Luận án Phân tích dao động kết cấu hệ dầm, khung không gian có lắp thiết bị tiêu tán năng lượng chịu tải trọng ngẫu nhiên

ự tương quan: xxS  là ảnh Fourier của xR 2

. 
Như vậy, hàm mật độ phổ có 2 cách định nghĩa: định nghĩa bằng phép biến đổi Fourier 
theo (2.90), định nghĩa bằng hàm tự tương quan theo (2.98). 
 Từ (2.97) ta có: x xxR (0) S ( )d
   , mặt khác 2xR (0) x nên ta cũng 
nhận được hệ thức 2 xxx S d
   (phương sai của quá trình x t là diện tích 
của biểu đồ hàm mật độ phổ trong miền tần số). 
2.1.5.3. Các tính chất của hàm mật độ phổ 
 Hàm mật độ phổ có những tính chất sau: 
 Với định nghĩa theo (2.90), xxS  là hàm thực không âm [25]: 
 xxS 0 (2.99) 
 Mật độ phổ là hàm chẵn: xx xxS S  (2.100) 
50 
 Do xxS  là hàm chẵn nên (2.91) có thể viết thành: 
 2 xx
0
x 2 S d
   (2.101) 
 Phổ vận tốc và phổ gia tốc: 
- Đối với quá trình dừng, đạo hàm theo thời gian của hàm tự tương quan là: 
 xxdR x t x t dt
dt
   (2.102) 
 - Đạo hàm (2.102) theo t ta có: 
2
xx
xx2
d R
x t x t dt R
dt
      (2.103) 
 Theo (2.97) và tính chất của phép biến đổi Fourier ta có: 
2
2 ixx
xx2
d R
S e d
dt

    (2.104) 
So sánh (2.103) và (2.104) rút ra: 
 2 i ixx xx xxR S e d S e d
 
          (2.105) 
 Vậy nên: 2xx xxS S    (2.106) 
 Tương tự ta cũng có: 4xx xxS S   (2.107) 
2.1.5.4. Momen phổ, chiều rộng phổ 
 Momen bậc n của hàm ngẫu nhiên x t được định nghĩa bằng biểu thức [25], [73]: 
 nn xxm S d
    (2.108) 
 Đối với hàm ngẫu nhiên quy tâm ( 0m 0 ) ta có: 
 2 2x x xx 0x R 0 S d m
    
(2.109) 
51 
 2 2 2x xx xx 2x R 0 S d m
        (2.110) 
 2 2 4x xx xx 4x R 0 S d m
       (2.111) 
 xxxx R 0 0  (2.112) 
 xx xx 2xx R 0 R 0 m    (2.113) 
 xxxx R 0 0  (2.114) 
 Tham số chiều rộng phổ được định nghĩa như sau: 
 2
2
0 4
m1
m m
 (2.115) 
- Phổ dải rộng được đặc trưng bởi đường cong phổ trải rộng ra trên một 
dải tần số khá lớn. Trường hợp điển hình là quá trình ngẫu nhiên dừng mà phổ 
của nó có giá trị không đổi đối với mọi  (hình 2.3), quá trình ngẫu nhiên như 
vậy được gọi là quá trình ngẫu nhiên ồn trắng. Trong thực tế hay gặp quá trình 
ngẫu nhiên ồn trắng giới hạn trong một phạm vi tần số từ 1 đến 2 (hình 2.4). 
Hình 2.3. Phổ của quá trình ngẫu nhiên ồn trắng 
Hình 2.4. Hai trường hợp đặc biệt của quá trình ngẫu nhiên ồn trắng 
xxS xxS
1 2
a) b)
2
0S 0S
52 
Hàm tự tương quan đối với quá trình này được xác định nhờ định lý 
Wiener - Chintschin: 
2
1
2 1
x xx 0 0
0
sin t sin tR t 2 S cos td 2S cos td 2S
t
 

       
(2.116) 
 Nếu 1 0 thì: 2xx 0 sin tR t 2S t
 (2.117) 
 Các momen phổ khi đó bằng: 
 2
2
2
0 0 0 2
0
2 3
2 0 0 2
0
4 5
4 0 0 2
0
m 2S d 2S
2m 2S d S
3
2m 2S d S
5



  
   
   
 (2.118) 
 Chiều rộng phổ bằng: 
2
2
0 4
m 21
m m 3
 (2.119) 
 Phổ dải hẹp được đặc trưng bởi hàm phổ có giá trị lớn trong một phạm 
vi hẹp của tần số  quanh một tần số 0 nào đó và có điểm cực đại rõ ràng 
còn các giá trị khác là rất nhỏ (hình 2.5). 
Hình 2.5. Phổ của một quá trình dải hẹp 
 Trường hợp điển hình, phổ dải hẹp có dạng như trên hình 2.6a và quá 
trình ngẫu nhiên tương ứng có dạng như hình 2.6b. 
 Sxx 
 
S0 
0 
53 
Hình 2.6. Phổ dải hẹp điển hình và quá trình tương ứng 
Khi đó, phương sai và hàm tự tương quan lần lượt là: 
 2x xx 0S d 2S
    (2.120) 
0
0
2
xx xx 0
0
2
R t 2 S cos td S cos td
  
  
      (2.121) 
 Cho 0  thì 2xx 0 0 x 0K t 2S cos t cos t     . Như vậy đối với 
phổ hẹp lý tưởng tại tần số 0 thì hàm tương quan là hàm điều hòa tần số 0 , 
mật độ phổ là hàm Dirac. Đối với phổ hẹp lý tưởng, các momen phổ bằng: 
 20 0 x
2 2 2
2 0 0 0 x 0
4 2 4
4 0 0 x 0
m 2S
m 2S 2S
m 2S
  
   
   
 (2.122) 
 Chiều rộng phổ: 0 . 
2.2. Công thức phần tử hữu hạn tính toán cho dầm chịu uốn 
* Các giả thiết cơ bản: 
- Kết cấu làm việc trong miền đàn hồi 
- Dầm, thanh không gian thỏa mãn lý thuyết cổ điển Euler – Bernoulli. 
- Tải trọng ngẫu nhiên tác động lên kết cấu là loại ngẫu nhiên dừng. 
b)a)
Sxx
0
S0
Sxx
S0
2
  T =2 0 0
54 
2.2.1. Phần tử dầm không có thiết bị tiêu tán năng lượng TMD 
Xét phần tử dầm chịu uốn có chiều dài a, mặt cắt ngang không đổi, giả 
thiết dầm làm việc trong giới hạn đàn hồi, trường chuyển vị của một điểm bất kỳ 
có tọa độ z thỏa mãn lý thuyết dầm Euler - Bernoulli, do đó ta có thể viết như sau 
[15, 16, 54, 65, 67, 82]: 
0 y
0
u x,z,t u x,0,t z
w x,z,t w x,0, t
  
 (2.123) 
trong đó u, w là chuyển vị dọc theo trục x và z của điểm bất kỳ trên mặt cắt 
ngang của dầm; u0, w0 là các chuyển vị tại trục trung hòa của dầm dọc theo trục 
x và z; còn y
w
x
 

 là góc xoay của mặt cắt ngang dầm quay trục y vuông góc 
với mặt phẳng xz. 
Chuyển vị của mọi điểm theo phương vuông góc trục dầm w(x) được chọn 
là đa thức xấp xỉ bậc 3: 
 2 31 2 3 4w x a a x a x a x (2.124) 
hay: 
 w x P x a (2.125) 
z2z1 
Hình 2.7. Phần tử dầm hai điểm nút chịu uốn 
trong đó, véc tơ P(x) được xác định theo công thức: 
 2
3
1
x
x
x
x
 
 
 
P (2.126) 
và véc tơ tham số a được tính bởi công thức: 
55 
 1
2
3
4
a
a
a
a
a
   
 (2.127) 
Hàm w(x) theo công thức (2.125) phải thỏa mãn đồng nhất chuyển vị và 
đạo hàm bậc nhất tại hai điểm nút của phần tử. Sử dụng phần tử dầm hai điểm 
nút, mỗi nút có 3 bậc tự do (hình 2.7), vecto chuyển vị nút phần tử được biểu 
diễn bởi công thức: 
weq Aa (2.128) 
trong đó: 
 1 1
y1 2
we
32
y 2 4 ee
w q
q
qw
q


q
      
 (2.129) 
là véc tơ chuyển vị nút gồm 6 bậc tự do (03 bậc tự do tại mỗi nút). 
Còn ma trận hệ số A được xác định bởi: 
2 3
2
1 0 0 0
0 1 0 0
1 a a a
0 1 2a 3a
A (2.130) 
Ma trận A này tồn tại nghịch đảo: 
1
2 2
3 2 3 2
1 0 0 0
0 1 0 0
3 / a 2 / a 3 / a 1 / a
2 / a 1 / a 2 / a 1 / a
A (2.131) 
 Từ công thức (2.128) ta suy ra: 1
wea A q
 (2.132) 
Thay véc tơ a thu được từ (2.132) vào công thức (2.125) ta biểu diễn 
được hàm chuyển vị w(x) theo vecto chuyển vị nút qwe dưới dạng sau: 
56 
 1 we w wew x xP A q N q (2.133) 
trong đó, Nw là ma trận hàm dạng : 
  w 1w 2w 3w 4wN N N NN (2.134) 
với: 
2 3
1w 2 3
2
2w 2
2 3
3w 2 3
2
4w 2
x xN x 1 3 2
a a
x xN x x 1 2
a a
x xN x 3 2
a a
x xN x x
a a
 (2.135) 
Xây dựng tương tự như đối với chuyển vị dọc trục u0(x) của phần tử 
dầm, ta có: 
 0 u ueu x N q (2.136) 
trong đó, Nu là ma trận hàm dạng: 
 u 1u 2u
x xx N x N x 1
a a
N 
 (2.137) 
và véc tơ chuyển vị nút: 01ue
02 e
u
u
q
   
 (2.138)
Theo [45, 105], khi dầm chịu uốn mặt cắt ngang của dầm còn là phẳng, 
khi biến dạng và xoay đi góc y
w
x
 

. Do đó chuyển vị dọc trục u và độ võng 
w có quan hệ (như hình 2.8): 
0
wu u z
x
 

 (2.139) 
trong đó z là khoảng cách từ điểm đang xét tới đường trung hòa. 
57 
Biến dạng dọc trục dầm: 
2
0
x 2
u wz
x x
  
 
 (2.140) 
. dwu z
dx
dw
dx
dw
dx
Hình 2.8. Biến dạng của phần tử dầm chịu uốn 
Thay biểu thức (2.133) vào biểu thức (2.140), ta được: 
2
u w
x ue we u ue w we e2
N Nq z q q q
x x
 B B Bq  
 
 (2.141) 
trong đó: 
 
2
Tu
u u w w u w2
w
B 0
; ; z ; q q
0 B x x
B B N B N q
     
 (2.142) 
 Biểu thức thế năng biến dạng trong phần tử dầm có dạng sau [15, 16, 54, 67, 82]: 
a a
2 2
e y
0 0
1 EF u x, t dx EI w x, t dx
2
  
 (2.143) 
trong đó, E là mô đun đàn hồi của vật liệu, F là diện tích mặt cắt ngang của 
dầm, và Iy là mô men quán tính của mặt cắt ngang dầm. 
Viết dưới dạng ma trận, ta thu được biểu thức thế năng như sau: 
a a
2 T T
e
0 0
T
e
1 1D B x q t dx q t B x DB x dx q t
2 2
1 q t k q t
2
 
 (2.144) 
trong đó, ke là ma trận độ cứng phần tử, có biểu thức: 
58 
a
T
e
0
B x DB x dxk (2.145) 
với ma trận hằng số vật liệu: 
y
EF 0
0 EI
D
 (2.146) 
Thay các ma trận thành phần vào ma trận độ cứng (2.145), ta có biểu 
thức tường minh của ma trận độ cứng như sau: 
y y y y
3 2 3 2
y y y
2
e
y y
3 2
y
EF EF0 0 0 0
a a
12EI 6EI 12EI 6EI
0 0
a a a a
4EI 6EI 2EI
0 0 0
a a a
EF 0 0
a
12EI 6EI
a a
4EI
dx
a
k
 (2.147) 
Biểu thức công của ngoại lực, lực quán tính và của lực cản được viết như sau: 
a
0
e a a
0 0
a a
0 0
(x, t)w(x, t)dx
A
mu(x, t)u(x, t)dx m w(x, t)w(x, t)dx
1 cu(x, t)u(x, t)dx cw(x, t)w(x, t)dx
2
wp
 
 
   
   
 (2.148) 
hoặc viết dưới dạng thu gọn dưới dạng ma trận: 
a a
T T T T pb
e e
0 0
a
T T
0
1A q t N x p x, t dx q t N x N x dxm q t
2
1 q t N x N x dxcq t
2


 (2.149) 
trong đó: 
59 
- m là khối lượng trên đơn vị độ dài dầm. 
- c là hệ số cản trên một đơn vị độ dài dầm. 
- pw là tải trọng phân bố trên đơn vị độ dài dầm. 
- p(x,t) là véc tơ lực phân bố trên phần tử: 
 w
0
p x, t
p x, t
 
 
 
 (2.150) 
- pbem là ma trận khối lượng phân bố: 
upb
e u
m m 0
;
m 0 mww
0
m m m
0
 (2.151) 
Viết gọn lại biểu thức (2.149), ta được: 
 T T T Te e e e e e e e e
1 1A t t t m t t c t
2 2
 q P q q q q (2.152) 
trong đó: me là ma trận khối lượng phần tử; Pe(t) là véc tơ lực nút phần tử và ce 
là ma trận cản phần tử. Chúng được xác định như sau: 
2 2
e
2
140 0 0 70 0 0
0 156 22a 0 54 13a
0 0 4a 0 13a 3ama
140 0 0420
156 22a
dx 4a
m
 (2.153) 
a2 2
T
e e w
0
2
140 0 0 70 0 0
0 156 22a 0 54 13a
0 0 4a 0 13a 3aca ;P t N x p x,t dx
140 0 0420
156 22a
dx 4a
c
 (2.154)
Theo nguyên lý dừng của thế năng toàn phần, ta có phương trình: 
 e e
i i
AV 0
q q
   
 
; (qi = u, w, θy) (2.155) 
Thay các biểu thức thế năng, công ở trên vào biểu thức (2.152), ta thu được 
60 
phương trình dao động cưỡng bức của phần tử dầm chịu uốn có dạng như sau: 
 e e e e e e et t t t m q c q k q P (2.156) 
2.2.2. Phần tử dầm có thiết bị tiêu tán năng lượng TMD 
Xét phần tử dầm có lắp TMD (hình 2.9), TMD chỉ chuyển vị theo phương 
thẳng đứng tương ứng với chuyển vị w0 của dầm này. 
Gọi wT là chuyển vị của khối lượng mT trong hệ giảm dao động TMD, từ 
đây ta viết được phương trình dao động của khối lượng mT: 
 T T T T 0 T T 0m w c w w k w w 0    (2.157) 
z2z1 
TkTc
0w
Tw
Tm
Tf
Hình 2.9. Phần tử dầm hai điểm nút và tương tác giữa TMD với dầm 
Lực tập trung fT do TMD tác dụng lên dầm được tính như sau: 
T T T 0 T T 0f k (w w ) c (w w )   (2.158) 
trong đó: 
 
2
0
0 w e 0 w e w wi
i 1
ww N q ; w N q ; N 0,N ,0
t 
 
  (2.159) 
Kết hợp hai phương trình dao động của dầm và của TMD ta được hệ 
phương trình dao động của phần tử có lắp TMD như sau: 
T T
e e ee T w w T w
T T TT w T
T T
e ee T w w T w
TT w T
c -c
m w w-c c
tk -k
w 0-k k
m 0 q qc N N N
0 N
q Pk N N N
N
 
 
       
       
 (2.160) 
Như vậy, khi lắp thêm 1 TMD thì hệ phương trình dao động của phần tử 
dầm được tăng lên 1 phương trình tương ứng với 1 phương trình của TMD được 
lắp thêm như phương trình (2.160). Lúc đó, ma trận khối lượng, ma trận độ 
61 
cứng, ma trận cản của phần tử dầm được cộng thêm các hàng, cột chứa các 
thành phần khối lượng mT, độ cứng kT và hệ số cản cT của TMD. 
Sau khi tập hợp và khử điều kiện biên, ta thu được phương trình dao động 
cưỡng bức của dầm có dạng [15, 16, 54, 65]: 
 Q Q QM C K F  (2.161) 
trong đó M, C, K lần lượt là ma trận khối lượng tổng thể, ma trận cản tổng thể, 
ma trận độ cứng tổng thể của kết cấu, Q và F là véc tơ chuyển vị tổng thể và 
véc tơ lực tổng thể của kết cấu. 
2.3. Công thức phần tử hữu hạn tính toán khung không gian 
2.3.1. Khung không gian không có thiết bị tiêu tán năng lượng TMD 
Xét phần tử thanh không gian trong hệ tọa độ địa phương và hệ tọa độ 
tổng thể như trên hình 2.10. Véc tơ chuyển vị u(x, t) tại một điểm bất kỳ thuộc 
phần tử trong hệ tọa độ địa phương gồm 6 thành phần như sau [15, 16, 54, 65]: 
T
z yu v w  u (2.162) 
trong đó: u, v, w là các chuyển vị thẳng dọc theo các trục tọa độ x, y, z ; là góc xoắn quanh 
trục x của dầm; z, y là các góc xoay quanh của mặt cắt ngang dầm quanh các trục z và y. 
Hình 2.10. Mô hình phần tử thanh không gian 
Chúng được xác định theo công thức sau: 
z
y
v
x
w
x
      
 (2.163) 
62 
Ta có thể viết nhóm lại véc tơ chuyển vị nút q của phần tử thanh không 
gian gồm bốn thành phần như sau: 
u
v
e
e
q t
q t
t
q t
q t 
w
q
   
 (2.164) 
trong đó: 
 
 
 
 
T
u 1 2
T
v 1 1z 2 2z
T
w 1 1y 2 2 y
T
1 2
q t u u
q t v v
q t w w
q t 
 
 
 (2.165) 
Hình 2.11. Các thành phần chuyển vị của phần tử thanh không gian (a) 
và lực phân bố tác dụng lên phần tử thanh không gian (b) 
Trường chuyển vị của một điểm bất kỳ thuộc thanh không gian sẽ được 
nội suy thông qua ma trận hàm dạng và véc tơ chuyển vị nút như sau: 
 ex,t x tu N q (2.166) 
trong đó, N là ma trận các hàm dạng và được xác định bởi 
u
v
w
N x
N x
x
N x
N x 
N
(2.167) 
trong đó, các hàm dạng Hermite được sử dụng nhằm thỏa mãn sự liên tục cả về 
chuyển vị cũng như đạo hàm bậc nhất của chuyển vị tại các điểm nút, chúng 
63 
được biểu diễn dưới dạng: 
 u 1u 2ux N x N xN (2.168) 
1v 2v 3v 4v
v 1v 2v 3v 4v
N x N x N x N x
x dN x dN x dN x dN x
dx dx dx dx
N
 (2.169) 
1 2 3 4
1 1 1 1
N x N x N x N x
x dN x dN x dN x dN x
dx dx dx dx
w w w w
w w w w w
N
(2.170)
(2.171) 
 1 2x N x N x N (2.172) 
trong đó các hàm dạng được cho cụ thể như sau: 
2 3 2
1v
1v 2 3 2 3
dN xx x x xN x 1 3 2 ; 6 6
a a dx a a
(2.173) 
2 3 2
2v
2v
dN xx x x x N x x 2 ; 1 4 3
a a dx a a
 (2.174) 
2 3 2
3v
3v 2 3 2 3
dN xx x x xN x 3 2 ; 6 6 
a a dx a a
 (2.175) 
2 3 2
4v
4v 2 3 2 3
dN xx x x xN x ; 2 3
a a dx a a
 (2.176) 
2 3 2
1w
1w 2 3 2 3
dN xx x x xN x 1 3 2 ; 6 6
a a dx a a
(2.177) 
2 3 2
2w
2w
dN xx x x xN x x 2 ; 1 4 3
a a dx a a
(2.178) 
2 3 2
3w
3w 2 3 2 3
dN xx x x xN x 3 2 ; 6 6
a a dx a a
 (2.179) 
2 3 2
4w
4w 2 3 2 3
dN xx x x xN x ; 2 3
a a dx a a
 (2.180) 
64 
 1 2x xN x 1 ;N xa a 
(2.181) 
với a là chiều dài của phần tử thanh. 
Thế năng biến dạng của phần tử thanh có dạng như sau: 
a a
2 2
e z
0 0
a a
2 2
y p
0 0
1 EF u x,t dx EI v x, t dx
2
EI w x,t dx GJ x, t dx

  
 (2.182) 
trong đó: 
- ', ', ', 'u v w là các đạo hàm của các thành phần chuyển vị tương ứng u, 
v, w, . 
- E, G là mô đun đàn hồi của vật liệu và mô đun đàn hồi trượt của vật liệu. 
- F là diện tích mặt cắt ngang của thanh. 
- Iy, Iz là các mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với các trục y và z 
trong hệ tọa độ địa phương. Jp là mô men quán tính độc cực của mặt cắt ngang. 
Thay các thành phần chuyển vị vào biểu thức (2.182), sau khi tính toán 
và rút gọn lại ta được: 
a a
2 T T
e e e e
0 0
1 1x t dx t x x dx t
2 2
 D B q q B DB q
 (2.183) 
trong đó: 
- B là ma trận vi phân hàm dạng, có biểu thức: 
u
v
N x
N x
x
N x
N x 
w
B
 (2.184) 
- D là ma trận hằng số độ cứng vật liệu: 
65 
z
y
p
EF
EI
EI
GJ
D
 (2.185) 
Biểu thức công của ngoại lực, lực quán tính và của lực cản tác dụng lên 
phần tử thanh có dạng sau: 
a a a
u v w
0 0 0
e a
0
a a a
0 0 0
a
p
0
p (x, t)u(x, t)dx p (x, t)v(x, t)dx p (x, t)w(x, t)dx
A
p (x, t) (x, t)dx
mu(x, t)u(x, t)dx mv(x, t)v(x, t)dx mw(x, t) (x, t)dx
1
2
m (x, t) (x, t)dx

  

   
a a a
0 0 0
a
p
0
cu(x, t)u(x, t)dx cv(x, t)v(x, t)dx cw(x, t)w(x, t)dx
1
2
c (x, t) (x, t)dx 
  

   
   
(2.186) 
Sau khi thay các thành phần chuyển vị và lực tác dụng vào biểu thức 
(2.186) ta có thể viết gọn lại biểu thức này như sau: 
a a
T T T T
e e pb e pb e
0 0
a
T T
e e
0
1A t x x, t dx t x x dxm t
2
1 t x x dxc t
2
q N p q N N q
q N N q


 (2.187) 
trong đó: 
- m là khối lượng phân bố trên một đơn vị độ dài thanh 
- mp là mô men quán tính của m trên một đơn vị chiều dài thanh: 
p pm mJ (2.188) 
- c là hệ số cản nhớt trên một đơn vị chiều dài thanh. 
- pu, pv, pw, p là lực phân bố trên một đơn vị chiều dài than (hình 2.12). 
66 
- ppb(x,t) là véc tơ lực phân bố trên một đơn vị phần tử thanh: 
 Tpb u vx, t p x, t p x, t p x, t p x, t wp (2.189) 
- mpb ma trận khối lượng phân bố trên một đơn vị phần tử thanh: 
u
pv
pb u v
p
m
mm m
; ,
mm m
m
w
w
m m m m m
 (2.190) 
Sử dụng nguyên lý cực tiểu của năng lượng toàn phần đối với phần tử 
thanh, ta sẽ có biểu thức điều kiện cân bằng cho phần tử thanh 
 e ee
i i
e e
AV 0
q q
  
 
 (2.191) 
Thay các biểu thức (2.183) và (2.187) vào phương trình (2.191) ta thu được 
phương trình dao động cưỡng bức của phần tử thanh không gian có dạng như sau: 
 e e e e e e et t t tm q c q k q p  (2.192) 
trong đó: 
- ke là các ma trận độ cứng phần tử thanh không gian: 
a
T
e
0
x x dxk B DB (2.193) 
67 
z z z z
3 2 3 2
y y y y
3 2 3 2
p p
y y y y
2 2
z z z z
2 2
e
z
3
EF EF0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
a a
12EI 6EI 12EI 6EI0 0 0 0 0 0 0 0
a a a a
12EI 6EI 12EI 6EI
0 0 0 0 0 0 0 0
a a a a
EGJ EGJ
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
a a
6EI 4EI 6EI 2EI
0 0 0 0 0 0 0 0
a a a a
6EI 4EI 6EI 4EI0 0 0 0 0 0 0 0
a a a a
EF EF0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
a a
12EI0 0
a
k
 z z z2 3 2
y y y y
3 2 3 2
p p
y y y y
2 2
z z z z
2
6EI 12EI 6EI0 0 0 0 0 0
a a a
12EI 6EI 12EI 6EI
0 0 0 0 0 0 0 0
a a a a
EGJ EGJ
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
a a
6EI 2EI 6EI 4EI
0 0 0 0 0 0 0 0
a a a a
6EI 4EI 6EI 4EI0 0 0 0 0 0 0 0
a a a a
(2.194) 
- me, là ma trận khối lượng phần tử thanh không gian: 
a
T
e pb
0
N x N x m dxm 
(2.195) 
p
2
2 2
e
p
140 0 0 0 0 0 70 0 0 0 0 0
0 156 0 0 0 22a 0 54 0 0 0 13a
0 0 156 0 22a 0 0 0 54 0 13a 0
140J
0 0 0 0 0 0 0 0 70 0 0
F
0 0 22a 0 4a 0 0 0 13a 0 3a 0
0 22a 0 0 0 4a 0 13a 0 0 0 3ama
70 0 0 0 0 0 140 0 0 0 0 0420
0 54 0 0 0 13a 0 156 0 0 0 22a
0 0 54 0 13a 0 0 0 156 0 22a 0
140J
0 0 0 70 0 0 0 0 0 0 0
F
0 0 13
m
 2 2
2 2
a 0 3a 0 0 0 22a 0 4a 0
0 13a 0 0 0 3a 0 22a 0 0 0 4a
(2.196) 
- ce là ma trận cản phần tử thanh không gian: 
a
T
e
0
c N x N x dxc (2.197) 
68 
2 2
2 2
e
140 0 0 0 0 0 70 0 0 0 0 0
0 156 0 0 0 22a 0 54 0 0 0 13a
0 0 156 0 22a 0 0 0 54 0 13a 0
0 0 0 140 0 0 0 0 0 70 0 0
0 0 22a 0 4a 0 0 0 13a 0 3a 0
0 22a 0 0 0 4a 0 13a 0 0 0 3aca
70 0 0 0 0 0 140 0 0 0 0 0420
0 54 0 0 0 13a 0 156 0 0 0 22a
0 0 54 0 13a 0 0 0 156 0 22a 0
0 0 0 70 0 0 0 0 0 140 0 0
0 0 13a 0 3a
c
 2 2
2 2
0 0 0 22a 0 4a 0
0 13a 0 0 0 3a 0 22a 0 0 0 4a
(2.198) 
- pe là véc tơ lực nút phần tử thanh: 
a
T
e pb
0
t N x p x, t dxp (2.199) 
2.3.2. Khung không gian có thiết bị tiêu tán năng lượng TMD 
Khi lắp thêm TMD vào một phần tử thanh không gian, luận án chỉ xét 
dạng TMD tác dụng theo một phương của kết cấu, tính toán tương tự như đối 
với phần tử dầm có TMD, ta có phương trình dao động cưỡng bức của phần tử 
thanh không gian có lắp thiết bị tiêu tán năng lượng TMD có dạng như sau: 
 
T T
e e ee T w w T w
T T TT w T
T T
ee T w w T w
e
TT w T
0 c c N N -c N
0 m w w-c N c
k N N -k N
t
w-k N k
m q q
qk
p
 
 
       
    
 (2.200) 
Phương trình phần tử hữu hạn vừa thiết lập ở trên chỉ tính toán đối với 
phần tử thanh không gian trong hệ tọa độ địa phương gắn liền với phần tử, khi 
tính toán cho toàn bộ kết cấu, các véc tơ của từng phần tử cần đưa về hệ tọa độ 
tổng thể của kết cấu. Sau đây, tác giả trình bày cụ thể công thức chuyển đổi từ 
hệ tọa độ địa phương sang hệ tọa độ tổng thể đối với véc tơ chuyển vị nút, véc 
tơ lực tính toán hoàn toàn tương tự. Mối quan hệ giữa véc tơ chuyển vị trong 
hệ tọa độ địa phương và hệ tổng thể có dạng [15, 16, 54, 65]: 
e e e=q Tq (2.201) 
69 
trong đó 
- qe là véc tơ chuyển vị nút phần tử thanh trong hệ tọa độ địa phương. 
- eq là véc tơ chuyển vị nút phần tử thanh trong hệ tọa độ tổng thể. 
- Te là ma trận chuyển đổi từ hệ tọa độ địa phương sang hệ tọa độ tổng thể. 
1q 4q
2q
5q
3q
6q
7q 10q
8q
11q
9q
12q
Hình 2.12. Các thành phần chuyển vị trong hệ tọa độ địa phương 
và trong hệ tọa độ tổng thể 
Sau đây luận án diễn giải cách tìm ma trận chuyển đổi Te. Giả sửa phần 
tử thanh có hai nút đánh số thứ