t÷ìng quan ch²o cõa
tr÷íng hñp 2 lîn hìn gi¡ trà t÷ìng quan ch²o cõa tr÷íng hñp 1. Sü kh¡c bi»t n y
câ thº ÷ñc gi£i th½ch b¬ng sü phö thuëc thèng k¶ giúa c¡c m¨u trong tr÷íng
hñp 2. ƒnh h÷ðng cõa sü phö thuëc thèng k¶ n y ¸n t½nh to¡n hi»u n«ng BER
s³ ÷ñc ph¥n t½ch trong Möc 2.4.
H¼nh 2.3: C¡c h m tü t÷ìng quan, theo tr¹ thíi gian chu©n hâa, cõa (a) chuéi hén lo¤n
thæng th÷íng v  (b) chuéi hén lo¤n £o ng÷ñc thíi gian.
2.2. K¸t hñp giúa i·u ch¸ khâa dàch hén lo¤n vi sai c£i ti¸n
vîi kß thuªt MIMO
Nh÷ ¢ · cªp ð Ch÷ìng 1, trong c¡c phi¶n b£n c£i ti¸n cõa DCSK, IDCSK
sû döng ho¤t ëng £o ng÷ñc thíi gian cõa chuéi hén lo¤n trong i·u ch¸ v  gi£i
i·u ch¸ t½n hi»u. Do â, IDCSK câ sü c£i thi»n ¡ng kº v· hi»u n«ng BER, tèc
ë truy·n dú li»u v  hi»u qu£ sû döng phê so vîi sì ç DCSK thæng th÷íng.
35
H¼nh 2.4: C¡c h m t÷ìng quan ch²o, theo tr¹ thíi gian chu©n hâa, cõa (a) hai chuéi
hén lo¤n thæng th÷íng v  (b) chuéi hén lo¤n thæng th÷íng v  chuéi £o ng÷ñc thíi
gian.
Mët kß thuªt trong thæng tin væ tuy¸n º n¥ng cao hi»u su§t truy·n cõa li¶n
k¸t væ tuy¸n l  MIMO, tø vi¸t t­t cõa nhi·u ¦u v o v  nhi·u ¦u ra, sû döng
nhi·u «ng-ten ph¡t v  nhi·u «ng-ten thu º khai th¡c sü lan truy·n a ÷íng
[89]. Cho ¸n nay, kß thuªt MIMO ¢ ÷ñc ¡p döng cho c¡c m¤ng v  h» thèng
truy·n thæng khæng d¥y, v½ dö Wi-Fi, HSPA+, WiMAX, 4G LTE, v  Massive
MIMO cho 5G. Vi»c ¡p döng 2x2 MIMO sû döng m¢ khèi khæng gian - thíi gian
cõa Alamouti [90] cho sì ç DCSK truy·n thèng, gåi l  MIMO-DCSK, ¢ ÷ñc
nghi¶n cùu trong cæng tr¼nh [91] vîi möc ti¶u c£i thi»n hi»u n«ng cõa h» thèng.
K¸t qu£ ¤t ÷ñc cho th§y MIMO-DCSK câ hi»u n«ng BER v÷ñt trëi hìn so
vîi sì ç DCSK thæng th÷íng. G¦n ¥y, mët h» thèng 2x2 MIMO-IDCSK sû
döng m¢ Alamouti ¢ ÷ñc · xu§t bði Bingyan v  c¡c cëng sü [92] ÷a ra ph¥n
t½ch hi»u n«ng tff l» léi bit qua k¶nh t¤p ¥m Gauss tr­ng cëng. Tuy nhi¶n, ph¥n
t½ch n y khæng xem x²t sü kh¡c bi»t v· kh½a c¤nh t÷ìng quan giúa chuéi hén
lo¤n £o ng÷ñc thíi gian so vîi chuéi hén lo¤n thæng th÷íng. Nhí nhúng lñi th¸
cõa sì ç IDCSK trong c¡c h» thèng düa tr¶n hén lo¤n v  MIMO trong truy·n
thæng khæng d¥y, luªn ¡n · xu§t h» thèng k¸t hñp gçm IDCSK v  kß thuªt 2x2
MIMO vîi hai «ng-ten ph¡t v  hai «ng-ten thu, °t t¶n l  2T2R-IDCSK. Kh¡c
vîi ph¥n t½ch trong [92], cæng vi»c cõa luªn ¡n chùng minh sü kh¡c nhau v· °c
iºm t÷ìng quan ch²o giúa chuéi hén lo¤n £o ng÷ñc thíi gian so vîi chuéi hén
36
lo¤n thæng th÷íng. ffi°c bi»t, £nh h÷ðng cõa sü kh¡c nhau n y ÷ñc xem x²t
v  ph£n ¡nh trong c¡ch t½nh to¡n hi»u n«ng BER cõa h» thèng 2T2R-IDCSK.
Trong tr÷íng hñp têng qu¡t, mæ h¼nh l  nxm MIMO vîi n «ng-ten ph¡t v  m
«ng ten thu. Tuy nhi¶n, vîi mong muèn chùng minh sü k¸t hñp cõa IDCSK vîi
MIMO l  hi»u qu£ v  chùng minh £nh h÷ðng cõa ho¤t ëng £o ng÷ñc thíi gian
tîi vi»c t½nh to¡n hi»u n«ng BER, luªn ¡n chån tr÷íng hñp ìn gi£n nh§t l  2x2
MIMO.
2.3. H» thèng 2T2R-IDCSK
Trong ph¦n n y, nguy¶n lþ v  ho¤t ëng cõa h» thèng 2T2R-IDCSK vîi sü
hi»n di»n cõa AWGN ÷ñc mæ t£ b¬ng mæ h¼nh to¡n håc.
Sì ç cõa h» thèng 2T2R-IDCSK bao gçm mët m¡y ph¡t câ hai «ng-ten v 
mët m¡y thu câ hai «ng-ten sû döng m¢ khèi khæng gian-thíi gian cõa Alamouti
[90] ÷ñc ÷a ra trong H¼nh 2.5 (a) v  (b) t÷ìng ùng. Ð m¡y ph¡t, c¡c bit dú li»u
sau khi ÷ñc m¢ hâa bði m¢ khèi khæng gian-thíi gian (STBC) cõa Alamouti
÷ñc nh¥n çng thíi vîi chuéi hén lo¤n tham chi¸u v  cëng vîi phi¶n b£n £o
ng÷ñc thíi gian cõa chuéi hén lo¤n, sau â ÷ñc truy·n ri¶ng r³ tr¶n hai «ng-ten
t÷ìng ùng. Trong m¡y thu, c¡c t½n hi»u ¸n tr¶n méi «ng-ten sau khi ÷ñc gi£i
i·u ch¸ IDCSK ÷ñc ÷a v o bë gi£i m¢ STBC º khæi phöc dú li»u gèc.
2.3.1. M¡y ph¡t
Ma trªn Alamouti cho c¡c bit b1 v  b2 l b1 −b∗2
b2 b
∗
1
 . (2.1)
ffiº ìn gi£n hâa biºu thùc to¡n håc, luªn ¡n xem x²t chu k¼ chip Tc = 1, khi
â chu k¼ bit Tb = βTc = β. C¡c t½n hi»u truy·n trong thíi gian hai chu ký bit
(2Tb) câ thº ÷ñc biºu di¹n nh÷ sau:
s1,k =
 x˜k + b1xk, 1 ≤ k ≤ β,x˜k−β − b∗2xk−β, β < k ≤ 2β, (2.2)
37
H¼nh 2.5: Sì ç khèi cõa h» thèng 2T2R-IDCSK: (a) Sì ç m¡y ph¡t v  (b) Sì ç m¡y
thu.
s2,k =
 x˜k + b2xk, 1 ≤ k ≤ β,x˜k−β + b∗1xk−β, β < k ≤ 2β, (2.3)
vîi s1,k, s2,k l¦n l÷ñt l  t½n hi»u ¦u ra cõa «ng-ten ph¡t thù nh§t v  «ng-ten
ph¡t thù hai.
38
2.3.2. M¡y thu
C¡c m¨u t½n hi»u nhªn ÷ñc thù k tr¶n hai «ng-ten thu ÷ñc x¡c ành bði r1,k
r2,k
 =
 h11 h12
h21 h22
 s1,k
s2,k
+
 n1,k
n2,k
 , (2.4)
trong â r1,k, r2,k l¦n l÷ñt l  t½n hi»u nhªn ÷ñc tr¶n «ng-ten thù nh§t v  «ng-ten
thù hai; h11, h21, h12, h22 l  c¡c h» sè k¶nh; n1,k, n2,k l  t¤p ¥m Gauss tr­ng cëng
vîi gi¡ trà trung b¼nh b¬ng khæng v  gi¡ trà ph÷ìng sai b¬ng N0/2.
Thay th¸ c¡c cæng thùc (2.2) v  (2.3) v o cæng thùc (2.4), ta câ
r1,k =
h11 (x˜k + b1xk) + h12 (x˜k + b2xk) + n
(1)
1,k, 1 ≤ k ≤ β,
h11
(
x˜k−β − b∗2xk−β
)
+ h12
(
x˜k−β + b∗1xk−β
)
+ n
(2)
1,k, β < k ≤ 2β,
(2.5)
v 
r2,k =
h21 (x˜k + b1xk) + h22 (x˜k + b2xk) + n
(1)
2,k, 1 ≤ k ≤ β,
h21
(
x˜k−β − b∗2xk−β
)
+ h22
(
x˜k−β + b∗1xk−β
)
+ n
(2)
2,k, β < k ≤ 2β.
(2.6)
Nhúng t½n hi»u thu ÷ñc ÷ñc l§y t÷ìng quan vîi phi¶n b£n £o ng÷ñc thíi
gian cõa ch½nh nâ, sau â ÷ñc gi£i m¢ bði bë gi£i m¢ STBC. C¡c t½n hi»u ¦u
ra cõa bë t÷ìng quan 1 trong kho£ng [1, β] v  [β + 1, 2β] t÷ìng ùng vîi
y11 =
β∑
k=1
r1,kr˜1,k
=(h11 + h12) (h11b1 + h12b2)
β∑
k=1
(
x2k + x˜
2
k
)
+
(
(h11 + h12)
2 + (h11b1 + h12b2)
2) β∑
k=1
xkx˜k
+ (h11 + h12)
β∑
k=1
(
xkn
(1)
1,k + x˜kn˜
(1)
1,k
)
+ (h11b1 + h12b2)
β∑
k=1
(
x˜kn
(1)
1,k + xkn˜
(1)
1,k
)
+
β∑
k=1
n
(1)
1,kn˜
(1)
1,k
(2.7)
39
v 
y21 =
2β∑
k=β+1
r1,kr˜1,k
=(h11 + h12) (−h11b∗2 + h12b∗1)
2β∑
k=β+1
(
x2k−β + x˜
2
k−β
)
+
(
(h11 + h12)
2 + (−h11b∗2 + h12b∗1)2
) 2β∑
k=β+1
xk−βx˜k−β
+ (h11 + h12)
2β∑
k=β+1
(
xk−βn
(2)
1,k + x˜k−βn˜
(2)
1,k
)
+ (−h11b∗2 + h12b∗1)
2β∑
k=β+1
(
x˜k−βn
(2)
1,k + xk−βn˜
(2)
1,k
)
+
2β∑
k=β+1
n
(2)
1,kn˜
(2)
1,k.
(2.8)
Mæ h¼nh b«ng t¦n cì sð t÷ìng ÷ìng cõa t½n hi»u nhªn ÷ñc trong kho£ng
[1, β] v  [β + 1, 2β] tr¶n «ng-ten thù nh§t t÷ìng ùng vîi
Y11 =
y11
h11 + h12
= (h11b1 + h12b2)U + I11 +N11, (2.9)
trong â
U =
β∑
k=1
(
x2k + x˜
2
k
)
, (2.10)
I11 =
(
h11 + h12 +
(h11b1 + h12b2)
2
h11 + h12
) β∑
k=1
xkx˜k, (2.11)
N11 =
β∑
k=1
(
xkn
(1)
1,k + x˜kn˜
(1)
1,k
)
+
(h11b1 + h12b2)
h11 + h12
β∑
k=1
(
x˜kn
(1)
1,k + xkn˜
(1)
1,k
)
+
1
h11 + h12
β∑
k=1
n
(1)
1,kn˜
(1)
1,k
(2.12)
v 
Y21 =
y21
h11 + h12
= (−h11b∗2 + h12b∗1)U + I21 +N21, (2.13)
vîi
I21 =
(
h11 + h12 +
(−h11b∗2 + h12b∗1)2
h11 + h12
) 2β∑
k=β+1
xk−βx˜k−β, (2.14)
40
N21 =
2β∑
k=β+1
(
xk−βn
(2)
1,k + x˜k−βn˜
(2)
1,k
)
+
(−h11b∗2 + h12b∗1)
h11 + h12
2β∑
k=β+1
(
x˜k−βn
(2)
1,k + xk−βn˜
(2)
1,k
)
+
1
h11 + h12
2β∑
k=β+1
n
(2)
1,kn˜
(2)
1,k.
(2.15)
B¬ng t½nh to¡n t÷ìng tü, mæ h¼nh b«ng t¦n cì sð t÷ìng ÷ìng cõa t½n hi»u
nhªn ÷ñc trong kho£ng [1, β] v  [β + 1, 2β] tr¶n «ng-ten thù hai t÷ìng ùng vîi
Y12 = (h21b1 + h22b2)U + I12 +N12, (2.16)
trong â
I12 =
(
h21 + h22 +
(h21b1 + h22b2)
2
h21 + h22
) β∑
k=1
xkx˜k, (2.17)
N12 =
β∑
k=1
(
xkn
(1)
2,k + x˜kn˜
(1)
2,k
)
+
(h21b1 + h22b2)
h21 + h22
β∑
k=1
(
x˜kn
(1)
2,k + xkn˜
(1)
2,k
)
+
1
h21 + h22
β∑
k=1
n
(1)
2,kn˜
(1)
2,k
(2.18)
v 
Y22 = (−h21b∗2 + h22b∗1)U + I22 +N22 (2.19)
vîi
I22 =
(
h21 + h22 +
(−h21b∗2 + h22b∗1)2
h21 + h22
) 2β∑
k=β+1
xk−βx˜k−β, (2.20)
N22 =
2β∑
k=β+1
(
xk−βn
(2)
2,k + x˜k−βn˜
(2)
2,k
)
+
(−h21b∗2 + h22b∗1)
h21 + h22
2β∑
k=β+1
(
x˜k−βn
(2)
2,k + xk−βn˜
(2)
2,k
)
+
1
h21 + h22
2β∑
k=β+1
n
(2)
2,kn˜
(2)
2,k.
(2.21)
Düa tr¶n c¡c cæng thùc (2.9), (2.13), (2.16) v  (2.19), t½nh ÷ñcY11 Y21
Y12 Y22
 = U
h11 h12
h21 h22
b1 −b∗2
b2 b
∗
1
+
I11 I21
I12 I22
+
N11 N21
N12 N22
 . (2.22)
41
Cæng thùc (2.22) câ thº ÷ñc tr¼nh b y nh÷ sau:
Y11
Y12
Y ∗21
Y ∗22

︸ ︷︷ ︸
Y
= U

h11 h12
h21 h22
h∗12 − h∗11
h∗22 − h∗21

︸ ︷︷ ︸
H
 b1
b2

︸ ︷︷ ︸
B
+

I11
I12
I∗21
I∗22

︸ ︷︷ ︸
I
+

N11
N12
N∗21
NI∗22

︸ ︷︷ ︸
N
, (2.23)
v  vi¸t gån l 
Y = UHB + I +N. (2.24)
C¡c t½n hi»u ¦u ra cõa bë gi£i m¢ STBC ÷ñc x¡c ành bði D1
D2
 = H∗Y = UH∗HB +H∗I +H∗N, (2.25)
vîi H∗ =
 h∗11 h∗21 h12 h22
h∗12 h
∗
22 − h11 −h21

l  ho¡n và li¶n hñp cõa H.
Cuèi còng, c¡c bit dú li»u ð ¦u ra cõa bë quy¸t ành mùc ÷ñc khæi phöc
theo qui t­c sau:
bˆ1 =
+1, n¸u D1 > 0,−1, n¸u D1 < 0, (2.26)
v 
bˆ2 =
+1, n¸u D2 > 0,−1, n¸u D2 < 0. (2.27)
Tr¶n ¥y l  mæ h¼nh to¡n håc cõa h» thèng 2T2R-IDCSK. Mæ h¼nh n y s³
÷ñc sû döng cho t½nh to¡n hi»u n«ng BER cõa h» thèng trong ph¦n ti¸p theo
cõa luªn ¡n.
2.4. Ph¥n t½ch hi»u n«ng tff l» léi bit düa tr¶n cûa sê t½nh to¡n
mîi
Trong cæng tr¼nh [92], Bingyan v  c¡c cëng sü ph¥n t½ch hi»u n«ng BER cõa
h» thèng 2x2 MIMO-IDCSK qua k¶nh AWGN düa tr¶n c¡c gi£ thi¸t sau: sû
döng m¢ Alamouti, t½n hi»u hén lo¤n ÷ñc t¤o ra bði h m hén lo¤n CPF, h» sè
42
tr£i phê β lîn, n«ng l÷ñng trung b¼nh tr¶n méi bit (Eb) khæng êi. K¸t qu£ tff
l» léi bit cõa h» thèng 2x2 MIMO-IDCSK ÷ñc t½nh nh÷ sau:
BER =
1
2
erfc
(3
4
N0
Eb
+
β
32
(
N0
Eb
)2)−1/2 . (2.28)
Tuy nhi¶n qu¡ tr¼nh t½nh to¡n BER cõa Bingyan khæng x²t ¸n sü kh¡c bi»t v·
°c iºm t÷ìng quan cõa chuéi hén lo¤n £o ng÷ñc thíi gian so vîi chuéi hén
lo¤n thæng th÷íng.
Li»u sü kh¡c bi»t v· °c iºm t÷ìng quan cõa chuéi hén lo¤n £o ng÷ñc so
vîi chuéi hén lo¤n thæng th÷íng câ £nh h÷ðng g¼ ¸n c¡ch t½nh to¡n hi»u n«ng
BER. ffiº l m rã v§n · n y, luªn ¡n tªp trung ph¥n t½ch £nh h÷ðng t÷ìng quan
cõa c¡c chuéi hén lo¤n £o ng÷ñc thíi gian ¸n vi»c t½nh to¡n hi»u n«ng BER
cõa h» thèng 2T2R-IDCSK.
Trong thüc t¸, èi vîi c¡c k¶nh khæng d¥y, h» sè k¶nh (hij) thay êi ng¨u
nhi¶n. Tuy nhi¶n, vîi möc ti¶u ch½nh l  chùng minh £nh h÷ðng cõa c¡c chuéi
hén lo¤n £o ng÷ñc thíi gian công nh÷ ìn gi£n hâa ph²p t½nh, vi»c t½nh to¡n
hi»u n«ng BER trong nghi¶n cùu n y ÷ñc thüc hi»n vîi sü câ m°t cõa AWGN
vîi t§t c£ c¡c h» sè k¶nh khæng êi v  b¬ng 1, tùc l  hij = 1.
Ph¥n t½ch BER düa tr¶n c¡c gi£ thi¸t nh÷ sau: Sû döng chuéi hén lo¤n ÷ñc
t¤o bði h m a thùc Chebyshev (CPF) bªc hai [58] nh÷ thº hi»n trong cæng
thùc (1.4) vîi h m mªt ë x¡c su§t cõa x l 
ρ(x) =

1
pi
√
1−x2 , n¸u |x| < 1,
0, tr÷íng hñp kh¡c cõa x.
(2.29)
C¡c gi¡ trà trung b¼nh E [xk], E
[
x2k
]
, E
[
x4k
]
v  gi¡ trà ph÷ìng sai V ar
[
x2k
]
t֓ng
ùng ÷ñc x¡c ành bði
E [xk] =
∞∫
−∞
xρ(x)dx =
1∫
−1
x
1
pi
√
1− x2dx = 0, (2.30)
E
[
x2k
]
=
∞∫
−∞
x2ρ(x)dx =
1∫
−1
x2
1
pi
√
1− x2dx =
1
2
, (2.31)
43
E
[
x4k
]
=
∞∫
−∞
x4ρ(x)dx =
1∫
−1
x4
1
pi
√
1− x2dx =
3
8
, (2.32)
Var
[
x2k
]
= E
[
x4k
]− (E [x2k])2 = 38 − (12)2 = 18 . (2.33)
Lþ do sû döng CPF ¢ ÷ñc · cªp trong t i li»u [31] v  [93], â l  c¡c gi¡ trà
¦u ra trong ph¤m vi −1 v  +1 câ °c iºm tü t÷ìng quan cao v  t÷ìng quan
ch²o r§t th§p, i·u n y l m cho c¡c h» thèng truy·n thæng düa tr¶n CPF câ
÷ñc hi»u su§t BER tèt; H» sè tr£i phê β câ gi¡ trà õ lîn º n«ng l÷ñng bit
trung b¼nh Eb ti¸n ¸n gi¡ trà sau:
Eb = 2
β∑
k=1
E
[
x2k
]
= 2
β∑
k=1
E
[
x˜2k
] ≈ 2βE [x2k] ; (2.34)
T¤p ¥m Gauss câ gi¡ trà trung b¼nh E [nk] = 0 v  gi¡ trà ph÷ìng sai V ar [nk] =
N0/2.
Vîi c¡c i·u ki»n ð tr¶n, düa tr¶n cæng thùc (2.25), ta câ
D1 = 4Ub1 + I11 + I12 + I
∗
21 + I
∗
22 +N11 +N12 +N
∗
21 +N
∗
22 (2.35)
vîi U ÷ñc t½nh theo biºu thùc (2.10),
I11 =
(
2 +
(b1 + b2)
2
2
) β∑
k=1
xkx˜k, (2.36)
I12 =
(
2 +
(b1 + b2)
2
2
) β∑
k=1
xkx˜k, (2.37)
I21∗ =
(
2 +
(−b∗2 + b∗1)2
2
) 2β∑
k=β+1
xk−βx˜k−β, (2.38)
I22∗ =
(
2 +
(−b∗2 + b∗1)2
2
) 2β∑
k=β+1
xk−βx˜k−β, (2.39)
N11 =
β∑
k=1
(
xkn
(1)
1,k + x˜kn˜
(1)
1,k
)
+
(b1 + b2)
2
β∑
k=1
(
x˜kn
(1)
1,k + xkn˜
(1)
1,k
)
+
1
2
β∑
k=1
n
(1)
1,kn˜
(1)
1,k,
(2.40)
44
N12 =
β∑
k=1
(
xkn
(1)
2,k + x˜kn˜
(1)
2,k
)
+
(b1 + b2)
2
β∑
k=1
(
x˜kn
(1)
2,k + xkn˜
(1)
2,k
)
+
1
2
β∑
k=1
n
(1)
2,kn˜
(1)
2,k,
(2.41)
N21∗ =
2β∑
k=β+1
(
xk−βn
(2)
1,k + x˜k−βn˜
(2)
1,k
)
+
(−b∗2 + b∗1)
2
2β∑
k=β+1
(
x˜k−βn
(2)
1,k + xk−βn˜
(2)
1,k
)
+
1
2
2β∑
k=β+1
n
(2)
1,kn˜
(2)
1,k,
(2.42)
N22∗ =
2β∑
k=β+1
(
xk−βn
(2)
2,k + x˜k−βn˜
(2)
2,k
)
+
(−b∗2 + b∗1)
2
2β∑
k=β+1
(
x˜k−βn
(2)
2,k + xk−βn˜
(2)
2,k
)
+
1
2
2β∑
k=β+1
n
(2)
2,kn˜
(2)
2,k,
(2.43)
trong â U ¤i di»n cho t½n hi»u húu ½ch, Iij l  th nh ph¦n nhi¹u ÷ñc t¤o ra tø
chuéi hén lo¤n v  chuéi hén lo¤n £o ng÷ñc v  Nij l  th nh ph¦n t¤p ¥m ÷ñc
t¤o ra tø t¤p ¥m Gauss.
Bði v¼ c¡c th nh ph¦n U , I11, I12, I
∗
21, I
∗
22, N11, N12, N
∗
21, N
∗
22 l  c¡c bi¸n ng¨u
nhi¶n v  ëc lªp thèng k¶ vîi nhau, do â theo lþ thuy¸t giîi h¤n trung t¥m
bi¸n quy¸t ành D1 ÷ñc x§p x¿ l  mët bi¸n ng¨u nhi¶n câ ph¥n bè Gauss [94].
Vîi gi£ sû r¬ng x¡c su§t xu§t hi»n cõa c¡c bit b1 v  b2 xu§t hi»n ð ¦u ra cõa
nguçn dú li»u l  nh÷ nhau, tff l» léi bit câ thº ÷ñc x§p x¿ b¬ng biºu thùc sau
[29]:
BER =Pr (b1 = 1, b2 = 1)Pr
(
D1 < 0|b1=1,b2=1
)
+ Pr (b1 = 1, b2 = −1) Pr
(
D1 < 0|b1=1,b2=−1
)
+ Pr (b1 = −1, b2 = 1)Pr
(
D1 > 0|b1=−1,b2=1
)
+ Pr (b1 = −1, b2 = −1) Pr
(
D1 > 0|b1=−1,b2=−1
)
,
(2.44)
trong â c¡c x¡c su§t léi i·u ki»n ÷ñc x§p x¿ bði
Pr
(
D1 < 0|b1=1,b2=1
)
=
1
2
erfc
(
E
[
D1|b1=1,b2=1
]√
2V ar [D1| b1 = 1, b2 = 1]
)
, (2.45)
45
Pr
(
D1 < 0|b1=1,b2=−1
)
=
1
2
erfc
(
E
[
D1|b1=1,b2=−1
]√
2V ar [D1| b1 = 1, b2 = −1]
)
, (2.46)
Pr
(
D1 > 0|b1=−1,b2=1
)
=
1
2
erfc
(
−E [D1|b1=−1,b2=1]√
2V ar [D1| b1 = −1, b2 = 1]
)
, (2.47)
Pr
(
D1 > 0|b1=−1,b2=−1
)
=
1
2
erfc
(
−E [D1|b1=−1,b2=−1]√
2V ar [D1| b1 = −1, b2 = −1]
)
(2.48)
vîi erfc(·) l  h m léi bò ÷ñc ành ngh¾a bði
erfc (ε) =
2√
pi
∞∫
ε
exp
(−x2) dx. (2.49)
L÷u þ r¬ng:
E
[
D1|b1=1,b2=1
]
= E
[
D1|b1=1,b2=−1
]
= −E [D1|b1=−1,b2=1] = −E [D1|b1=−1,b2=−1] (2.50)
v 
V ar
[
D1|b1=1,b2=1
]
= V ar
[
D1|b1=1,b2=−1
]
= V ar
[
D1|b1=−1,b2=1
]
= V ar
[
D1|b1=−1,b2=−1
] (2.51)
Düa tr¶n c¡c cæng thùc tø (2.44) ¸n (2.51), tff l» léi bit ÷ñc t½nh nh÷ sau:
BER = 12erfc
(
E
[
D1|b1=1,b2=1
]
√
2V ar[D1|b1=1,b2=1]
)
, (2.52)
ffiº ÷a ra biºu thùc BER, gi¡ trà trung b¼nh v  gi¡ trà ph÷ìng sai cõa bi¸n
quy¸t ành D1 ÷ñc t½nh to¡n. Thay th¸ b1 = 1, b2 = 1, cæng thùc (2.35) trð
th nh:
D1|b1=1,b2=1 = 4U + I11|b1=1,b2=1 + I12|b1=1,b2=1 + I∗21|b1=1,b2=1 + I∗22|b1=1,b2=1
+N11|b1=1,b2=1 +N12|b1=1,b2=1 +N∗21|b1=1,b2=1 +N∗22|b1=1,b2=1,
(2.53)
vîi
I11|b1=1,b2=1 = 4
β∑
k=1
xkx˜k, (2.54)
I12|b1=1,b2=1 = 4
β∑
k=1
xkx˜k, (2.55)
46
I∗21|b1=1,b2=1 = 2
2β∑
k=β+1
xk−βx˜k−β, (2.56)
I∗22|b1=1,b2=1 = 2
2β∑
k=β+1
xk−βx˜k−β, (2.57)
N11|b1=1,b2=1 =
β∑
k=1
(
xkn
(1)
1,k + x˜kn˜
(1)
1,k
)
+
β∑
k=1
(
x˜kn
(1)
1,k + xkn˜
(1)
1,k
)
+
1
2
β∑
k=1
n
(1)
1,kn˜
(1)
1,k,
(2.58)
N12|b1=1,b2=1 =
β∑
k=1
(
xkn
(1)
2,k + x˜kn˜
(1)
2,k
)
+
β∑
k=1
(
x˜kn
(1)
2,k + xkn˜
(1)
2,k
)
+
1
2
β∑
k=1
n
(1)
2,kn˜
(1)
2,k,
(2.59)
N∗21|b1=1,b2=1 =
∑2β
k=β+1
(
xk−βn
(2)
1,k + x˜k−βn˜
(2)
1,k
)
+ 12
∑2β
k=β+1 n
(2)
1,kn˜
(2)
1,k, (2.60)
N∗22|b1=1,b2=1 =
∑2β
k=β+1
(
xk−βn
(2)
2,k + x˜k−βn˜
(2)
2,k
)
+ 12
∑2β
k=β+1 n
(2)
2,kn˜
(2)
2,k. (2.61)
Düa tr¶n c¡c cæng thùc tø (2.54) tîi (2.61), cæng thùc (2.53) ÷ñc vi¸t l¤i l 
D1|b1=1,b2=1 = 4U + 2I11|b1=1,b2=1 + 2I∗21|b1=1,b2=1
+N11|b1=1,b2=1 +N12|b1=1,b2=1 +N∗21|b1=1,b2=1 +N∗22|b1=1,b2=1.
(2.62)
Do sü ëc lªp thèng k¶ giúa c¡c th nh ph¦n U , I11, I12, I
∗
21, I
∗
22, N11, N12, N
∗
21,
N∗22,*, gi¡ trà trung b¼nh v  gi¡ trà ph÷ìng sai cõa bi¸n quy¸t ành D1 ÷ñc x¡c
ành l 
E
[
D1|b1=1,b2=1
]
=E [4U ] + E
[
2I11|b1=1,b2=1
]
+ E
[
2I∗21|b1=1,b2=1
]
+ E
[
N11|b1=1,b2=1
]
+ E
[
N12|b1=1,b2=1
]
+ E
[
N∗21|b1=1,b2=1
]
+ E
[
N∗22|b1=1,b2=1
] (2.63)
v 
V ar
[
D1|b1=1,b2=1
]
=V ar
[
2I11|b1=1,b2=1
]
+ V ar
[
2I∗21|b1=1,b2=1
]
+ V ar
[
N11|b1=1,b2=1
]
+ V ar
[
N12|b1=1,b2=1
]
+ V ar
[
N∗21|b1=1,b2=1
]
+ V ar
[
N∗22|b1=1,b2=1
]
.
(2.64)
47
H¼nh 2.6: Minh håa thíi l÷ñng t½nh to¡n mîi cho (a) xk + x˜k v  (b) xkx˜k.
Theo ph¥n t½ch trong Möc 2.1, k¸t qu£ cho th§y trong cûa sê t½nh to¡n thæng
th÷íng (Tb), c¡c m¨u ríi r¤c cõa c¡c chuéi xk + x˜k, xknk + x˜kn˜k, xkn˜k + x˜knk v 
xkx˜k ð c¡c khe thíi gian thù k v  (β − k+ 1) cõa c¡c th nh ph¦n U , I11, I12, I∗21,
I∗22, N11, N12, N
∗
21, N
∗
22 khæng ëc lªp thèng k¶ vîi nhau, i·u n y s³ £nh h÷ðng
¸n vi»c ÷îc l÷ñng c¡c gi¡ trà ph÷ìng sai trong cæng thùc (2.64). Trong Möc 2.1
công ¢ chùng minh r¬ng c¡c m¨u ð méi nûa cûa sê quan s¡t l  ëc lªp thèng
k¶. Do â, luªn ¡n · xu§t mët c¡ch ti¸p cªn kh¡c º x¡c ành cûa sê t½nh to¡n
mîi, â l  Tb/2 vîi Tb = Tcβ v  β l  sè nguy¶n ch®n, º £m b£o r¬ng trong cûa
sê t½nh to¡n mîi c¡c m¨u s³ ëc lªp thèng k¶ vîi nhau. H¼nh 2.6 (a) v  (b) minh
håa cûa sê t½nh to¡n mîi cho xk + x˜k v  xkx˜k t÷ìng ùng.
Düa tr¶n cûa sê t½nh to¡n · xu§t, c¡c m¨u t¤p ¥m ëc lªp vîi nhau, c¡c
48
m¨u hén lo¤n ëc lªp vîi nhau v  ëc lªp vîi c¡c m¨u t¤p ¥m v  E [xk] = 0,
E [nk] = 0, c¡c gi¡ trà trung b¼nh v  gi¡ trà ph÷ìng sai th nh ph¦n trong c¡c
cæng thùc (2.63) v  (2.64) ÷ñc t½nh nh÷ sau:
E [4U ] =4E
[
β∑
k=1
(
x2k + x˜
2
k
)]
= 4E
2 β/2∑
k=1
(
x2k + x˜
2
k
)
=8

β/2∑
k=1
E
[
x2k
]
︸ ︷︷ ︸
Eb/4
+
β/2∑
k=1
E
[
x˜2k
]
︸ ︷︷ ︸
Eb/4
 = 4Eb,
(2.65)
E
[
2I11|b1=1,b2=1
]
= E
[
8
β∑
k=1
xkx˜k
]
= E
16 β/2∑
k=1
xkx˜k
 = 16 β/2∑
k=1
E [xk]︸ ︷︷ ︸
0
E [x˜k]︸ ︷︷ ︸
0
= 0,
(2.66)
E
[
N11|b1=1,b2=1
]
=E
2 β/2∑
k=1
(
xkn
(1)
1,k + x˜kn˜
(1)
1,k
)
+ 2
β/2∑
k=1
(
x˜kn
(1)
1,k + xkn˜
(1)
1,k
)
+
β/2∑
k=1
n
(1)
1,kn˜
(1)
1,k

=2
β/2∑
k=1
(E [xk]︸ ︷︷ ︸
0
E
[