Luận án Nghiên cứu trạng thái ứng suất-biến dạng của vỏ trụ composite có cơ tính biến thiên chịu tải trọng cơ, nhiệt trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt bậc cao QUASI-3D

thực hiện tương tự. 
67 
Các thành phần chuyển vị 0u , 1u , 2u , 3u , 0v , 1v , 2v , 3v , 0w , 1w , 2w , tải 
trọng cơ q
 và nhiệt độ oT , inT được phân tích theo chuỗi lượng giác kép. 
Các hàm lượng giác được lựa chọn là những hàm số thỏa mãn điều kiện biên 
tựa đơn. Để nhận được các biểu thức đại số liên hệ giữa các thành phần chuyển 
vị và các hệ số cho trước, thực hiện thay thế biểu thức phân tích các thành phần 
chuyển vị và ngoại lực theo chuỗi lượng giác kép vào các phương trình (2.45). 
Điều kiện biên tựa đơn đối với panel trụ được viết dưới dạng sau: 
( ) ( )0, / , 0,N N L R  = = 
( ) ( )0, / , 0,M M L R  = = 
( ) ( )* *0, / , 0,N N L R  = = 
( ) ( )* *0, / , 0,M M L R  = = 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0, / , 0, 0,1,2,3,
0, / , 0, 0,1,2,
,0 , / 0,
,0 , / 0,
i i
j j
v v L R i
w w L R j
N N b R
M M b R
 
 
 
 
 
 
= = =
= = =
= =
= =
 (3.9) 
 ( ) ( )
* *,0 , / 0,N N b R  = = 
 ( ) ( )
* *,0 , / 0,M M b R  = = 
( ) ( ),0 , / 0, 0,1,2,3,i iu u b R i = = = 
( ) ( ),0 , / 0, 0,1,2.j jw w b R j = = = 
Phân tích tải trọng, chuyển vị theo chuỗi lượng giác kép: 
 1 1
sin cos ,ii rs s r
r s
u U    
= =
=
68 
 1 1
cos sin ,ii rs s r
r s
v V    
= =
=
1 1
sin sin ,jj rs s r
r s
w W    
= =
= (3.10) 
 1 1
sin sin , rs s r
r s
q Q    
= =
= 
 
1 1
1 1
sin sin ,
sin sin , , , , 1,2,....
/ /
   
     
= =
= =
 = 
 = = = =


rs
o o s r
r s
rs
in in s r r s
r s
T T
r s
T T r s
L R b R
trong đó b là chiều rộng (chiều dài theo phương θ) của panel trụ. 
Rõ ràng, khai triển (3.10) hoàn toàn thỏa mãn điều kiện biên (3.9). 
Thế (3.10) vào (2.45) và thực hiện một số phép biến đổi cơ bản ta được 
hệ phương trình đại số đối với các hệ số 
i
rsU , 
i
rsV , 
j
rsW : 
( )
3
2 2
1 1 ,11 1 ,22
0
3 2
2 ,12 3 ,1
0 0
0, 1,2,3,4,
l n l n l n
n rs r n rs s n rs
n
l n l n
r s n rs r n rs
n n
H U H U H U
H V H W l
 
  
=
= =
− − +
− + = =

 
( )
3
2 2
2 2 ,11 2 ,22
0
3 2
1 ,12 3 ,2
0 0
0, 5,6,7,8,
i n i n i n
n rs r n rs s n rs
n
i n i n
r s n rs s n rs
n n
H V H V H V
H U H W i
 
  
=
= =
− − −
− + = =

 
 (3.11) 
( )
2 3
2 2
3 3 ,11 3 ,22 1 ,1
0 0
3
2 ,2 4 5
0
, 9,10,11.
  

= =
+ −
=
− − − −
− = + + + =
 

j n j n j n j n
n rs r n rs s n rs r n rs
n n
j n j j j rs j rs
s n rs rs rs To o Tin in
n
H W H W H W H U
H V H Q H Q H T H T j
69 
Giải hệ phương trình (3.11) sẽ nhận được các hệ số 
i
rsU , 
i
rsV , 
j
rsW , tiếp 
tục thay vào (3.10) để xác định các chuyển vị iu , ( )0, 1, 2, 3iv i = , 
( )0, 1, 2jw j = . Từ các phương quan hệ biến dạng và chuyển vị (2.22) tìm 
được các biến dạng  ,  , z ,  , z và z . Tiếp theo, sử dụng ba biểu 
thức  ,  và  của (2.25) hoặc (2.27) để xác định các ứng suất màng  , 
 và  . Các thành phần ứng suất còn lại được tìm dựa trên phương trình 
cân bằng của lý thuyết đàn hồi không gian (2.46). 
3.2.2. Trường hợp vỏ trụ FGM hai đầu tựa đơn 
Điều kiện biên theo θ là điều kiện tuần hoàn. Điều kiện biên tựa đơn đối 
với vỏ trụ theo  tại 0 = , 
L
R
 =
được viết dưới dạng sau: 
 ( ) ( )0, / , 0,N N L R  = = 
 ( ) ( )0, / , 0,M M L R  = = 
 ( ) ( )* *0, / , 0,N N L R  = = 
 ( ) ( )* *0, / , 0,M M L R  = = 
( ) ( )
( ) ( )
0, / , 0, 0,1,2,3,
0, / , 0, 0,1,2,
k k
j j
v v L R k
w w L R j
 
 
= = =
= = =
Phân tích tải trọng, chuyển vị theo chuỗi lượng giác kép: 
1
sin cos ,k km r
m
u U m  
=
= 
1
cos sin ,k km r
m
v V m  
=
= 
1
sin sin ,j jm r
m
w W m  
=
= (3.12) 
70 
1
sin sin , r
m
q Q m  
=
= 
1
1
sin sin ,
sin sin , , 1,2,3....
/
  
   
=
=
 = 
 = = =


o o r
m
in in r r
m
T T m
r
T T m r
L R
Thế (3.12) vào (2.45) và thực hiện một số phép biến đổi cơ bản ta nhận 
được hệ phương trình đại số đối với các hệ số kmU , kmV , jmW : 
( )
0
0 0
2 2
1 1 ,11 1 ,22
0
1
2 ,12 3 ,1
0 0
0, 1,2,3,4,
N
l l l
n nm r n nm n nm
n
N N
l l
r n nm r n nm
n n
H U H U m H U
m H V H W l

 
=
−
= =
− − +
− + = =

 
( )
0
0 0
2 2
2 2 ,11 2 ,22
0
1
1 ,12 3 ,2
0 0
0, 5,6,7,8,
N
i i i
n nm r n nm n nm
n
N N
i i
r n nm n nm
n n
H V H V m H V
m H U m H W i


=
−
= =
− − −
− + = =

 
 (3.13) 
( )
0 0
0
1
2 2
3 3 ,11 3 ,22 1 ,1
0 0
2 ,2 4 5
0
, 9,10,11.
 
−
= =
+ −
=
− − − −
− = + + + =
 

N N
j j j j
n nm r n nm n nm r n nm
n n
N
j j j j r j r
n nm r r To o Tin in
n
H W H W m H W H U
m H V H Q H Q H T H T j
Thực hiện trình tự giải như các bước trong trường hợp panel trụ FGM 
tựa đơn trên bốn cạnh. 
3.3. Phương pháp tính toán vỏ trụ chịu tác dụng của tải trọng hướng 
kính đối xứng trục với các điều kiện biên khác nhau 
Phần này xem xét vỏ trụ FGM chịu tải đối xứng trục. Chuyển vị và tải 
trọng có được như khai triển ở (3.1), (3.2) với 0m = . Do 0iv = , các đại lượng 
không phụ thuộc vào θ (do kết cấu, lực đối xứng trục), hệ phương trình vi 
71 
phân đạo hàm riêng (2.45) dẫn đến hệ các phương trình vi phân thường tương 
tự như (3.4) và (3.5). 
Nghiệm các phương trình vi phân tổng quát (3.4) và (3.5) có thể được 
biểu diễn dưới dạng tổng của nghiệm các phương trình vi phân thuần nhất và 
nghiệm riêng của các phương trình khi có tải trọng cụ thể. 
3.3.1. Xác định nghiệm của hệ phương trình thuần nhất 
Do các hệ số của phương trình (3.4), (3.5) là không đổi, theo phương 
pháp toán tử, các phương trình này có thể được coi là phương trình đại số và 
biểu diễn phương pháp giải (3.4), (3.5) dưới dạng tổng quát. 
Ở dạng ma trận, hệ phương trình thuần nhất (3.4), (3.5) được viết: 
 00 10 20 30 00 10 20, , , , , , . = D 0
T
U U U U W W W (3.14) 
Ma trận D , một ma trận toán tử vuông có kích thước 7 × 7 và có dạng 
như sau: 
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
10,11 11 11,11 12 12,11 13 13,11 30,1 31,1 32,12 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
10,11 11 11,11 12 12,11 13 13,11 30,1 31,1 32,12 2 2 2
2
3 3
10,11 112
      
      

+ + +
+ + +
+
=D
d d d d d d d
H H H H H H H H H H
d d d d d d d
d d d d d d d
H H H H H H H H H H
d d d d d d d
d
H H H
d
2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
11,11 12 12,11 13 13,11 30,1 31,1 32,12 2 2
2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
10,11 11 11,11 12 12,11 13 13,11 30,1 31,1 32,12 2 2 2
9 9 9 9
10,1 11,1 12,1 13,1 3
     
      
   
+ +
+ + +
d d d d d d
H H H H H H H
d d d d d d
d d d d d d d
H H H H H H H H H H
d d d d d d d
d d d d
H H H H H
d d d d
2 2 2
9 9 9 9 9 9
0 30,11 31 31,11 32 32,112 2 2
2 2 2
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
10,1 11,1 12,1 13,1 30 30,11 31 31,11 32 32,112 2 2
11 11 11 11 11 11
10,1 11,1 12,1 13,1 30 30,11
  
      
   
+ + +
+ + +
+
d d d
H H H H H
d d d
d d d d d d d
H H H H H H H H H H
d d d d d d d
d d d d
H H H H H H
d d d d
2 2 2
11 11 11 11
31 31,11 32 32,112 2 2  
 + +
d d d
H H H H
d d d
Giả sử ( )F  là nghiệm của phương trình vi phân sau: 
 ( ) ( )det 0F  =D (3.15) 
trong đó, ( )det D là định thức của ma trận D . 
Khi đó, các biểu thức sau cũng là nghiệm của phương trình thuần nhất (3.14): 
72 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
00 1015 25
20 3035 45
00 10 2055 65 75
det , det ,
det , det ,
det , det , det .
 
 
  
= =
= =
= = =
D D
D D
D D D
U F U F
U F U F
W F W F W F
(3.16) 
ở đây, ( )det
ij
D là định thức của phần bù ma trận D tương ứng với phần 
tử ( ),i j . 
Thay thế 

=
d
p
d
, 
2
2
=
d
p
d
 vào biểu thức xác định định thức của ma 
trận D , khi đó phương trình vi phân (3.15) có phương trình đặc trưng được 
biểu diễn dưới dạng 
 ( )
6
2 0 2 2
0
0,nn
n
p S p p G p
=
= = (3.17) 
Ngoài các nghiệm bằng 0, phương trình (3.17) còn có các nghiệm sau: 
1 1p iq , 2 2p iq , 3p , 4p . 
Do đó, ( )G p có thể được biểu diễn dưới dạng 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
2 2 20
6 1 1 1 1 2 2
2 2 2 2 2
2 2 3 4 .
 = − + + + − + 
 + + − −
G p S p p q p p q p p q
p p q p p p p
 (3.18) 
Có bất đẳng thức chặt đối với vỏ mỏng như sau: 
1 2 3 4p p p p , 1 2q q . 
Giá trị của 1p , 1q có thể được xác định xấp xỉ bởi các công thức sau: 
0 0 0 0
0 1 0 1
1 10 0 0 0
2 2 2 2
1 1
, .
2 4 2 4
S S S S
p q
S S S S
= − = + 
Đối với nghiệm không của phương trình (3.17), biểu thức (3.16) không có 
nghĩa. Do đó, trong trường hợp này, chỉ quan tâm tới nghiệm của phương trình 
(3.15), tương ứng với các nghiệm khác không của (3.17). Nghiệm này có dạng sau: 
73 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1
2 2
3 3 4 4
1 1 2 1 3 1 4 1
5 2 6 2 7 2 8 2
9 10 11 12
sin cos sin cos
sin cos sin cos
.
p p
p p
p p p p
F C q C q e C q C q e
C q C q e C q C q e
C e C e C e C e
 
 
   
    
   
−
−
− −
= + + + +
+ + + + +
+ + + +
Tương ứng với hai nghiệm bằng không của (3.17) có các nghiệm riêng 
tương ứng của phương trình (3.14), bao gồm: 
00 13 10 20 30 00 10 20, 0, 0, 0, 0, 0, 0 , = = = = = = = U C U U U W W W 
00 14 10 20 30 00 14 1 10 14 2 20 14 3, 0, 0, 0, , , . = = = = = = = U C U U U W C k W C k W C k 
trong đó, các hệ số 1 2 3, ,k k k là nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến 
tính sau: 
9 9 9 9
30 1 31 2 32 3 10,1
10 10 10 10
30 1 31 2 32 3 10,1
11 11 11 11
30 1 31 2 32 3 10,1
,
,
.
+ + = −
+ + = −
+ + = −
H k H k H k H
H k H k H k H
H k H k H k H
Nghiệm riêng thứ nhất tương ứng với dịch chuyển của vỏ như vật rắn 
tuyệt đối dọc theo trục đối xứng. Còn nghiệm riêng thứ hai tương ứng với 
biến dạng kéo-nén dọc trục của vỏ như đối với thanh. 
Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất (3.14) thu 
được dưới dạng 
( ) ( ) ( ) ( )00 13 14 1015 25det , det ,  = + + =D DU C C F U F 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
20 3035 45
00 14 1 10 14 255 65
det , det ,
det , det ,
 
 
= =
= + = +
D D
D D
U F U F
W C k F W C k F
 (3.19) 
( ) ( )20 14 3 75det .= + DW C k F 
3.3.2. Điều kiện biên 
Trong mục này, thực hiện cụ thể hóa các điều kiện biên tương ứng với 
các phương trình (3.4), (3.5) trong nghiên cứu vỏ chịu tải trọng đối xứng trục 
74 
Đối với biên ngàm chặt tại đầu 0 = hoặc /L R = : 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
00 10 20 30
00 10 20
0,
0.
U U U U
W W W
   
  
= = = =
= = =
 (3.20) 
Đối với biên gối tựa tại 0 = hoặc /L R = : 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
00 10 20 30
00 10 20
0,
0.
d d d d
U U U U
d d d d
W W W
   
   
  
= = = =
= = =
 (3.21) 
Đối với biên tự do tại 0 = hoặc /L R = , có các biểu thức sau: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
10 00 11 10 12 20
1 1 1 1
13 30 30 00 31 10 32 20
0 :
0,
d d d
N G U G U G U
d d d
d
G U G W G W G W
d
   
  
   

= + + +
+ + + + =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
10 00 11 10 12 20
2 2 2 2
13 30 30 00 31 10 32 20
0 :
0,
d d d
M G U G U G U
d d d
d
G U G W G W G W
d
   
  
   

= + + +
+ + + + =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
* 3 3 3
10 00 11 10 12 20
3 3 3 3
13 30 30 00 31 10 32 20
0 :
0,
d d d
N G U G U G U
d d d
d
G U G W G W G W
d
   
  
   

= + + +
+ + + + =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
* 4 4 4
10 00 11 10 12 20
4 4 4 4
13 30 30 00 31 10 32 20
0 :
0,
d d d
M G U G U G U
d d d
d
G U G W G W G W
d
   
  
   

= + + +
+ + + + =
(3.22) 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
5 5 5
10 00 11 10 12 20
5 5 5 5
13 30 30 00 31 10 32 20
0 :
0,
d d d
Q G U G U G U
d d d
d
G U G W G W G W
d
   
  
   

= + + +
+ + + + =
75 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
6 6 6
10 00 11 10 12 20
6 6 6 6
13 30 30 00 31 10 32 20
0 :
0,
d d d
S G U G U G U
d d d
d
G U G W G W G W
d
   
  
   

= + + +
+ + + + =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
* 7 7 7
10 00 11 10 12 20
7 7 7 7
13 30 30 00 31 10 32 20
0 :
0.
d d d
Q G U G U G U
d d d
d
G U G W G W G W
d
   
  
   

= + + +
+ + + + =
Các hệ số kijG nhận được trực tiếp từ các biểu thức xác định các thành 
phần nội lực suy rộng tương ứng. 
3.3.3. Xác định nghiệm riêng ứng với các dạng tải trọng cục bộ đối xứng 
trục khác nhau 
Để xác định nghiệm riêng của hệ phương trình vi phân (3.4) và (3.5) sử 
dụng phép biến đổi Laplace. Ký hiệu hàm ảnh tương ứng với các hàm chuyển 
vị và tải trọng như sau: 
( ) ( )00 00ˆ , U U p
( ) ( )10 10ˆ , U U p ( ) ( )20 20ˆ , U U p
( ) ( )30 30ˆ , U U p
( ) ( )00 00ˆ , W W p
( ) ( )10 10ˆ , W W p
( ) ( )20 20ˆ , W W p
 ( ) ( )0 0 .Q Q p
Theo quy tắc lấy vi phân hàm nguồn, có được: 
( ) ( ) 100 00 00ˆ ,

 −
d
U pU p C
d 
( ) ( )
2
2 1 1
00 00 00 012
ˆ ,

 − −
d
U p U p pC C
d 
( ) ( ) 110 10 10ˆ ,

 −
d
U pU p C
d 
( ) ( )
2
2 1 1
10 10 10 112
ˆ ,

 − −
d
U p U p pC C
d 
( ) ( ) 120 20 20ˆ ,

 −
d
U pU p C
d 
( ) ( )
2
2 1 1
20 20 20 212
ˆ ,

 − −
d
U p U p pC C
d 
76 
( ) ( ) 130 30 30ˆ ,

 −
d
U pU p C
d 
( ) ( )
2
2 1 1
30 30 30 312
ˆ ,

 − −
d
U p U p pC C
d 
( ) ( ) 300 00 00ˆ ,

 −
d
W pW p C
d 
( ) ( )
2
2 3 3
00 00 00 012
ˆ ,

 − −
d
W p W p pC C
d 
( ) ( ) 310 10 10ˆ ,

 −
d
W pW p C
d 
( ) ( )
2
2 3 3
10 10 10 112
ˆ ,

 − −
d
W p W p pC C
d 
( ) ( ) 320 20 20ˆ ,

 −
d
W pW p C
d 
( ) ( )
2
2 3 3
20 20 20 212
ˆ .

 − −
d
W p W p pC C
d 
ở đây, các hằng số kijC là các hằng số tích phân và được xác định thông qua 
các điều kiện biên tại các biên. Tuy nhiên, do chỉ quan tâm tới nghiệm riêng của 
hệ phương trình vi phân (3.4), (3.5), nên có thể đặt các hằng số 0kijC = . 
Mặt khác, đối với các tải trọng nhiệt độ 0oT và 0 inT , ta có phép biến 
đổi sau: 
0 0 / , o oT T p
0 0 / . in inT T p
Khi đó, hệ phương trình (3.4), (3.5) trong phép biến đổi Laplace có dạng 
như sau: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
10 10,11 00 11 11,11 10
2 2
12 12,11 20 13 13,11 30
30,1 00 31,1 10 32,1 20 0, 1 4,
l l l l
l l l l
l l l
H H p U p H H p U p
H H p U p H H p U p
H pW p H pW p H pW p l
+ + + +
+ + + + +
+ + + = = 
 ( ) ( ) ( ) ( )2 230 30,11 00 31 31,11 10j j j jH H p W p H H p W p+ + + + (3.23) 
 ( ) ( ) ( ) ( )232 32,11 20 10,1 00 11,1 10j j j jH H p W p H pU p H pU p+ + + + + 
( ) ( )
( ) ( )
12,1 20 13,1 30
0 0
4 0 5 0 , 9 11.
+ −
+ + +
 + 
= + + = 
j j
j j
j j To o Tin in
H pU p H pU p
H T H T
H Q p H Q p j
p
77 
Do hệ phương trình (3.23) là hệ phương trình đại số tuyến tính, nên 
nghiệm của nó có thể tìm được bằng tổng các nghiệm thành phần tương ứng 
với từng dạng tải trọng ở vế phải. Vì vậy, trong phần tiếp theo của mục này, 
luận án sẽ trình bày kết quả xác định nghiệm riêng tương ứng với một số dạng 
tải trọng hay gặp trong thực tế tính toán. Không mất tính tổng quát, có thể đặt 
biểu thức tải trọng ở vế phải của hệ (3.23) ứng với ba phương trình cuối tương 
ứng là ( )9qH Q p , ( )
10
qH Q p và ( )
11
qH Q p . 
Biểu thức nghiệm của các hàm ảnh ( )0iU p và ( )0jW p có dạng phân 
thức theo p, cụ thể như sau : 
( ) ( )
( )
00
5
2
0
00 ,
i i
U
i
f p
U p Q p
pG p
==

( ) ( )
( )
10
4
2
0
10 ,
i i
U
i
p f p
U p Q p
G p
==

 ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
20 30
4 4
2 2
0 0
20 30, ,
i i i i
U U
i i
p f p p f p
U p Q p U p Q p
G p G p
= == =
 
 (3.24) 
( ) ( )
( )
00
5
2
0
00 ,
i i
W
i
f p
W p Q p
G p
==

( ) ( )
( )
10
5
2
0
10 ,
i i
W
i
f p
W p Q p
G p
==

( ) ( )
( )
20
5
2
0
20 .
i i
W
i
f p
W p Q p
G p
==

Trong đó, các hệ số ,
i
U Wf là các hằng số phụ thuộc vào các tham số hình 
học vỏ và cơ tính của vật liệu, đa thức ( )G p được xác định từ biểu thức 
(3.17). Do ( )G p có thể phân tích được dưới dạng tích của các tam thức bậc 
hai (3.18), nên biểu thức xác định các hàm ảnh ( )0iU p , ( )0jW p có thể phân 
tích thành dạng sau: 
78 
( ) ( )
( ) ( )
00 00 00 00
00 00 00
0 1 2 2 3 32
00 2 22 2
1
0 1 054
2 2
3
,
i i i i
U U U U
i
i i i i
i i
U U U
i i
p p p
U p Q p
p p q p p q
p
p p p
   
  
=
=
+ + + 
= + 
 − + + + 
+ 
+ + 
− 


( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0
0 1 2 2 3 32
0 2 22 2
1
0 14
2 2
3
, 1,2,3,
k k k k
k k
i i i i
U U U U
k
i
i i i i
i i
U U
i i
p p p
U p pQ p
p p q p p q
p
k
p p
   
 
=
=
+ + + 
= + 
 − + + + 
+ 
+ =
− 


 (3.25) 
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0
0 1 2 2 3 32
0 2 22 2
1
0 14
2 2
3
, 0,1,2.
l l l l
l l
i i i i
W W W W
l
i
i i i i
i i
W W
i i
p p p
W p Q p
p p q p p q
p
l
p p
   
 
=
=
+ + + 
= + 
 − + + + 
+ 
+ =
− 


Các hệ số ,
ij
U W trong các biểu thức nêu trên tìm được bằng cách đồng 
nhất các hệ số của đa thức theo p nằm trên tử số của (3.24) và (3.25). Các 
phân thức trong (3.25) là các hàm chuẩn có thể xác định được hàm nguồn 
thông qua phép biến đổi Laplace ngược. Do vậy, việc phân tích hàm ảnh dưới 
dạng tổng các phân thức dạng (3.25), cho phép tìm được biểu thức nghiệm 
riêng đối với các thành phần chuyển vị dưới dạng tường minh. Dưới đây, thực 
hiện trình bày kết quả xác định nghiệm riêng đối với các thành phần chuyển 
vị tương ứng với một số dạng tải trọng hay gặp trong thực tế. 
a) Tải trọng cục bộ hướng tâm phân bố đều trên một đoạn 
Xét vỏ trụ FGM dưới tác dụng của tải trọng cục bộ phân bố đều trên một 
đoạn được biểu diễn như Hình 3.1. Quy luật biến đổi của tải trọng xác định 
như sau: 
79 
 ( )
1
0 1 2
2 0
0, 0 ,
, ,
0, .
khi
Q Q khi
khi
 
   
  
= 
 (3.26) 
ở đây, 0 biểu thị độ dài tương đối của vỏ, được xác định bởi biểu thức 
0 /L R = , trong đó L là chiều dài của vỏ. 
Hình 3.1. Vỏ trụ FGM chịu tải trọng cục bộ hướng tâm phân bố đều trên một đoạn 
Hàm ảnh của tải trọng nêu trên được xác định bởi biểu thức: 
 ( )
1 2
0 .
p pe e
Q p Q
p
 − −−
= (3.27) 
Thay (3.27) vào (3.25) và thực hiện phép biến đổi Laplace ngược, ta có: 
( ) ( ) ( )
( )
( )( )
00
2 2
1 1
00 0 12
2 2
1 1
1
1 , 1
j i
j U i j
j i
i i i i
U Q Z
p q p q
      
−
= =
 = − − − + 
+ 
  
( ) ( ) ( ) 00
00 00 00
04
2 3 4
2 3 4 2
3
4
, , ,
i
Ui i i
U i j U i j U i j
i i
Z Z Z
p

        
=
 + + + +  
( )
( ) ( )00
00
1
2 03
2
sinh sinh 2 ,
2
i
i j U
i j U j
i
p
p
p
  
    
− 
 + − + − 
 
80 
( ) ( ) ( )
( )
( )
0
2 2
1 1
0 0 12 2
1 1
1
1 ,
k
j i
k j U i j
j i i i i i
U Q Z
p q p q
      
−
= =
 = − − + + 
  
 ( ) ( ) ( )
0 0 0
2 3 4
2 3 4, , ,k k k
i i i
U i j U i j U i jZ Z Z         + + + + (3.28) 
( ) ( )0
0
04
1
3
sinh cosh , 1,2,3,k
k
i
U i
i j U i j
i i
p p k
p

    
=
 + − + − = 
 
 
( ) ( ) ( )
( )
( )( )
0
2 2
1 1
0 0 12
2 2
1 1
1
1 , 1
l
j i
l j W i j
j i
i i i i
W Q Z
p q p q
      
−
= =
 = − − − + 
+ 
  
( ) ( ) ( )
0 0 0
2 3 4
2 3 4, , ,l l l
i i i
W i j W i j W i jZ Z Z         + + + + 
( )
( )0 0
0 14
2
2
3
4 2
sinh sinh , 0,1,2.
2
l l
i i
i jW W
i j
i i i
p
p l
p p
  
 
=
− 
+ + − =
 
 
Trong đó ( )j  − là hàm Heaviside và có các ký hiệu sau: 
( ) ( )( ) ( )( )1 , cosh cos ,i i iZ p q     = − − 
( ) ( )( ) ( )( )2 , cosh sin ,i i iZ p q     = − − 
( ) ( )( ) ( )( )3 , sinh cos ,i i iZ p q     = − − 
( ) ( )( ) ( )( )4 , sinh sin .i i iZ p q     = − − 
Các hệ số  và  với các chỉ số chữ và số trong biểu thức (3.28) được 
xác định bởi các công thức 
( )
0 0
1 3 2 22 ,
k k
i i
U U i i i ip q p q = + ( )0 0 0
2 2 2 2 0 ,
k k k
i i i
U i U i i Up p q   = + + 
( )
0 0 0
3 2 2 2 0 ,
k k k
i i i
U i U i i Uq p q   = + − ( ) ( )0 0 0
4 2 2 3 2 2 1 ,
k k k
i i i
U i i U i i Up q p q   = + − + 
( ) ( )
00 0