Luận án Ổn định nhiệt đàn hồi của tấm và vỏ thoải composite gia cường carbon nanotube

 (immovable). Các tham số độ cứng không thứ nguyên và của nền đàn hồi được định nghĩa như ở công thức (A4) trong phụ lục A. Hơn nữa, do thiếu các thí nghiệm về sự phụ thuộc nhiệt độ của các tính chất vật liệu khi kết cấu chịu nhiệt độ không đều, các tính toán trong phần này được thực hiện dựa trên giả thiết các tính chất vật liệu của cả nền PMMA và CNTs không phụ thuộc vào nhiệt độ (tức là các tính chất vật liệu được tính ở nhiệt độ phòng). 
Như đã thảo luận ở trên, các nghiên cứu trước đây về ổn định do nhiệt của tấm CNTRC đều chưa xét đến trường hợp nhiệt không đều, vì thế nghiên cứu so sánh trong phần này thực hiện cho một trường hợp đặc biệt của nghiên cứu hiện tại. Cụ thể, đáp ứng sau vồng của một tấm chữ nhật FG-CNTRC (,) có tất cả các cạnh tựa cố định, không có nền đàn hồi () và chịu nhiệt độ tăng đều được xem xét.
Đường cong tải nhiệt – độ võng trong miền sau vồng của tấm FG-X CNTRC với được vẽ từ biểu thức (2.73) của luận án và được so sánh trong hình 2.32 với kết quả trong nghiên cứu của Kiani [101] sử dụng phương pháp Ritz với các hàm dạng là các đa thức Chebyshev. 
[101]ư
Hình 2.32. So sánh đáp ứng sau vồng của tấm chữ nhật FG-CNTRC chịu nhiệt độ tăng đều. 
Rõ ràng là kết quả của luận án phù hợp rất tốt với kết quả của công trình [101] và điều này cho thấy độ tin cậy của cách tiếp cận giải tích mà luận án sử dụng.
Tiếp sau đây, các kết quả số cho phân tích vồng (các tải nhiệt tới hạn) và đáp ứng sau vồng (đường liên hệ nhiệt độ - độ võng) của tấm mỏng FG-CNTRC chịu hai loại tải nhiệt không đều sẽ được lần lượt trình bày dưới dạng bảng và đồ thị. Để ngắn gọn trong cách diễn đạt, nếu không có lưu ý gì thêm, các tấm được giả thiết là vuông (), hoàn hảo hình dáng (), có các cạnh tựa cố định () và không có tương tác với nền đàn hồi ().
2.2.3.1. Kết quả phân tích vồng
Các tải nhiệt tới hạn (K) và (K) của các tấm FG-CNTRC hoàn hảo hình dáng chịu các loại tải nhiệt không đều phân bố trong mặt phẳng tấm theo quy luật hàm sin và hàm tuyến tính lần lượt được trình bày trong các bảng 2.11 và 2.12. Cụ thể, các bảng 2.11 và 2.12 khảo sát các ảnh hưởng của môi trường nhiệt đều lúc đầu (), tỷ lệ thể tích tổng của CNTs, mức độ ràng buộc của các cạnh (các tham số ) và độ cứng nền đàn hồi () lên tải nhiệt tới hạn và của tấm FG-CNTRC lần lượt chịu nhiệt phân bố dạng sin và tuyến tính trong mặt phẳng tấm.
Bảng 2.11. Các tải nhiệt tới hạn (K) của tấm vuông FG-X CNTRC chịu phân bố nhiệt độ không đều theo dạng hàm sin [FG-X, , ].
(K) 
 
 
(0.4,0.4)
(0.6,0.6)
(0.8,0.8)
(1.0,1.0)
300
0.12
351.5i (387.3)ii
289.1 (318.5)
246.1 (271.2)
214.5 (236.4)

0.17
339.4 (362.7)
281.6 (301.0)
241.5 (258.1)
211.6 (226.2)

0.28
444.3 (463.4)
354.3 (369.5)
295.1 (307.8)
253.1 (264.0)
350
0.12
244.0 (279.8)
176.5 (205.9)
130.1 (155.2)
96.0 (117.9)

0.17
232.7 (256.1)
169.7 (189.1)
125.9 (142.6)
93.5 (108.0)

0.28
334.5 (353.7)
239.9 (255.2)
177.8 (190.5)
133.6 (144.6)
 i , ii 
Có thể nhận thấy rằng, tải nhiệt tới hạn giảm đi đáng kể khi các cạnh tấm bị ràng buộc chặt chẽ hơn (các giá trị cao hơn) và/hoặc môi trường nhiệt đều ban đầu () cao hơn. Như được mong đợi, nền đàn hồi làm cho khả năng kháng vồng của tấm trở nên tốt hơn. Một điều thú vị là dưới tác dụng của nhiệt truyền trong mặt phẳng tấm thì tải nhiệt tới hạn ứng với các tỷ lệ thể tích và lần lượt là thấp nhất và cao nhất. Hơn nữa, sự chênh lệch giữa các tải nhiệt tới hạn ứng với các giá trị khác nhau của trở nên nhỏ hơn khi các cạnh tấm bị ràng buộc chặt chẽ hơn, ví dụ khi các cạnh bị cố định () thì chênh lệch tải tới hạn giữa các trường hợp và là rất nhỏ.
Bảng 2.12. Các tải nhiệt tới hạn (K) của các tấm vuông CNTRC chịu tải nhiệt phân bố theo quy luật hàm tuyến tính (,).
(K)
 



UD
FG-X

UD
FG-X
300 
0.12
290.2i (333.3)ii
424.4 (467.6)

247.6 (284.3)
362.1 (398.9)

0.17
284.7 (313.4)
418.2 (447.0)

243.8 (268.4)
358.2 (382.9)

0.28
337.6 (359.2)
503.1 (524.8)

284.3 (302.4)
423.8 (442.1)
350
0.12
90.2 (133.3)
224.4 (267.6)

47.6 (84.3)
162.08(198.9)

0.17
84.7 (113.4)
218.2 (247.0)

43.8 (68.4)
158.22(182.9)

0.28
137.6 (159.2)
303.1 (324.8)

84.3 (102.4)
223.82(242.1)
i , ii 
2.2.3.2. Kết quả phân tích sau vồng 
Phần này trình bày một số kết quả cho phân tích ứng xử sau vồng của tấm mỏng FG-CNTRC chịu các tải nhiệt không đều truyền trong mặt phẳng tấm dưới dạng đồ thị. Các ảnh hưởng của ba kiểu phân bố CNTs đối xứng qua mặt giữa và tỷ lệ thể tích tổng của CNTs lên khả năng mang tải nhiệt của tấm vuông hoàn hảo () và không hoàn hảo () với các cạnh tựa cố định () ban đầu đặt ở nhiệt độ phòng (K) và chịu phân bố nhiệt dạng sin được phân tích trong các hình 2.33 và 2.34. Rõ ràng là, trong số ba kiểu phân bố CNTs đối xứng qua mặt giữa thì kiểu FG-X làm cho tấm có khả năng chịu tải nhiệt tốt nhất và kiểu FG-O có khả năng chịu tải kém hơn nhiều so với hai loại phân bố còn lại. Một nhận xét thú vị nữa là khả năng chịu tải nhiệt không đều dạng sin của tấm cao nhất khi tỷ lệ thể tích CNTs cao nhất () nhưng khả năng chịu tải nhiệt của tấm với lại cao hơn một chút so với tấm với . 
Hình 2.33. Ảnh hưởng của kiểu phân bố đối xứng CNTs lên ứng xử sau vồng của tấm CNTRC chịu tải nhiệt dạng sin.

Hình 2.34. Ảnh hưởng của tỷ lệ thể tích CNTs lên ứng xử sau vồng của tấm FG-X CNTRC chịu phân bố nhiệt dạng sin.

Hình 2.35. Ảnh hưởng của mức độ ràng buộc cạnh lên ứng xử sau vồng của tấm FG-X CNTRC chịu nhiệt độ dạng sin.

Hình 2.36. Ảnh hưởng của tỷ số và nền đàn hồi lên ứng xử sau vồng của tấm FG-CNTRC chịu nhiệt độ dạng sin.
Tiếp theo, hình 2.35 chỉ ra ảnh hưởng của mức độ ràng buộc dịch chuyển của các cạnh lên khả năng mang tải sau tới hạn của tấm FG-X CNTRC chịu phân bố nhiệt dạng sin với sự tăng nhiệt đều ban đầu K. Có thể nhận thấy rằng, khả năng mang tải của tấm giảm đi nhanh chóng khi các cạnh tấm bị ràng buộc khắt khe hơn, hơn nữa mức độ ràng buộc trên các cạnh (đặc trưng bởi tham số ) có ảnh hưởng quan trọng hơn. Ví dụ, mặc dù là tấm vuông nhưng đường tải – độ võng ứng với trường hợp thấp hơn nhiều so với đường tải – độ võng ứng với trường hợp . Ảnh hưởng của tỷ số cạnh và độ cứng nền đàn hồi lên ứng xử sau vồng của tấm FG-X CNTRC chịu nhiệt độ không đều phân bố dạng sin được đánh giá trong hình 2.36. Rõ ràng, trong khi sự tăng các tham số độ cứng nền, đặc biệt là độ cứng lớp trượt trong mô hình nền Pasternak, làm cho khả năng mang tải của tấm được tăng lên đáng kể thì việc tăng tỷ số các cạnh làm cho khả năng chịu tải nhiệt của tấm giảm đi nhanh chóng.
Hình 2.37. Ảnh hưởng của kiểu phân bố CNTs lên ứng xử sau vồng của tấm CNTRC chịu phân bố nhiệt tuyến tính.

Hình 2.38. Ảnh hưởng của nhiệt đều ban đầu lên ứng xử sau vồng của tấm FG-X CNTRC chịu phân bố nhiệt tuyến tính.
Trong phần còn lại của phân tích số, các kết quả phân tích ứng xử sau vồng, cụ thể là đáp ứng tải nhiệt – độ võng, của tấm chữ nhật CNTRC chịu nhiệt độ không đều phân bố theo hàm tuyến tính được khảo sát trong các hình 2.37 và 2.38. Hình 2.37 cho thấy rằng mặc dù các tấm với các kiểu phân bố FG-V và có cùng tải nhiệt tới hạn nhưng khả năng mang tải sau tới hạn của tấm FG-V cao hơn nhiều so với tấm và cao hơn tấm với phân bố đều UD trong miền độ võng lớn. Điều này chứng tỏ rằng khi tấm bắt đầu võng thì việc CNTs tập trung nhiều hơn ở mặt dưới trong phân bố kiểu FG-V mang lại lợi thế chịu tải nhiệt cho tấm CNTRC. Tuy nhiên nói chung thì kiểu phân bố FG-X (tức là CNTs phân bố tập trung nhiều hơn ở cả hai mặt trên và dưới) vẫn mang lại khả năng chịu tải nhiệt tốt nhất. Cuối cùng, hình 2.38 đánh giá ảnh hưởng của môi trường nhiệt đều ban đầu () lên khả năng mang tải của tấm chữ nhật FG-X CNTRC với các bị ràng buộc một phần () tựa trên nền đàn hồi Pasternak và chịu tải nhiệt không đều phân bố dạng tuyến tính trong mặt phẳng. Như có thể thấy, khả năng kháng vồng và mang tải sau vồng của tấm hoàn hảo () giảm đi nhanh chóng khi môi trường nhiệt ban đầu tăng lên, trong khi tấm không hoàn hảo ban đầu () có thể bị võng (chứ không phải vồng) ngay từ khi chịu tải đều ban đầu và độ võng này tăng lên khi nhiệt phân bố tuyến tính được đặt. Tuy nhiên, ở miền sâu của độ võng thì khả năng mang tải của các tấm hoàn hảo và không hoàn hảo chênh lệch không nhiều.
Kết luận chương 2
Bằng cách tiếp cận giải tích cho bài toán đặt theo ứng suất với nghiệm độ võng dạng lượng giác đơn số hạng và hàm ứng suất đa số hạng dựa trên lý thuyết cổ điển, chương 2 đã nghiên cứu ổn định phi tuyến của các tấm và panel trụ mỏng làm từ vật liệu FG-CNTRC có các cạnh tựa bản lề và chịu một số điều kiện tải cơ, nhiệt và cơ-nhiệt khác nhau. Ảnh hưởng của tính phi tuyến hình học von Kármán, tính không hoàn hảo hình dáng ban đầu và tương tác kết cấu – nền đàn hồi đã được kể đến. Cụ thể, chương 2 đã giải quyết bốn bài toán sau đây:
1. Bài toán ổn định phi tuyến của các tấm chữ nhật FG-CNTRC đặt trong môi trường nhiệt đều và chịu tải nén đều trên các cạnh tấm, trong đó có kể đến ảnh hưởng của ràng buộc đàn hồi trên các cạnh không chịu nén.
2. Bài toán ổn định phi tuyến của panel trụ FG-CNTRC đặt trong môi trường nhiệt đều chịu nén đều dọc trục trên hai cạnh cong tựa di động trong khi hai cạnh thẳng bị ràng buộc đàn hồi.
3. Bài toán ổn định phi tuyến của panel trụ FG-CNTRC có các cạnh bị ràng buộc đàn hồi, đặt trong môi trường nhiệt đều và chịu áp lực ngoài phân bố đều trên mặt panel.
4. Bài toán ổn định phi tuyến của tấm chữ nhật FG-CNTRC có cả bốn cạnh bị ràng buộc đàn hồi và chịu tải nhiệt phân bố không đều, cụ thể là chịu nhiệt độ phân bố trong mặt phẳng tấm theo các quy luật dạng sin và dạng tuyến tính.
Từ các kết quả đạt được trong chương này, luận án đưa ra một số kết luận sau:
1. Sự ràng buộc dịch chuyển theo phương tiếp tuyến có ảnh hưởng quan trọng lên khả năng kháng vồng (tức lên tải tới hạn) và khả năng chịu tải sau vồng của kết cấu. Khi panel trụ chỉ chịu áp lực ngoài (không có nhiệt độ) thì khả năng chịu tải áp lực của panel tăng lên khi sự ràng buộc các cạnh trở nên nghiêm ngặt hơn. Trong các trường hợp còn lại, do ứng suất nén phát sinh trên các cạnh bị ràng buộc, cả khả năng kháng vồng và mang tải sau vồng của tấm và panel giảm nhanh khi các cạnh bị ràng buộc chặt chẽ hơn. Nói riêng, do tính dị hướng cao của kết cấu FG-CNTRC nên sự ràng buộc dịch chuyển trên hai cạnh vuông góc với CNTs và hai cạnh song song với CNTs lần lượt có ảnh hưởng quan trọng và tương đối nhẹ lên ứng xử của kết cấu. 
2. Panel trụ hoàn hảo hình dáng với các cạnh thẳng tự do và bị ràng buộc chịu nén dọc trục sẽ lần lượt có và không đáp ứng vồng theo kiểu rẽ nhánh. Tuy nhiên, các panel trụ không hoàn hảo hình dáng và tương đối thoải với các cạnh thẳng bị ràng buộc chịu nén dọc trục có thể trải qua đáp ứng vồng kiểu rẽ nhánh khi mức độ không hoàn hảo thỏa mãn các điều kiện đặc biệt. 
3. Dưới tác dụng của áp lực ngoài, panel trụ với các cạnh tự do đặt trong môi trường nhiệt hoặc panel trụ với các cạnh bị ràng buộc mà không có nhiệt độ sẽ không có đáp ứng vồng kiểu rẽ nhánh và không nhạy với sự không hoàn hảo hình dáng. Ngược lại, panel trụ có các cạnh bị ràng buộc, đặt trong môi trường nhiệt tồn tại trước và chịu áp lực ngoài có thể có loại đáp ứng vồng tựa rẽ nhánh.
4. Khác với trường hợp nhiệt độ tăng đều, khi tấm chịu phân bố nhiệt độ phi tuyến, cụ thể là nhiệt độ phân bố dạng hàm sin, các lực nén do nhiệt gây ra không còn đều nữa và đáp ứng vồng theo kiểu rẽ nhánh chỉ xảy ra đối với các tấm CNTRC mà trong đó CNTs được phân bố theo cấu hình đối xứng qua mặt giữa.
5. Khi CNTs phân bố nhiều hơn ở gần hai bề mặt kết cấu, khi có nền đàn hồi và/hoặc khi độ cong tăng lên (đối với panel) thì độ ổn định của tấm và panel tăng lên. Khi chịu tải cơ, sự tăng lên của tỷ lệ CNTs dẫn đến sự tăng độ ổn định của kết cấu CNTRC. Tuy nhiên, dưới tác dụng của tải nhiệt, có thể sự tăng tỷ lệ CNTs không đi kèm với sự tăng khả năng chịu tải nhiệt của kết cấu. 
Kết quả chính của chương 2 đã được công bố trong 4 bài báo đăng trên các tạp chí quốc tế thuộc danh mục ISI, 1 bài báo trên tạp chí Scopus, 1 bài báo đăng trên tạp chí Cơ học Việt Nam và 1 báo cáo đăng trên tuyển tập công trình khoa học của Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ X. Cụ thể là các công trình số 1, 2, 3, 4, 5, 6 và 7 trong danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án.
PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN CỦA TẤM VÀ VỎ THOẢI FG–CNTRC CHỊU TẢI NHIỆT VÀ CƠ- NHIỆT DỰA TRÊN LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG TRƯỢT BẬC NHẤT
Trong chương này luận án sẽ phân tích ổn định phi tuyến của tấm và mảnh vỏ thoải (panel) FG-CNTRC tương đối dày có các cạnh tựa bản lề, đặt trên nền đàn hồi và chịu tải nhiệt hoặc tải kết hợp cơ – nhiệt. Bài toán ổn định đặt theo ứng suất trong đó các phương trình cơ bản là phương trình cân bằng phi tuyến và phương trình tương thích biến dạng được thiết lập dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (First order Shear Deformation Theory - FSDT) có kể đến biến dạng trượt ngang, tính phi tuyến hình học theo nghĩa von Kármán, tính không hoàn hảo hình dáng ban đầu, tương tác kết cấu - nền đàn hồi và tính đàn hồi của liên kết biên. Các nghiệm giải tích xấp xỉ của độ võng, góc xoay và hàm ứng suất được sử dụng để thỏa mãn các điều kiện biên và phương pháp Galerkin được áp dụng để dẫn ra các biểu thức của liên hệ phi tuyến giữa tải-độ võng và tải tới hạn. Trong chương này, luận án sẽ giải quyết ba bài toán cụ thể là các phân tích ổn định phi tuyến của (1) tấm chữ nhật FG-CNTRC chịu tải nhiệt tăng đều, (2) panel trụ FG-CNTRC đặt trong môi trường nhiệt và chịu tải cơ kết hợp, và (3) panel hai độ cong FG-CNTRC chịu áp lực ngoài trong môi trường nhiệt.
Các phương trình cơ bản
Các phương trình cơ bản cho bài toán ổn định phi tuyến đặt theo ứng suất sẽ được thiết lập cho dạng kết cấu có hình dạng tổng quát là panel hai độ cong làm từ nanocomposite FG-CNTRC.
Xét một panel hai độ cong có chiều dày không đổi , các kích thước dạng phẳng là và và các bán kính cong theo các hướng kích thước này lần lượt là và . Giả thiết panel tương đối thoải, tức là các bán kính cong lớn hơn nhiều so với các kích thước và . 

Hình 3.1. Hình dáng và hệ tọa độ của một panel hai độ cong đặt trên nền đàn hồi.
Panel được xác định trong một hệ tọa độ mà gốc đặt trên mặt giữa ở một góc của panel, các trục và lần lượt hướng theo các phương và và trục vuông góc với mặt giữa của panel () như được chỉ trên hình 3.1. Panel làm từ vật liệu FG-CNTRC sao cho CNTs được đặt dọc theo hướng của trục và phân bố theo các kiểu khác nhau như đều (UD) hoặc các kiểu FG-X, FG-O, FG-V và . Các hình dạng phân bố, tỷ lệ thể tích CNTs và các tính chất hiệu dụng của CNTRC đã được trình bày chi tiết trong mục 2.1.1 của chương 2 và, để cho ngắn gọn, không nhắc lại ở đây. 
3.1.1. Các thành phần biến dạng và nội lực
Hình 3.2. Mô tả biến dạng một cạnh của tấm theo lý thuyết FSDT.
Dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất FSDT, trường chuyển vị và tại một điểm bất kỳ lần lượt theo các phương và được biểu diễn như [146]. 
 ,
 	,
(3.1)

trong đó lần lượt là chuyển vị của một điểm trên mặt giữa theo các phương ( cũng còn được gọi là độ võng); và tương ứng là các góc xoay của pháp tuyến với mặt giữa đối với các trục và . Như vậy, khác với lý thuyết cổ điển, trong lý thuyết FSDT có năm hàm ẩn đó là và .
Các thành phần biến dạng theo mặt phẳng và các thành phần biến dạng trượt ngang của panel ở một điểm cách mặt giữa một khoảng được xác định như sau [146] 
(3.2)

trong đó 
 , 

(3.3)

trong đó dấu phảy dưới (,) biểu thị ký hiệu đạo hàm riêng đối với biến theo sau, ví dụ , và các số hạng phi tuyến hình học theo nghĩa von Kármán đã được giữ lại. Các liên hệ ứng suất - biến dạng trong kết cấu CNTRC được biểu diễn như [146]
(3.4)

trong đó là độ tăng nhiệt đều từ giá trị ban đầu mà ở đó giả thiết kết cấu FG-CNTRC không có ứng suất nhiệt, và
, , ,
.

(3.5)

Các mô đun đàn hồi hiệu dụng và mô đun trượt hiệu dụng được xác định như công thức (2.4) trong chương 2. Các hệ số dãn nở nhiệt hiệu dụng và các hệ số Poisson hiệu dụng giống như đã trình bày trong mục 2.1.1 trong chương 2. Giống như các nghiên cứu trước [58, 100, 101, 104], trong luận án này (ở chương 3 và chương 4), các mô đun trượt ngang hiệu dụng được giả thiết là , .
	Các thành phần nội lực trong kết cấu CNTRC, cụ thể là các hợp lực theo phương phẳng , các hợp lực cắt ngang và các mômen trên một đơn vị dài, được tính qua các thành phần ứng suất như sau
 ,, 
(3.6)

trong đó là hệ số hiệu chỉnh trượt. Trong các tính toán số ở phần sau, hệ số có thể nhận giá trị bằng 5/6 như trong các nghiên cứu [83,92,94,97,101] hoặc theo công thức sau [37,147]
.

(3.7)
Bằng cách đặt các biến dạng từ (3.2) vào các thành phần ứng suất (3.4) và đặt biểu thức thu được vào (3.6) ta có thể biểu diễn các thành phần nội lực dưới dạng sau
 	(3.8a)
 , 	(3.8b)
trong đó với và lần lượt là mô đun trượt hiệu dụng của FG-CNTRC theo các mặt phẳng và , trong khi đó các hệ số độ cứng và được xác định như các biểu thức (2.16a) và (2.16b). 
3.1.2. Các phương trình cân bằng và tương thích biến dạng
Dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất FSDT, hệ các phương trình cân bằng phi tuyến của một vỏ thoải hai độ cong hoàn hảo hình dáng tựa trên nền đàn hồi gồm năm phương trình có dạng như sau [24,112,146]
	(3.9a)
	(3.9b)
 	(3.9c)
	(3.9d)
	(3.9e)
trong đó là áp lực ngoài phân bố đều trên mặt trên () của panel và là áp lực tương tác từ nền đàn hồi Pasternak có liên hệ với độ võng như công thức (2.18) với và lần lượt là mô đun đàn hồi của các lò xo Winkler và độ cứng lớp trượt của mô hình Pasternak. 
Tương tự như chương 2, bằng việc đưa vào một hàm ứng suất xác định như (2.19), hai phương trình cân bằng (3.9a) và (3.9b) sẽ thỏa mãn đồng nhất. Từ (3.8) có thể biểu diễn qua () và các đạo hàm riêng của . Sau đó đặt các kết quả nhận được vào (3.9d), (3.9e) và thay biểu thức của vào phương trình (3.9c) ta có thể viết phương trình cân bằng phi tuyến của panel hai độ cong FG-CNTRC hoàn hảo hình dáng dưới dạng sau đây 
(3.10)
trong đó hệ số được xác định như trong công thức (B1) của phụ lục B.
Đối với panel mà hình dáng ban đầu không hoàn hảo, phương trình cân bằng phi tuyến (3.10) viết lại cho panel vỏ thoải FG-CNTRC không hoàn hảo hình dáng là
(3.11)
trong đó, như đã đề cập trong chương 2, là một hàm đã biết biểu thị độ lệch nhỏ của bề mặt panel so với cấu hình hoàn hảo. Trong luận án, hàm biểu diễn không hoàn hảo hình dáng giả thiết có cùng dạng với hàm độ võng .
	Từ các liên hệ động học (3.3) và xem xét đến ảnh hưởng của tính không hoàn hảo hình dáng ban đầu, phương trình tương thích biến dạng của panel hai độ cong có dạng sau [88, 106, 112, 148]
 .	(3.12)
Từ hệ phương trình (3.8) có thể biểu diễn biến dạng theo sau đó sử dụng hàm ứng suất (2.19) trong các kết quả ta có thể viết lại phương trình tương thích của panel vỏ thoải CNTRC không hoàn hảo dưới dạng sau
(3.13)
trong đó các hệ số được xác định như công thức (B2) của phụ lục B.
 Điều kiện biên và nghiệm giải tích	
Tất cả bốn cạnh của panel được giả thiết tựa bản lề và điều kiện biên được biểu diễn như sau 	
 , trên hai cạnh và (3.14a) 
 , trên hai cạnh và 	(3.14b) 
trong đó và là hợp lực của các lực nén (chủ động) lần lượt tác dụng trên các cạnh và trong trường hợp các cạnh này tựa di động (movable) hoặc là hợp phản lực (bị động) khi các cạnh này chịu ràng buộc dịch chuyển theo phương tiếp tuyến, tức là khi các cạnh này tựa cố định (immovable) hoặc chỉ có thể di chuyển một phần (partially movable). 
Để thỏa mãn các điều kiện biên (3.14), luận án sử dụng các nghiệm giải tích xấp xỉ sau đây [106-108,110,112]
	(3.15a)
	(3.15b)
 , 	(3.15c)
trong đó ,,,,là các hệ số cần xác định và các ký hiệu khác trong dạng nghiệm (3.15) có cùng ý nghĩa như đã giải thích trong chương 2.
Đặt các nghiệm (3.15) vào phương trình tương thích biến dạng (3.13) ta xác định được các hệ số và một phương trình liên hệ giữa như sau
 	(3.16) 
 	(3.17a)
Tiếp theo, đặt các liên hệ (3.3) và (3.8) vào hai phương trình cân bằng cuối (3.9d), (3.9e) để biểu diễn các phương trình này dưới dạng các đạo hàm riêng của độ võng, hàm ứng suất và góc xoay, sau đó đặt các nghiệm (3.15) vào hai phương trình này và cân bằng các hệ số ta có thể thu được hệ hai phương trình đại số tuyến tính sau đây đối với