Luận án Nghiên cứu xác định một số thông số tối ưu của cưa vòng đứng trong dây chuyền xẻ gỗ tự động

đổi một 
lượng rất nhỏ so với các thành phần khác trong (2.37). Vì vậy có thể xem rằng sự thay 
đổi của S0 có ảnh hưởng không đáng kể đến chi phí năng lượng trong quá trình xẻ. 
 Cụ thể với cưa vòng đã thiết kế để xẻ gỗ Tần bì cần có S0 = 1068,27 (N) thì 
MT2 = 3,01 (Nm), MT3 = 8,33 (Nm) và MT2+ MT3 = 11,34 (Nm); (MT2+ MT3)/Mc = 
0,0128. 
 Nếu lấy S0 = 4350 (N) thì MT2=12,74(Nm), MT3=24,08(Nm) và MT2+ MT3= 
41,24 (Nm); (MT2+ MT3)/Mc = 0,0416. 
So sánh tỷ số quan hệ giữa mô men ma sát và mô men cắt trên trục II khi tăng 
S0 lên hai lần cũng có thay đổi, nhưng không quá 5%, nghĩa là ảnh hưởng rất nhỏ so 
với Mcắt. 
62 
2.9. Rung động của lưỡi cưa theo phương ngang 
2.9.1. Lực kích động gây rung ngang của lưỡi cưa 
Nghiên cứu về rung động của lưỡi cưa theo phương ngang trong quá trình xẻ 
gỗ đã có số tác giả như: Darrell C Wong, -Đại học British Columbia,1996 [36] , Lan 
Lengoc, 1990 [37]; và Ra Cleave -Đại học Canterbury, 2001[44]. Theo các tác giả 
nêu trên thì nguyên nhân chính gây rung là do những nguốn kích động sau: 
- Do lệch tâm của các bánh đà nên phát sinh lực quán tính ly tâm, tác dụng 
lên phần lưỡi cưa tiếp súc với banh đà, làm lưỡi cưa bị kéo căng thêm, do đó sức căng 
S0 thay đổi theo chu kỳ quay của bánh đà; 
 - Trong quá trình căt lực cản cắt Pc lên mỗi răng cưa cũng không đồng đều 
khi nó di chuyển suốt chiều cao mạch xẻ H, do đó sức căng S0 của lưỡi cưa biến 
động. Khi sức căng S0 thay đổi thì tâm của tiết diện ngang bất kỳ của lưỡi cưa cũng 
sẽ dịch chuyển theo phương ngag so với vị trí ban đầu, hay là có rung động ngang; 
- Lưỡi cưa có các răng thường được bẻ cong về hai phía hoặc bóp me, để chiều 
dài mũi căt lớn hơn bề dày lưỡi cưa nên lực phân bố theo chiều dài mũi cắt là không 
đều (phần gần tâm gỗ thường có lực cản cắt lớn hơn). Dạng phân bố của lực cản cắt 
có thể coi là một tam giác, hoặc parabol, tâm lực cản cắt đặt lệch so với tâm hình học 
của lưỡi cắt một lượng là e (e = B/3, với B – chiều dài cạnh cắt chính). Lực cắt Pc gây 
ra mô men đối với trục x-x (hình 2.13b) là Mx(Pc ) = e.Pc và làm cho bản cưa bị xoắn 
một góc θ, cạnh cắt chính của răng cưa cũng bi xoay đi một góc θ. Do đó đoạn lưỡi 
cưa A1A2 (trong khoảng ăn gỗ) bị xoắn với phương trình: 
𝐽𝑧�̈� = 𝑀𝑥(𝑃𝑐) = 𝑒𝑃𝑐 ≠ 0 (2.62) 
 a) b) c) 
d) 
63 
Hình 2. 13: Lực tác dụng lên mũi cắt
Do Do cạnh cắt chính của răng cưa bị xoay đi một góc θ nên thành phần lực 
cắt trong mặt phẳng nằm ngang sẽ có hai thành phần Pxvà Py (hình 2.13f), trong đó 
Py bằng lực đẩy gỗ vào lưỡi cưa, còn Px là lực gây ra dịch chuyển ngang của lưỡi cưa. 
Nếu gọi lực cản cắt của gỗ là Pc thì theo hình 2.13 f và g các thành phần Px và Py sẽ 
bằng: 
yxzxyzc PPPPPP
Trong đó lực cắt Pc cùng phương, ngược chiều với vận tôc cắt vc lập với 
phương z một góc α, có tgα = uc/v (với uc - vận tốc đẩy, v- vận tốc cắt). 
Từ hình 2.13 g, ta có: Pz = Pc cosα; Px = Pc sinα.sinθ; Py = Pc sinα. cosθ. 
Thành phần Px này làm đoạn A1A2 bị rung theo phương ngang vì nó có hai gối 
tựa và chịu lực ngang ở giữa nhịp như hình 2.13e. 
2.9.2. Mô hình rung động theo phương ngang của lưỡi cưa vòng đứng 
Rung động ngang và xoắn của lưỡi cưa trong nhánh cắt gỗ phát sinh do thành 
phần lực cắt Px (hình 2.13). Dao động này đã được một số chuyên gia nghiên cứu và 
khẳng định là nó không chỉ ảnh hưởng đến độ bền, tuổi thọ của cưa, mà còn trực tiếp 
làm giảm chất lượng mạch xẻ, như gây ra mấp mô bề mặt ván và sai số chiều dày sản 
phẩm xẻ. Do đó nghiên cứu rung động ngang trở lên rất cần thiết. 
64 
Mô hình rung động ngang được xây dựng trên cơ sở của các lực tác dụng (hình 
2.13.e) ta có mô hình tương đương như hình 2. 14a) 
Hình 2. 14: Sơ đồ dịch chuyển ngang của nhánh cắt lưỡi cưa vòng đứng
Trong đó: S0- Sức căng ban đầu của lưỡi cưa; Px - Thành phần lực cắt theo 
phương ngang (0x); v – Vận tốc chuyển động của lưỡi cưa; uc – Vận tốc đẩy gỗ theo 
phương (0y); L – Khoảng cách giữa các trục bánh đà; Gọi φ và φ+Δφ là góc lập bởi 
trục z với tiếp tuyến của bản cưa theo chiều tăng của z; Q, M – Lực cắt và mô men 
uốn nội lực trên mặt cắt ngang của phân tố dz. 
Đây là mô hình rung động của vật biến dạng di chuyển theo trục z với vận tốc 
v và chịu lực ngang Px. Nó khác với rung động của dầm đàn hồi trên hai gối tựa (dầm 
Timoshenko và Euler- Bernoulli) [51]. Rung động này lần đầu tiên được khởi sướng 
bởi Rudolt Skutch [1897] và đồng nghiệp, khi nghiên cứu về rung động của băng từ 
và giấy. Sau đó một số tác giả nghiên cứu về di chuyển của dây đai Chubachi [1957], 
về rung động của xích, của ống dẫn chứa chất lỏng, rung động ngang của dây cáp và 
sợi . Các nghiên cứu trên đưa ra những mô hình tương tự và điều kiện biên giống 
nhau, chỉ khác nhau là một số giả thiết để lập ra các phương trình riêng có thể rễ ràng 
khảo sát [36],[42]. 
a) Mô hình hóa ngoại lực tác dụng b) Thành phần nội lực 
65 
 Mô hình rung động ngang của cưa vòng đứng được lập có sơ đồ như hình 2.14 
với các giả thiết sau: 
- Tiếp xúc giữa lưỡi cưa với các bánh đà là liên tục, không tách rời; khoảng 
cách giữa các trục bánh đà không đổi, các gối tựa là cố định, không biến dạng. 
- Rung động ngang của lưỡi cưa phát sinh là do sự biến động của thành phần 
nằm ngang lực cắt Px và biến động của lực căng lưỡi cưa S; không xét đến ảnh hưởng 
của các yếu tố khác như sự biến động của nhiệt độ, những tác động ngẫu nhiên của 
lực ngoài . 
- Biến động của lực cắt Px phát sinh do tính không đồng nhất của gỗ; tại những 
vị trí khác nhau trên cây gỗ lực cản cắt khác nhau, nên thành phần Px cũng biến động, 
là hàm không chỉ theo thời gian cắt mà cả theo tọa độ z với cường độ px(z, t). 
- Biến động của lực căng lưỡi cưa S phát sinh do sự quay không đều của bánh 
đà, từ độ lệch tâm của các puly, từ quá trình khởi động hoặc chuyển tiếp giữa giai 
đoạn xẻ và không xẻ. Trong giai đoạn xẻ thì S cũng thay đổi theo lực cắt, nên nó cũng 
là hàm của thời gian và tọa độ z: S (z, t). 
- Lưỡi cưa vòng đồng chất có khối lượng của một đơn vị dài là γ, nên dm = γdz. 
Các thông số về độ mở cưa, các góc của răng cưa và bước răng là đồng đều.
- Không xét đến rung động theo phương 0y (phương chuyển động của xe goòng). 
Vậy để lập phương trình chuyển động của lưỡi cưa trong quá trình làm việc ta 
cần sử dụng nguyên lý Hamilton, đây là nguyên lý phù hợp nhất với lưỡi cưa chuyển 
động. 
Theo nguyên lý này ta có biểu thức (2.63) như sau: 
∫ (𝛿𝑇 + 𝛿𝑈)𝑑𝑡 = 𝛿
𝑡1
𝑡0
∫ (𝑇 + 𝑈)𝑑𝑡
𝑡1
𝑡0
= 0 (2.63) 
Trong đó: T, U – Động năng và hàm công của các lực tác dụng; δ -Biến phân 
của hàm động năng và hàm lực; Biểu thức ∫ (𝑇 + 𝑈)𝑑𝑡
𝑡1
𝑡0
 gọi là hàm tác dụng 
Hamilton –Ostrogradski. 
66 
Phương trình (2.63) còn có thể biến đổi theo các tọa độ suy rộng qs (s= 
1,,k) như sau: 
∫ ∑ ( 
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝑇
𝜕𝑞�̇�
) −𝑘𝑠=1
𝑡1
𝑡0
𝜕𝑇
𝜕𝑞𝑠
− 𝑄𝑠)𝛿𝑞𝑠𝑑𝑡 = 0 (2.64) 
Trong phương trình (2.64) do các biến phân δqs là độc lập ở mọi thời điểm 
trong khoảng (t0 , t1), tương ứng với phần tử ν bất kỳ di chuyển từ vị trí A2 đến A1 
cho nên tất cả các hệ số của δqs phải bằng không trên quỹ đạo thực, vậy ta có: 
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝑇
𝜕𝑞�̇�
) −
𝜕𝑇
𝜕𝑞𝑠
− 𝑄𝑠 = 0 , s = (1,..k) (2.65) 
 Phương trình (2.65) tương ứng với phương trình Lagranger loại 2 đối với một 
phần tử bất kỳ (ν = 1,, n) trên đoạn (A1A2). Đó là phương trình chuyển động của 
vật di chuyển trên đoạn giữa hai gối tựa (A1A2). 
2.9.3. Thiết lập phương trình rung động của lưỡi cưa vòng trong quá trình xẻ 
Để lập phương trình vi phân rung động theo phương ngang của lưỡi cưa vòng, 
ta xét một phân tố chiều dài dz của lưỡi cưa và chịu các lực như hình 2.15,b) và áp 
dụng nguyên lý Hamilton, ta có: 
- Lực tác dụng: 
+ Trọng lượng đoạn lưỡi cưa G = γ.g.dz (N); 
+ Lực căng ở hai đầu S và (𝑆 + 𝛥𝑆 )(N); 
+ Mô men uốn M và M+ΔM (N.m); 
+ Lực cắt Q và Q +ΔQ (N); 
+ Lực cản cắt từ gỗ Px (N). 
Do các chuyển vị chỉ nằm trong mặt phẳng (x, z) nên chọn hệ tọa độ suy rộng 
là q1 = x ; q2 = z nên có: 
- Động năng của hệ: 
𝑇 =
1
2
𝑚(�̇�2 + �̇�2) → {
𝜕𝑇
𝜕�̇�1
=
𝜕𝑇
𝜕�̇�
= 𝑚�̇� →
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕�̇�1
= 𝑚�̈�
𝜕𝑇
𝜕�̇�2
=
𝜕𝑇
𝜕�̇�
= 𝑚�̇� →
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕�̇�2
= 𝑚�̈�
̇
 (2.66) 
 Chiếu các thành phần lực lên các trục x và trục z ta được: 
- Lực suy rộng 
67 
1q x
Q Qcos S.sin (Q Q)cos( ) (S S )sin( ) P (2.67) 
 q2Q Q sin S.cos (Q Q )sin( ) ( S S )cos( ) G (2.68) 
Chú ý rằng: xtan
z
  

 và do nhỏ nên: sin , cos 1 , sin 
và tan nên x
z
  

 do đó các lực suy rộng được xấp xỉ bằng: 
1q x
Q S. S. Q S. P 
2q
Q Q. Q. S Q. G (2.69) 
Với các lượng gia số ΔS, ΔQ, Δφ được biểu diễn dưới dạng vi phân là: 
2
x2
QS xS dz , Q dz , dz dz , m dz , P p( z,t )dz
z z z z
 
   
   
 (2.70) 
 (γ- Khối lượng một đơn vị chiều dài lưỡi cưa; p(z,t)- Cường độ tải trọng phân 
bố trên đoạn dz). 
Thay các biểu thức (2.66)  (2.70) vào (2.65) ta được: 
2 2 2
2 2 2
Qx x S x xdz S dz dz dz dz p( z,t )dz
z z zt z z

           
 (2.71) 
2 2 2
2 2 2
Qz x x x Sdz Q dz dz dz dz gdz
z z zt z z
 
           
 (2.72) 
Bỏ qua các số hạng nhỏ bậc cao và do dz là tùy ý nên dẫn đến: 
2 2
2 2
Qx x S xS p( z,t )
z z zt z

    
   
 (2.73) 
2 2
2 2
Qz x x SQ g
z z zt z
 
    
   
 (2.74) 
Mặt khác theo quan hệ lực cắt và mô men uốn ta có : 
 MQ
z
 

 và 
2
2
xM EI.
z
 

 (2.75) 
Ở đây: I - Mô men quán tính thiết diện lưỡi cưa đối với trục y,có 
3
b.hI
12
 , trong đó 
b , h – Bề rộng và bề dầy của lưỡi cưa. 
Thế (2.75) vào (2.73) và (2.74) ta được hệ phương trình: 
68 
2 4 2
2 4 2
S( z,t )x x x xEI S( z,t ) p( z,t )
z zt z z

    
    
 (2.76) 
42 3 2
2 3 2 4
y yz x x SEI. . EI. . g
z zt z z z
 
     
    
 (2.77) 
 Vì chỉ nghiên cứu rung động ngang của lưỡi cưa theo phương x , nên ở đây ta 
chỉ sử dụng phương trình (2.76). 
 Như vậy, với các thông số của lưỡi cưa: Bản rộng b(m), chiều dầy h(m), mô 
đun đàn hồi E (N/m2), khối lượng riêng theo chiều dài của cưa γ (kg/m), chịu tác dụng 
của lực kéo dọc trục S(z,t)(N), chịu lực uốn ngang có cường độ theo chiều dài lưỡi 
cưa p(z,t) – (N/m), ta có được phương trình vi phân rung động ngang (uốn ngang) 
của lưỡi cưa: 
2 4 2
2 4 2
S( z,t )x x x xEI S( z,t ) p( z,t )
z zt z z

    
   
 (2.78) 
trong đó các đại lượng S(z,t) và px (z,t) được xác định từ một số giả định sau: 
 – Theo giả thiết đã nêu lực dọc trục thay đổi do sự quay không đều của các 
bánh đà nên có thể được xác định bằng biểu thức theo tài liệu số [35]: 
 S(z, t) = S0+S1(t) = S0+S1.cosωt (2.79) 
Với S0 là thành phần không đổi, chính là sức căng cưa ban đầu có giá trị đã 
được xác định; S1 là giá trị trung bình của thành phần biến động của lực căng; ω là 
tần số biến đổi của lực căng, bằng tần số quay của bánh đà. 
- Ảnh hưởng của nhiễu, từ sự không đồng nhất về cơ tính của gỗ xẻ đến lực 
ngang Px có thể xem là chỉ phụ thuộc thời gian xẻ. Vì xẻ dọc cây gỗ nên lực cản cắt 
ngang thay đổi theo chiều dài khúc gỗ xẻ, tức là theo thời gian xẻ, theo tài liệu số [36] 
thì Px có dạng sau: 
 Px (z, t)= pox (z). sin(Ωt) (2.80) 
 Với pox( z ), Ω – Biên độ trung bình và tần số nhiễu bên ngoài tại tọa độ z, xác 
định theo kết quả thực nghiệm. 
Từ hai giả thiết đó ta có phương trình rung động trong nửa chu kỳ xẻ là: 
2 4 2
0 1 0x2 4 2
x x xEI ( S S cos t ) p ( z ).sin t
t z z
     
  
 (2.81) 
69 
Nếu bỏ qua ngoại lực Px(z,t) ta có phương trình rung động uốn tự do của lưỡi 
cưa chịu tác dụng của sức căng, hay ta được phương trình rung động trong nửa chu 
kỳ không xẻ. 
 
2 4 2
0 12 4 2
x x xEI S S cos t 0
t z z
    
  
 (2.82) 
Phương trình (2.81) là phương trình vi phân cấp 4 không thuần nhất, phức tạp 
và nghiệm phụ thuộc vào các biến (z, t, S0, S1, p0x). Để giải phương trình này có thể 
tìm theo phương pháp phân ly biến số (Becnoulli). 
2.9.4. Khảo sát và kiểm tra ổn định rung ngang của lưỡi cưa vòng 
a) Khảo sát biên độ rung xmax 
 Nghiệm của phương trình (2.81), hoặc (2.82) với điều kiện biên tại các gối là 
độ võng và mô men uốn của lưỡi cưa bằng không (tương ứng với dầm có hai gối 
đỡ): 
(0, ) ( , ) 0
(0, ) ( , ) 0
x t x L t
x t x L t
 (2.83) 
Để tìm nghiệm của phương trình (2.81), theo điều kiện (2.83) thích hợp nhất 
là áp dụng phương pháp phân ly biến số (Becnoulli), nghiệm x(z, t) có dạng: 
𝑥(𝑧, 𝑡) = ∑ 𝑥𝑘(𝑧)𝑇𝑘(𝑡)
𝑛
𝑘=1 (2.84) 
Ở đây, xk (z) – Các hàm theo tọa độ z thỏa mãn điều kiện biên (2.83), từ đó thấy 
rằng hàm x(z) có dạng {𝑥𝑘(𝑧)} = {𝑠𝑖𝑛
𝑘𝜋
𝐿
𝑧}. 
Một nghiệm đơn của phương trình là: 
𝑥(𝑧, 𝑡) = sin (
𝑘𝜋
𝐿
𝑧). 𝑇(𝑡), 𝑘 = 1,2. (2.85) 
Với T(t) – Hàm theo thời gian (t) được xác định từ điều kiện ban đầu. Tại thời điểm 
t = 0 sẽ có: x(z,0) = xo - Độ võng tĩnh của lưỡi cưa khi chịu lực ngang Py (z,0); 
 �̇�(𝑧, 0) = 0 - Vận tốc ban đầu . (2.86) 
Thay biểu thức nghiệm (2.85)vào (2.81) ta nhận được phương trình vi phân 
xác định T(t): 
𝛾�̈�𝑘(𝑡) + 𝐸𝐼 (
𝑘𝜋
𝐿
)
4
𝑇𝑘(𝑡) − [𝑆0 + 𝑆1𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡] (
𝑘𝜋
𝐿
)
2
𝑇𝑘(𝑡) = 𝑃0𝑥𝑠𝑖𝑛𝛺𝑡. 
70 
Hay: 
�̈�𝑘(𝑡) + [
𝐸𝐼
𝛾
(
𝑘𝜋
𝐿
)
4
−
[𝑆0+𝑆1𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡]
𝛾
(
𝑘𝜋
𝐿
)
2
] 𝑇𝑘(𝑡) =
𝑃0𝑥
𝛾
𝑠𝑖𝑛𝛺𝑡., (k = 1,2, . . . ). (2.87) 
Phương trình thuần nhất tương ứng: 
�̈�𝑘(𝑡) + (
𝑘𝜋
𝑙
)
2
[
𝐸𝐼
𝛾
(
𝑘𝜋
𝑙
)
2
−
[𝑆0+𝑆1𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡]
𝛾
] 𝑇𝑘(𝑡) = 0. (2.88) 
 Theo nhận xét của một số chuyên gia Lidiya Dzyuba1, Olha Khytriak2 [49] thì 
ảnh hưởng của sự biến động sức căng S1 đến biên dộ rung ngang là rất nhỏ, nên nếu 
bỏ qua thành phần S1cosωt trong các phương trình trên ta sẽ có: 
�̈�𝑘(𝑡) + [
𝐸𝐼
𝛾
(
𝑘𝜋
𝐿
)
4
−
𝑆0
𝛾
(
𝑘𝜋
𝐿
)
2
] 𝑇𝑘(𝑡) =
𝑃0𝑥
𝛾
𝑠𝑖𝑛𝛺𝑡. (2.89) 
 và �̈�𝑘(𝑡) + (
𝑘𝜋
𝐿
)
2
[
𝐸𝐼
𝛾
(
𝑘𝜋
𝐿
)
2
−
𝑆0
𝛾
] 𝑇𝑘(𝑡) = 0. (2.90) 
 Hay: �̈�(𝑡) + 𝑞2𝑇(𝑡) = 0 𝑣ớ𝑖 𝑞2 = (
𝑘𝜋
𝐿
)
2
[
𝐸𝐼
𝛾
(
𝑘𝜋
𝐿
)
2
−
𝑆0
𝛾
] (2.91) 
Với q - Tần số dao động tự do. 
Nghiệm của phương trìng (2.89) có dạng: 
𝑇𝑘(𝑡) = 𝐶1𝑐𝑜𝑠𝑞𝑡 + 𝐶2𝑠𝑖𝑛𝑞𝑡 
Hay: 𝑇𝑘(𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑞𝑡 + 𝜑0) (2.92) 
Trong đó: 𝐴 = √𝐶1
2 + 𝐶2
2; 𝜑0 = 𝑎𝑟𝑡𝑔
𝐶1
𝐶2
; 𝛽 = 𝑞. 
Với C1, C2 xác định theo điều kiện đầu (2.89), khi t=0, 
{
𝑥(𝑧, 0) = 𝑥0 = 𝐴 − Độ 𝑣õ𝑛𝑔 𝑡ĩ𝑛ℎ 𝑡ạ𝑖 đ𝑖ể𝑚 đặ𝑡 𝑙ự𝑐
�̇�(𝑧, 0) = 0 − 𝑉ậ𝑛 𝑡ố𝑐 𝑑ị𝑐ℎ 𝑐ℎ𝑢𝑦ể𝑛 𝑏𝑎𝑛 đầ𝑢.
 (2.93) 
Từ biểu thức nghiệm (2.92) ta thấy Tk(t) không phụ thuộc chỉ số k, nên: 
�̇�(0) = 𝐴. 𝑞. 𝑐𝑜𝑠𝜑0 = 0 → 𝜑0 =
𝜋
2⁄ 
𝑇(0) = 𝐴 𝑠𝑖𝑛𝜑0 = 𝐴
𝑇(0) = 𝐶1
} → 𝐶1 = 𝐴; 𝐶2 = 0 
Vậy: 𝑇𝑘(𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 (𝑞. 𝑡 +
𝜋
2
) = 𝐴(𝑧) cos (𝑞𝑡) (2.94) 
 Một nghiệm riêng của (2.89) được tìm ở dạng: 
 �̅� (𝑡) = 𝐵1𝑐𝑜𝑠𝛺𝑡 + 𝐵2𝑠𝑖𝑛𝛺𝑡 (2.95) 
71 
 Đưa (2.95) vào (2.89) và hằng đẳng các hệ số của sinΩt và cosΩt ta nhận được: 
 𝐵1 = 0 ; 𝐵2 =
𝑃𝑜𝑥
𝛾(𝑞2−𝛺2)
 ; �̅� (𝑡) =
𝑃𝑜𝑥
𝛾(𝑞2−𝛺2)
𝑠𝑖𝑛𝛺𝑡 (2.96) 
Từ đó nghiệm (2.85) có dạng: 
 𝑥(𝑧, 𝑡) = sin (
𝑘𝜋
𝐿
𝑧) . [𝐴 cos(𝑞𝑡) +
𝑃𝑜𝑥
𝛾(𝑞2−𝛺2)
𝑠𝑖𝑛𝛺𝑡] , 𝑘 = 1,2,  . 𝑛 ; a) 
 Nghiệm tổng quát (2.85) sẽ là: 
 𝑥(𝑧, 𝑡) = ∑ sin (
𝑘𝜋
𝐿
𝑧) . [𝐴 cos(𝑞𝑡) +
𝑃𝑜𝑥
𝛾(𝑞2−𝛺2)
𝑠𝑖𝑛𝛺𝑡]𝑛𝑘=1 ; b) 
Xét phần lưỡi cưa bị rung ngang trong khoảng cách giữa hai bánh đà, tương 
ứng với dầm chỉ có một nhịp, nên biểu thức b) có chỉ số n = 1. Do đó: 
𝑥(𝑧, 𝑡) = sin (
𝜋
𝐿
𝑧) . [𝐴. cos(𝑞𝑡) +
𝑃𝑜𝑥
𝛾(𝑞2−𝛺2)
𝑠𝑖𝑛𝛺𝑡] ; (2.97) 
Với A là độ võng tĩnh tại điểm đặt lực, được xác định từ sơ đồ tính độ võng 
của dầm tương tự như hình 2.15. 
b) Ảnh hưởng của lực kích động Px đến độ võng tĩnh 
 Trên hình 2.15 nếu lấy gốc tọa độ tại điểm A2 (điểm tiếp xúc với bánh đà 
trên), thì mô men uốn trên phần phải và phần trái là các biểu thức: 
 𝑀1(𝑧) = 𝑃𝑥
𝑏
𝐿
𝑧 ; 𝑀2(𝑧) = 𝑃𝑥
𝑏
𝐿
𝑧 − 𝑃𝑥(𝑧 − 𝑎) 
Sau khi tích phân hai lần ta nhận được: 
𝑥1(𝑧) =
𝑃𝑥
𝐸𝐽
(
𝑏
𝐿
𝑧3
6
+ 𝐶1𝑧 + 𝐶2) ; 𝑥2(𝑧) =
𝑃𝑥
𝐸𝐽
(
𝑏
𝐿
𝑧3
6
−
𝑧3
6
+ 𝑎
𝑧2
2
𝐶3𝑧 + 𝐶4) . 
Trong đó các hằng số C1, C4 được xác định theo các liên kết và điều kiện liên tục 
khi chuyển từ phần trái sang phần phải, ta được nghiệm: 
72 
𝑥1(𝑧) =
𝑃𝑥
𝐸𝐽
[
𝑏
𝐿
𝑧3
6
+
𝑎𝑧
6𝐿
(3𝑎𝐿 − 2𝐿2 − 𝑎2)] ; 
 𝑥2(𝑧) =
𝑃𝑥
𝐸𝐽
[
𝑧3
6
(
𝑏
𝐿
− 1) +
𝑎𝑧2
2
−
𝑎𝑧
6𝐿
(2𝐿2 + 𝑎2) +
𝑧2
6
] 
(2.98) 
Tại điểm đặt lực Px thì : 𝑥1(𝑎) = 𝑥2(𝑎) =
−
𝑃𝑥𝑎
2
3𝐸𝐽
(𝐿 − 𝑎)2; Nếu lực đặt ở giữa nhịp thì: 
𝑥1 = 𝑥 𝑚𝑎𝑥 = −
𝑃𝑥𝐿
3
48𝐸𝐽
 . 
(Tọa độ điểm đặt lực có dấu âm cho thấy dầm 
bị uốn về phía ngược chiều trục x). 
Hình 2. 15: Sơ đồ tính độ võng 
tĩnh của dầm chịu uốn 
c) Xét ảnh hưởng của sức căng S0 đến độ võng tĩnh x(z,t) 
Xét đoạn A1B1 có tác dụng đồng thời của cả Px và S0 thì từ điều kiện cân bằng 
mô men uốn trên đoạn này ta có: 
𝑀1(𝑧) = 𝑃𝑥
𝑏
𝐿
𝑧 − 𝑆0𝑥1(𝑧) = 0 
Hay: 𝑥1(𝑧) =
𝑃𝑥
𝑆0
.
𝑏
𝐿
𝑧 = 𝐴(𝑧) (2.99) 
Độ võng tĩnh tại điểm đặt lực z= a ta được : 𝑥1(𝑎) =
𝑃𝑥
𝑆0
.
𝑏
𝐿
. 𝑎 = 𝐴 (2.100) 
Nếu lực tại giữa nhịp ta có độ võng lớn nhất: 
Theo (2.100) ta thấy độ võng tĩnh A không phụ thuộc vào thời gian (t), tỷ lệ 
nghịch với sức căng ban đầu S0. Vậy để giảm độ võng tĩnh cần phải giảm chiều dài 
nhịp bằng cách đặt các gối tựa trung gian. 
Thay biểu thức (2.100) vào biểu thức (2.97): 
𝑥(𝑧, 𝑡) = sin (
𝜋
𝐿
𝑧) . [
𝑃𝑥
𝑆0
.
𝑎.𝑏
𝑙
. cos(𝑞𝑡) +
𝑃𝑥
𝛾(𝑞2−𝛺2)
𝑠𝑖𝑛𝛺𝑡] (2.101) 
Theo mô hình toán học (2.101) ta thấy rằng biên độ rung ngang x(z,t) của lưỡi 
cưa phụ thuộc vào tần số dao động tự do q, tần số kích động ngang Ω, biến động của 
sức căng S0 và lực ngoài Px (Px lại quan hệ chặt chẽ với các vận tốc v và u (theo các 
biểu thức 2. 11)) theo quan hệ phức tạp, phi tuyến. Tóm lại cường độ rung ngang xmin 
phụ thuộc vào các tham số nói trên, hay nó là hàm số: x(S0, u, v, d, Kc). 
73 
Do sự xáo trộn có chu kỳ của các lực này sẽ có trạng thái q ≈ Ω, khi đó biên 
độ dao động /x/ sẽ tăng lên đáng kể. Đặc biệt khi q = Ω sẽ gây ra cộng hưởng, rất 
nguy hiểm về độ bền lưỡi cưa và chất lượng sản phẩm. Từ đó khảo sát mối quan hệ 
hàm số x(q, Ω) để tìm ra chế độ làm việc có q* và Ω* hợp lý là một nội dung cần 
thiết. Khảo sát phương trình (2.101) sử dụng phương pháp số (gần đúng) bằng phần 
mềm Matlab – Simulink. 
 Để xác định chính xác quan hệ hàm số này cần tiến hành bằng phương pháp 
định lượng theo kết quả thực nghiệm, sẽ được nghiên cứu trong chương 4. 
d) Vẽ đồ thị x(t) của biểu thức theo thời gian (t) với z=L/2. 
Để vẽ đồ thị biên độ rung ngang x(z,t), luận án dùng phần mềm Matlab khảo 
sát khi xẻ gỗ Tần bì với giá trị các thông số như sau: Chiều dài cưa L= 2000 (mmm), 
γ =1 (g/mm), sức căng ban đầu S0 = 1500 (N), mô đun đàn hồi của lưỡi cưa E = 2.105 
(N/mm2), mô men quán tính của tiết diện mặt cắt ngang lưỡi cưa I = 15,84(mm), lực 
cản cắt Pc = 950,4(N), vị trí tính toán z = 800mm, thay vào phương trình (2.101) ta 
được: 
x (L/2, t)= 0,071.[0, 745cos(0,05*t)- 4,53sin(0,6t)] 
Kết quả đồ thị hàm biên độ rung ngang x(z,t) có dạng như hình 2.16 
Hình 2. 16: Đồ thị rung ngang của lưỡi cưa theo thời gian t(s) 
Theo (2.101) ta thấy biên độ rung là tổng của hai dao động với các biên độ, 
tần số và quy luật khác nhau, nên quy luật chung là phức tạp. Ta chỉ có thể nhận biết 
và xác định được biên độ rung lớn nhất ở một số thời điểm nhất định. 
74 
e) Vẽ đồ thị biên độ rung ngang x và tần số rung (q) theo sức căng ( S0 ) 
Biên độ rung ngang lớn nhất tại z = L/2 sẽ là xmax. 
Tính tương tự với S0 thay đổi ở các mức khác ta sẽ có kết quả như biểu đồ 
tương quan S0 (xmax) như hình 2.17a và biểu đồ tương quan S0 (q) như hình 2.17b sau: 
(a) 
(b) 
 Nhận xét: Từ các số liệu và biểu đồ trong hình 2.17a ta thấy, khi tăng sức 
căng S0 thì biên độ rung xmax giảm, do đó độ mấp mô bề mặt ván sẽ giảm theo, trong 
khi đó tần số rung q lại tăng thể hiện trên hình 2.17b.