Luận án Nghiên cứu ứng dụng mô hình ma sát trong mô phỏng và điều khiển xy lanh khí nén

hương trình thay đổi nội năng của chất khí có dạng:
	(3.42)
Phương trình trạng thái với chất khí trong khoang xả:
Suy ra:
	(3.43)
Thay (3.43) vào (3.42), ta có:
	(3.44)
Công của chất khí trong khoang xả:
	(3.45)
Thay (3.41), (3.44) và (3.45) vào (3.40) với chú ý cv + R = cp và k = cp/cv, thu được:
	(3.46)
Mặt khác, thể tích khoang xả (khoang 2) của xy lanh được xác định như sau:
	(3.47)
trong đó: 
L (m) - hành trình pít-tông,
V02 (m3) - thể tích chết của khoang xả.
Thay (3.47) vào (3.46) và biến đổi, ta có:
	(3.48)
Kết hợp (3.17) và (3.48) với chú ý khoang 2 là khoang xả, ta có:
	(3.49)
b). Trường hợp thứ hai: Khoang 2 là khoang nạp, khoang 1 là khoang xả của xy lanh khí nén
Phân tích tương tự như trường hợp thứ nhất, phương trình thay đổi áp suất trong khoang nạp 2 và khoang xả 1 có thể được phát triển như sau :
	(3.50)
	(3.51)
· Kết hợp phương trình (3.51) và (3.39), phương trình thay đổi áp suất trong khoang 1 trong cả hai trường hợp nạp và xả được viết như sau:
	(3.52)
Tương tự đối với khoang 1, kết hợp các phương trình (3.49) và (3.50), phương trình thay đổi áp suất trong khoang 2 trong cả hai trường hợp nạp và xả có dạng:
	(3.53)
2. Phương trình chuyển động của pít-tông
Từ Định luật II – Newton, ta có phương trình chuyển động của pít-tông có dạng:
	(3.54)
trong đó: 
M - tải khối lượng qui về pít-tông (kg), 
x – độ dịch chuyển của pít-tông (m), 
A1, A2 – tương ứng là diện tích hữu ích của pít-tông phía không có cần và phía có cần (m2), 
Lực ma sát Fr được mô tả bởi một trong ba mô hình ma sát đã được lựa chọn và trình bày chi tiết trong Chương 2.
3.3. Xây dựng chương trình mô phỏng
Chương trình mô phỏng được xây dựng dựa trên các phương trình toán học của hệ thống được phát triển trong Phần 3.2 và các phương trình toán học ma sát được mô tả trong Chương 2. Mô phỏng được thực hiện bằng phần mềm MATLAB/ Simulink 2016a. Đầu vào của Chương trình mô phỏng là các tín hiệu điện áp u1 và u2 của các Van tỉ lệ lưu lượng và đầu ra mô phỏng là các thông số vị trí xy lanh, vận tốc xy lanh, áp suất trong khoang xy lanh và lực ma sát. Hình 3.12 đến 3.15 là các sơ đồ khối trong chương trình mô phỏng được xây dựng. Hình 3.12 là sơ đồ khối mô phỏng chung của hệ thống. Hình 3.13, 3.14, và 3.15 tương ứng trình bày các sơ đồ khối mô phỏng của mô hình ma sát trạng thái ổn định, mô hình ma sát LuGre và mô hình ma sát LuGre cải tiến. Phương pháp giải số Rung-Kuta được áp dụng để giải các phương trình vi phân. Thời gian cố định 1.16 ms giây được đặt cho mỗi bước của chương trình mô phỏng. Thời gian này được lựa chọn tương ứng với thời gian mỗi bước thu nhận tín hiệu thực nghiệm. 
Các thông số của hệ thống dùng trong mô phỏng được liệt kê trong Bảng 3.2. Xy lanh khí nén sử dụng trong nghiên cứu này tương tự với xy lanh sử dụng trong nghiên cứu bởi Tran và cộng sự 2016 [38]. Do đó, giá trị các thông số của ba mô hình ma sát được lấy từ các giá trị của các thông số đã được xác định bằng thực nghiệm trong các nghiên cứu [38]. Giá trị các thông số của ba mô hình ma sát sử dụng trong các mô phỏng này được liệt kê trong Bảng 3.3. 
Mô phỏng được tín hành tại các điều kiện tương tự như thực nghiệm để có thể so sánh và kiểm chứng với các kết quả thực nghiệm. Do đó, các điều kiện ban đầu của các thông số được đặt giống với các điều kiện thực nghiệm. Áp suất nguồn khí ps được đặt tại giá trị 5×105 N/m2 và áp suất ban đầu trong các khoang xy lanh p10 và p20 được đặt bằng áp suất khí quyển 1×105 N/m2. Vị trí ban đầu của pít-tông xy lanh được đặt tại các vị trí giống như vị trí ban đầu của thực nghiệm. Tải được đặt lên đầu cần pít-tông là 0.5 kg.
Bảng 3.2. Các thông số của hệ thống sử dụng trong mô phỏng 
Thông số
(đơn vị đo)
Giá trị
Thông số 
(đơn vị đo)
Giá trị
M (kg)
0.5
KV1 (m2/V)
6×10-7
A1 (m2)
4.9×10-4
KV2 (m2/V)
6×10-7
A2 (m2)
4.12×10-4
T (0K)
295
L (m)
0.3
R (Nm/kg.0K)
287
V10 (m3)
9.8×10-7
ps (N/m2)
5×105
V20 (m3)
8.24×10-7
patm (N/m2)
1×105
k
1.41


Hình 3.12. Sơ đồ khối mô phỏng chung của hệ thống TĐKN 
Hình 3.13. Sơ đồ khối mô phỏng của mô hình ma sát trạng thái ổn định
Hình 3.14. Sơ đồ khối mô phỏng của mô hình ma sát LuGre 
thái ổn định
Hình 3.15. Sơ đồ khối mô phỏng của mô hình ma sát RLuGre cải tiế
thái ổn định
Bảng 3.3. Giá trị các thông số của ba mô hình ma sát sử dụng trong mô phỏng hệ thống
Thông số
(đơn vị đo)
Giá trị
Thông số
(đơn vị đo)
Giá trị
Hành trình thuận của pít-tông
Hành trình nghịch của pít-tông
Fs [N]
15
18
T [s]
0.1
Fc [N]
6.0
5.8
s0 [N/m]
1.5×104
vs [m/s]
0.014
0.012
s1 [Ns/m]
0.1
vb [m/s]
0.05
0.05
thp [s]
0.02
n
2.5
1.2
thn [s]
0.15
s2 [Ns/m]
30
25
th0 [s]
20
3.4. Kết quả nghiên cứu về ảnh hưởng mô hình ma sát đến mô phỏng động lực học xy lanh khí nén
3.4.1. Kết quả thực nghiệm đặc tính động lực học xy lanh khí nén
Trong phần này, các kết quả thực nghiệm được trình bày để hiểu rõ về các đặc tính động lực học của xy lanh khí nén tại các điều kiện hoạt động khác nhau. Hình 3.16 trình bày các kết quả thực nghiệm về độ dịch chuyển của pít-tông, áp suất p1 và p2 trong các khoang của xy lanh khí nén, lực quán tính và lực ma sát khi các van được điều khiển bằng các tín hiệu điện áp có giá trị không đổi: u1 = 2.875 VDC, u2 = 2.19 VDC. Trong trường hợp này, khí nén từ bình chứa khí được cung cấp cho khoang xy lanh 1 qua van 1 và khí trong khoang xy lanh 2 được xả vào khí quyển qua van 2. Lưu lượng dòng khí cung cấp và thoát ra từ các khoang xy lanh trong trường hợp này là tương đối nhỏ. Như có thể thấy trong Hình 3.16 về đặc tính vị trí, trước tiên pít-tông ở vị trí ban đầu là 0.035 m trong 1.8 giây sau đó di chuyển một khoảng cách nhỏ đến vị trí mới 0.045 m. Sau đó, pít-tông đột ngột dừng lại và giữ nguyên vị trí mới trong 0.5 giây rồi pít-tông lại dịch chuyển. Quá trình chuyển động này của pít-tông được tiếp tục cho đến khi kết thúc hành trình của pít-tông. Đặc tính này được gọi là chuyển động “dính - trượt” và được quan sát thấy trong các xy lanh khí nén [25, 26] và trong các cơ cấu chấp hành khí nén khác [70]. Chuyển động này 
Hình 3.16. Các đặc tính được đo đạc và tính toán tại các điều kiện hoạt động u1 = 2.875 VDC; u2 = 2.19 VDC và M =1.5 kg: a). Độ dịch chuyển của pít-tông x, b.) Các áp suất trong khoang xy lanh p1 và p2, c). Lực quán tính Fa, d). Lực ma sát Fr
của pít-tông có thể được giải thích rằng khi khí được cung cấp cho khoang 1 của xy lanh, khí được nén và áp suất p1 tăng (Hình 3.16b) trong khi áp suất p2 của khoang 2 vẫn ở mức 0 MPa. Trong 1.8 giây đầu tiên, sự gia tăng áp suất p1 không đủ lớn để vượt qua lực ma sát do đó pít-tông vẫn đứng yên. Khi áp suất p1 tăng lên một giá trị đủ lớn khoảng 0.022 MPa, tạo ra một lực đủ để vượt qua lực ma sát, pít-tông bắt đầu chuyển động (trượt). Tuy nhiên, khi pít-tông di chuyển, thể tích của khoang 1 tăng và áp suất p1 giảm và do đó pít-tông ngừng di chuyển (dính). Khí tiếp tục được đưa vào khoang 1 và sau một thời gian, áp suất p1 lại được tăng trở lại đến một giá trị đủ để vượt qua lực ma sát thì pít-tông lại dich chuyển. Quá trình này sau đó được lặp lại. Một lưu ý nữa trong hình 3.16b là áp suất tối đa p1 thu được từ lần di chuyển thứ hai trở đi nhỏ hơn áp suất tối đa p1 ở lần thứ nhất. Trong Hình 3.16c, lực quán tính thu được nhỏ và do đó sự thay đổi của lực ma sát (Hình 3.16d) tương tự như sự thay đổi của áp suất p1. Giá trị của lực ma sát đạt tối đa (10.5N) tại thời điểm pít-tông bắt đầu chuyển động. Khi pít-tông đã di chuyển, lực ma sát giảm. Trong các chu kỳ tiếp theo, giá trị của lực ma sát thay đổi trong khoảng từ 4.5 đến 8.4 N.
Khi tín hiệu u1 của van 1 được cung cấp với giá trị cao hơn (u1 = 2.99 VDC) và u2 của van 2 có giá trị thấp hơn (u2 = 2.09 VDC) so với tín hiệu trong trường hợp của Hình 3.16, pít-tông vẫn giữ ở vị trí ban đầu 0.03 m trong 0.45 giây sau đó di chuyển trơn tru đến vị trí mới 0.24 m tại thời điểm 1.4 giây như trong Hình 3.17a. Chuyển động “dính-trượt” của pít-tông không quan sát được trong trường hợp này. Cần lưu ý rằng lưu lượng khí cung cấp cho khoang xy lanh 1 là tương đối lớn trong trường hợp này. Điều này có nghĩa là nếu khí được cung cấp đủ lớn cho khoang xy lanh trong một thời gian ngắn, chuyển động liên tục của pít-tông xy lanh có thể đạt được. Ngoài ra, trong Hình 3.17b cho thấy rằng do một lượng lớn lưu lượng khí được cung cấp cho khoang xy lanh 1, áp suất của p1 tiếp tục tăng sau khi pít-tông di chuyển. Áp suất được tăng đến giá trị tối đa khoảng 0.03 MPa sau 0.58 giây và sau đó giảm nhẹ. Mặc dù lực quán tính lớn nhất trong Hình 3.17c lớn hơn so với Hình 3.16c, sự thay đổi của lực ma sát trong Hình 3.17d cũng chủ yếu phụ thuộc vào sự thay đổi của áp suất p1.
Những kết quả tương tự như trên cũng có thể quan sát được đối với các trường hợp khi pít-tông thực hiện hành trình nghịch, tức là đối với trường hợp khi van 2 cung cấp không khí cho khoang xy lanh 2 và van 1 xả khí từ khoang xy lanh 1 ra khí quyển.
Hình 3.18 là các đặc tính đo đạc của xy lanh khí nén khi các tín hiệu điều khiển van u1 và u2 thay đổi dạng sóng hình sin: u1 = 2.5+ 0.5sin(2pft) và u2 = 2.5 – 0.4sin(2pft) với tần số thấp 0.2 Hz. Có thể thấy trong hình 3.18a rằng pít-tông chuyển động theo dạng hình thang với tần số tương ứng của tín hiệu điều khiển van và biên độ vị trí có xu hướng tăng nhẹ sau mỗi chu kỳ. Giống như kết quả trong Hình 3.16 và 3.17, pít-tông chỉ di chuyển khi áp suất p1 trong hành trình thuận hoặc p2 trong hành trình nghịch tăng lên một giá trị đủ lớn, tương ứng với các giá trị tăng và giảm thích hợp của các tín hiệu điều khiển van u1 và u2. Trong hành trình thuận của pít-tông, mức tăng áp suất p1 tương đối lớn, tới giá trị tối đa 0.04 MPa, trong khi mức tăng áp suất p2 rất nhỏ, gần áp suất khí quyển. Ngược lại, mức tăng áp suất p2 tương đối lớn, đến giá trị tối đa 0.0506 MPa, trong khi mức tăng của áp suất p1 là rất nhỏ trong hành trình nghịch của pít-tông (Hình 3.18b). Các đỉnh giá trị của áp suất p2 trong hành trình nghịch cao hơn áp suất p1 trong hành trình thuận. Kết quả này là do sự khác biệt trong diện tích hữu ích của pít-tông. Lực ma sát quan sát được trong Hình 3.18d biến đổi theo dạng hình sin và sự biến đổi của lực ma sát được lặp lại trong mỗi chu kỳ. Có thể nhận ra rằng sự biến đổi của lực ma sát trong xy lanh khí nén này khác với sự thay đổi được quan sát trong các xy lanh thủy lực [76]. Trong các xy lanh thủy lực, hiện tượng giảm lực ma sát tối đa được quan sát sau chu kỳ đầu của thay đổi vận tốc.
3.4.2. Kết quả nghiên cứu mô phỏng ảnh hưởng của mô hình ma sát
Trong phần này, các kết quả mô phỏng các đặc tính động lực học của xy lanh khí nén sử dụng ba mô hình ma sát được trình bày,và so sánh với các kết quả thực nghiệm với cùng điều kiện đầu vào để đánh giá ảnh hưởng của từng mô hình ma sát đến khả năng mô phỏng động lực học của xy lanh khí nén. 
Hình 3.19 là sự so sánh giữa các đặc tính đo đạc của vị trí pít-tông, áp suất p1 trong khoang xy lanh, lực ma sát và các đặc tính mô phỏng theo ba mô hình ma sát khi cung cấp tín hiệu điện áp thấp và không đổi điều khiển hai van tỉ lệ. Từ Hình 3.19a ta thấy rằng chuyển động “dính-trượt” của pít-tông có thể được mô phỏng tương đối tốt bằng mô hình RLuGre trong khi chuyển động “dính - trượt” có thể được mô phỏng một phần bởi mô hình LuGre. Số chu kỳ trượt của chuyển động pít-
Hình 3.17. Các kết quả đo đạc và tính toán tại các điều kiện hoạt động u1 = 2.99 VDC; u2 = 2.09 VDC và M =1.5 kg: a). Độ dịch chuyển của pít-tông x, b). Các áp suất trong khoang xy lanh p1 và p2, c). Lực quán tính Fa, d). Lực ma sát Fr
Hình 3.18. Các kết quả đo đạc và tính toán tại các điều kiện hoạt động u1 =2.5 + 0.5sin(2pft) (VDC), u2 = 2.5 – 0.4sin(2pft) (VDC), f = 0.2 Hz; M = 1.5 kg: a). Độ dịch chuyển của pít-tông x, b). Các áp suất trong khoang xy lanh p1 và p2, c). Lực quán tính Fa, d). Lực ma sát Fr
Hình 3.19. So sánh giữa các kết quả đo được và tính toán về độ dịch chuyển của pít-tông, áp suất, lực ma sát và các kết quả tương ứng được mô phỏng với ba mô hình ma sát: a). Độ dịch chuyển của pít-tông x, b). Áp suất p1, c). Lực ma sát Fr (M = 0.5 kg, u1 = 2.875 VDC, u2=2.19 VDC)
tông được mô phỏng bằng mô hình LuGre ít hơn so với mô hình RLuGre. Mô hình SS không thể mô phỏng được chuyển động “dính-trượt” của pít-tông; mô hình SS chỉ có thể tạo ra các đường cong liên tục về vị trí pít-tông và áp suất. Ngoài ra, nhiều dao động được quan sát thấy trong đặc tính lực ma sát khi mô phỏng bằng mô hình SS như trong Hình 3.19c. Những hạn chế như vậy của mô hình SS có thể là do thiếu đặc tính ma sát dính kết hợp trong mô hình. Những kết quả này thu được trong Hình 3.19 chứng tỏ khả năng mô phỏng tốt hơn của mô hình RLuGre so với mô hình LuGre và mô hình SS khi pít-tông được hoạt động ở dải vận tốc thấp.
Hình 3.20 so sánh các đặc điểm đo được về vị trí pít-tông, áp suất p1 và p2 trong khoang xy lanh, lực ma sát với các kết quả mô phỏng khi sử dụng ba mô hình ma sát ở các điều kiện hoạt động sau của tín hiệu điều khiển van: u1 = 2.5 + 0.5sin(2pft) (VDC) và u2 = 2.5 – 0.4sin(2pft) (VDC). Tần số của tín hiệu điều khiển van là 0.2 Hz và tải khối lượng là 0.5 kg. Kết quả so sánh cho thấy cả mô hình RLuGre và mô hình LuGre đều cho kết quả mô phỏng giống nhau và có thể mô phỏng các đặc tính đo được với độ chính xác tương đối tốt. Cần lưu ý rằng trong mô hình RLuGre, động lực màng bôi trơn được thêm vào mô hình LuGre để mô phỏng sự giảm lực ma sát tối đa quan sát được sau một chu kỳ thay đổi vận tốc trong xy lanh thủy lực. Tuy nhiên, sự giảm lực ma sát tối đa này không quan sát được bằng thực nghiệm đối với xy lanh khí nén như trong Hình 3.18d và Hình 3.20d. Do đó, tính hữu ích của mô hình RLuGre so với mô hình LuGre không thể được nhận ra đối với xy lanh khí nén khi pít-tông hoạt động ở chế độ trượt và trong các điều kiện vận tốc khác nhau với sự đảo chiều. Đối với các kết quả mô phỏng của mô hình SS, có thể nhận ra rằng mô hình SS cũng có thể mô phỏng tốt vị trí của pít-tông (Hình 3.20a). Tuy nhiên, áp suất và lực ma sát khi mô phỏng bằng mô hình SS nhỏ hơn nhiều so với áp suất đo được. Ngoài ra, mô hình SS gây ra nhiều dao động tại khoảng dừng của pít-tông trong đặc tính lực ma sát như trong hình 3.21d.
Hình 3.21 trình bày sự so sánh giữa các đặc tính đo được của pít-tông và các đặc tính mô phỏng theo ba mô hình ma sát khi tín hiệu điện áp điều khiển hai van tỉ lệ được thay đổi với dạng sóng hình sin có tần số f = 1 Hz. Nó cho thấy rằng các kết quả mô phỏng tương tự như thu được trong Hình 3.20 cũng có thể đạt được bằng ba mô hình ma sát trong Hình 3.21. Do đó, kết quả mô phỏng thu được từ Hình 3.19 đến 3.21 xác minh rằng mô hình RLuGre là tốt nhất cho xy lanh khí nén trong ba mô hình ma sát được xem xét trong nghiên cứu này.
Hình 3.20. So sánh giữa các kết quả đo được và tính toán về độ dịch chuyển của pít-tông, áp suất, lực ma sát và các kết quả tương ứng được mô phỏng với ba mô hình ma sát: a). Độ dịch chuyển của pít-tông x, b). Áp suất p1, c). Áp suất p2, d). Lực ma sát Fr (M = 0.5 kg, u1 = 2.5 + 0.5sin(2pft) (VDC), u2 = 2.5 – 0.4sin(2pft) (VDC), f = 0.2 Hz.
Hình 3.21. So sánh giữa các kết quả đo được và tính toán về độ dịch chuyển của pít-tông, áp suất, lực ma sát và các kết quả tương ứng được mô phỏng với ba mô hình ma sát: a). Độ dịch chuyển của pít-tông x, b). Áp suất p1, c). Áp suất p2, d). Lực ma sát Fr (M = 0.5 kg, u1 = 2.5 + 0.5sin(2pft) (VDC), u2 = 2.5 – 0.4sin(2pft) (VDC), f = 1 Hz.
3.5. Kết luận Chương 3
Chương 3 tập trung nghiên cứu ảnh hưởng của ba mô hình ma sát (mô hình ma trạng thái ổn định, mô hình ma sát LuGre, mô hình ma sát LuGre cải tiến) trong mô phỏng động lực học xy lanh khí nén. Chương 3 đã thực hiện được các vấn đề sau:
Xây dựng một hệ thống TĐKN điều khiển tỉ lệ thực nghiệm để đo đạc các đặc tính động lực học của xy lanh. Các đặc tính đo đạc được sử dụng để đánh giá ảnh hưởng của các mô hình ma sát đến khả năng mô phỏng đặc tính hệ thống TĐKN điều khiển tỉ lệ;
Xây dựng mô hình toán học chung của hệ thống TĐKN điều khiển tỉ lệ;
Xây dựng chương trình mô phỏng hệ thống TĐKN điều khiển tỉ lệ bằng phần mềm MATLAB/Simulink;
Tiến hành mô phỏng, so sánh kết quả mô phỏng với kết quả thực nghiệm dưới các điều kiện hoạt động khác nhau của vận tốc xy lanh, và đánh giá ảnh hưởng của từng mô hình ma sát.
Nghiên cứu trong chương 3 đạt được các kết quả sau:
Hiểu rõ được các đặc tính động lực học của hệ thống TĐKN điều khiển tỉ lệ;
Xây dựng thành công một chương trình mô phỏng đối với hệ thống TĐKN bằng phần mềm MATLAB/Simulink;
Kết quả mô phỏng chỉ ra rằng:
Mô hình ma sát trạng thái ổn định không thể đoán được đặc tính chuyển động dính trượt cũng như gây ra hiện tượng nhiễu trong các đặc tính vận tốc và đặc tính ma sát.
Mô hình LuGre có thể mô phỏng một phần chuyển động dính-trượt của pít-tông tại điều kiện vận tốc thấp; 
Mô hình ma sát LuGre cải tiến có thể mô phỏng chính xác các đặc tính hoạt động của xy lanh khí nén;
Mô hình ma sát LuGre cải tiến là mô hình ma sát phù hợp nhất để mô phỏng đặc tính động lực học xy lanh khí nén trong số ba mô hình ma sát được khảo sát.
CHƯƠNG 4
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG MÔ HÌNH MA SÁT TRONG ĐIỀU KHIỂN VỊ TRÍ PÍT-TÔNG XY LANH KHÍ NÉN
Chương này trình bày nghiên cứu thiết kế một bộ điều khiển mới với bù ma sát để điều khiển vị trí pít-tông xy lanh khí nén. Các nội dung chính sẽ thực hiện trong Chương này bao gồm: 
Nghiên cứu lựa chọn phương pháp điều khiển phù hợp và tiến hành xây dựng bộ điều khiển;
Khảo sát tính ổn định của bộ điều khiển đề xuất;
 Xây dựng chương trình mô phỏng bằng phần mềm MATLAB/SIMULINK và tiến hành mô phỏng đánh giá bộ điều khiển;
Xây dựng hệ thống thực nghiệm và đánh giá thực nghiệm bộ điều khiển.
4.1. Thiết kế bộ điều khiển xy lanh khí nén với bù ma sát
4.1.1. Xây dựng mô hình toán học của hệ thống TĐKN theo tín hiệu điều khiển
Để thuận tiện cho việc thiết kế bộ điều khiển, mô hình toán học của hệ thống TĐKN được biến đổi là hàm của tín hiệu điều khiển u. Từ đặc tính của van trên Hình 3.4 và 3.5, Chương 3, các tín hiệu điều khiển van u1 và u2 được tính từ tín hiệu điều khiển u như sau:
	(4.1)
Với u > 0, khí nén được cấp vào khoang 1 và xả từ khoang 2 của xy lanh (hành trình thuận của pít-tông). Ngược lại với u < 0, khí nén được cấp vào khoang 2 và xả từ khoang 1 của xy lanh (hành trình nghịch của pít-tông). Với u = 0, hai van khí được đóng và khí không được cấp vào hay xả ra từ buồn của xy lanh (trường hợp dừng của xy lanh).
Đặt và , phương trình (3.54) có dạng:
	 (4.2)
Lấy vi phân x3 theo thời gian và kết hợp với (3.52) và (3.53), thu được:
	(4.3)
Trong đó: 
 là véc tơ trạng thái và
	(4.4)
	 (4.5)
Các phương trình (4.3) và (4.5) cho thấy quan hệ phi tuyến giữa tín hiệu điều khiển u và vị trí của pít-tông của xy lanh khí nén (tín hiệu đầu ra) x1.
4.1.2. Lựa chọn phương pháp điều khiển 
Mục tiêu của bộ điều khiển ở đây là điều khiển vị trí pít-tông x1 bám theo vị trí mong muốn x1d với độ chính xác cao khi xét đến ảnh hưởng các đặc tính phi tuyến của hệ thống và ảnh hưởng của lực ma sát. Trong [65], Tsai và Huang đã áp dụng bộ điều khiển trượt đa mặt trượt (bộ điều khiển MSSC) để giải quyết các đặc tính phi tuyến và các thông số bất định của hệ thống khí nén. Bộ điều khiển này cho độ chính xác điều khiển vị trí tốt nhất trong các phương pháp điều khiển đã đề xuất đến nay, với sai số vị trí tương đối thấp nhất đến 4%. Tuy nhiên, trong phương pháp điều khiển phi tuyến này, lực ma sát chỉ được coi như là một thông số bất định và được giới hạn. Trong công trình nghiên cứu [17], Armstrong-Helouvry và các đồng tác giả khẳng định rằng một bộ điều khiển kết hợp với bù ma sát có xu hướng cải thiện đáng kể được chất lượng điều khiển của hệ thống điều khiển. Vì vậy, trong nghiên cứu này, phát triển bộ điều khiển trượt đa mặt trượt (bộ điều khiển MSSC) kết hợp với bộ bù ma sát. 
Như được trình bày trong Chương 2, mô hình ma sát trạng thái ổn định là đơn giản nhất với ít thông số nhất. Tuy nhiên, mô hình này không có khả năng mô phỏng được các đặc tính ma sát động của xy lanh thủy khí và cũng như được chứng minh sau đó ở Chương 3 rằng mô hình này không phù hợp để mô phỏng các đặc tính hoạt động của hệ thống TĐKN. Tiếp đến, đối với mô hình LuGre cải tiến, mô