Luận án Phân tích phi tuyến ứng xử tĩnh và ổn định của tấm bằng vật liệu FGM rỗng

4
p r q s p s
p r q s
D
K
   
  
2 2
4 2
2 2
4 ;
4
p r q s p s
p r q s
D
K
   
  
2 2
5 2
2 2
2 ;
4
p s
p r s
D
K
 
 
2 2
6 2
2 2
2 .
4
p s
p r s
D
K
 
 
 Khi điều kiện biên là CCCC: 
53 
1
2
3
4
0 0 5
6
7
8
9
cos 2 cos 2
cos 2 cos 2
cos 2 cos 2
cos 2 cos 2
cos 2 cos 2
cos 2 cos 2
cos 2 cos 2
cos 2 cos 2
cos 2 cos 2
p r q s
p r q s
p r q s
p r q s
pq rs p s
p q s
p q s
p r s
p r s
K x y
K x y
K x y
K x y
w w K x y
K x y
K x y
K x y
K x y
  
  
  
  
 
  
  
 
 
p q r s
 (3.42) 
trong đó các hệ số 1 9K K được xác định bởi: 
2 2
1 2
2 2
16 ;
p r q s p s
p r q s
D
K
   
  
 (Khi p r và :q s 1 0K ); 
2 2
2 2
2 2
16 ;
p r q s p s
p r q s
D
K
   
  
2 2
3 2
2 2
16 ;
p r q s p s
p r q s
D
K
   
  
2 2
4 2
2 2
16 ;
p r q s p s
p r q s
D
K
   
  
2 2
5 2
2 2
4 ;
p s
p s
D
K
 
 
2 2
6 2
22
8 ;
p s
p q s
D
K
 
  
2 2
7 2
22
8 ;
p s
p q s
D
K
 
  
2 2
8 2
2 2
8 ;
p s
p r s
D
K
 
 
2 2
9 2
2 2
8 .
p s
p r s
D
K
 
 
54 
Thay các biểu thức xác định trong (3.39) - (3.42), vào (3.37), ta biểu diễn 
được các thành phần phản lực: 
(1)
0 0 0 ;x pq rs pqrs
p q r s
N w w K  
(2)
0 0 0 .y pq rs pqrs
p q r s
N w w K  
(3.43) 
trong đó: các hệ số (1) (2),pqrs pqrsK K được trình bày trong Phụ lục 5. 
Thay và 0 0,x yN N vào (3.33) ta xác định được hàm ứng suất ( , );x y sau 
đó thay vào (3.22), ta được: 
 (33) (34) (35)0
(33)
0 0 0 0
mn mn xmn mn ymn mn
m n
mn pq rs mnpqrs
m n p q r s
w l l l
w w w g q
  


 (3.44) 
trong đó: ( ) ( , )mnl x y tương tự như trong phương pháp chuyển vị được trình bày 
ở Phụ lục 1. Các hàm số (3) ( , )mnpqrsg x y được trình bày ở Phụ lục 5. 
Từ đây, ta có hệ ba phương trình bao gồm hai phương trình cuối của (3.12) 
và (3.44) xác định 0 , , .x yw   
Nhân các biểu thức trong phương trình (3.44) với các hàm riêng tương ứng 
rồi thực hiện tích phân trên toàn bộ miền A của tấm, ta được: 
 (33) (34) (35)0
(33)
0 0 0 0
mn mnij xmn mnij ymn mnij
m n
mn pq rs mnpqrsij ij
m n p q r s
w L L L
w w w G F
  


 (3.45) 
Từ đây, ta có hệ ba phương trình bao gồm hai phương trình cuối của (3.12) 
và (3.45) xác định 0 , , .x yw   
 (43) (44) (45)0
1 1
0;
M N
mn mnij xmn mnij ymn mnij
m n
w L L L 
   (3.46) 
55 
 (53) (54) (55)0
1 1
0;
M N
mn mnij xmn mnij ymn mnij
m n
w L L L 
   
 (33) (34) (35)0
(33)
0 0 0 0.
mn mnij xmn mnij ymn mnij
m n
mn pq rs mnpqrsij ij
m n p q r s
w L L L
w w w G F
  


trong đó: ( ) ,mnij ijL F tương tự như trong phương pháp chuyển vị được trình bày 
ở Phụ lục 2 và (33) (33)
0 0
.
a b
mnpqrsij mnpqrs i jG g X Y dxdy 
Nghiệm gần đúng của hệ phương trình đại số phi tuyến (3.46) nhận được 
bằng phương pháp giải lặp Newton-Raphson, là véc tơ các hệ số 0 ; ; ;mn xmn ymnw   
từ đó xác định được các phần chuyển vị, biến dạng, ứng suất, nội lực của bài toán 
phân tích phi tuyến tĩnh. 
Trong các phân tích tuyến tính, bỏ qua các thành phần biến dạng phi tuyến 
trong công thức (2.30). Hệ phương trình đại số tuyến tính (3.47) thu được sau khi 
bỏ qua các thành phần phi tuyến (33)mnpqrsijG trong (3.46). 
 (43) (44) (45)0
1 1
0;
M N
mn mnij xmn mnij ymn mnij
m n
w L L L 
   
 (53) (54) (55)0
1 1
0;
M N
mn mnij xmn mnij ymn mnij
m n
w L L L 
   
 (33) (34) (35)0 0.mn mnij xmn mnij ymn mnij ij
m n
w L L L F   
(3.47) 
3.3.2. Theo lý thuyết tấm cổ điển 
Sử dụng hàm ứng suất Airy ( , )x y được định nghĩa theo (3.21) khi đó hai 
phương trình (2.23) - (2.24) tự thoả mãn. Phương trình (2.37) được viết lại theo 
chuyển vị và hàm ứng suất: 
4
11 0 , 0, , 0, , 0,
0 0, 0,
2
0
yy xx xy xy xx yy
w sx xx sy yy
C w w w w
K w K w K w q
  
 (3.48) 
56 
Hệ gồm các phương trình (3.25) và (3.48) là hệ phương trình chủ đạo để giải 
bài toán uốn theo phương pháp ứng suất. Đây là hệ phương trình phi tuyến với 2 ẩn 
số độc lập: 0 ,w , được thể hiện trong biểu thức (3.49): 
4
11 0 , 0, , 0, , 0,
0 0, 0,
2
, , , 0, 0, 0,
2
0;
2 .
yy xx xy xy xx yy
w sx xx sy yy
xxxx xxyy yyyy xy xx yy
C w w w w
K w K w K w q
D w w w
  
 (3.49) 
Trong phương pháp ứng suất, các điều kiện biên không thể tự do dịch chuyển 
trong mặt phẳng tấm được xem xét bao gồm: 
- Liên kết khớp 4 cạnh (SSSS): Tất cả bốn cạnh của tấm tựa bản lề: 
Tại x = 0, a: 0 0 0, 0xy xu w N M 
Tại y = 0, b: 0 0 0, 0xy yv w N M 
(3.50) 
- Liên kết ngàm 4 cạnh (CCCC): Tất cả bốn cạnh của tấm liên kết ngàm: 
Tại x = 0, a: 0 0 0, 0, 0x xyu w w N 
Tại y = 0, b: 0 0 0, 0, 0y xyv w w N 
(3.51) 
- Liên kết đối xứng ngàm 2 cạnh, khớp 2 cạnh (SCSC): Hai cạnh đối diện 
của tấm tựa bản lề, hai cạnh còn lại liên kết ngàm: 
Tại x = 0, a: 0 0 0, 0xy xu w N M 
Tại y = 0, b: 0 0 0, 0, 0y xyv w w N 
(3.52) 
Các điều kiện 0 0u (tại 0, x a ) và 0 0v (tại 0, y b ) được thỏa mãn 
theo nghĩa trung bình [63, 96] thể hiện theo (3.30), hàm ứng suất được chọn theo 
(3.33), 0 0, x yN N được tính theo (3.37). 
Trong phương pháp ứng suất, nghiệm chuyển vị 0w vẫn
được chọn dưới 
dạng khai triển tương tự như trong công thức (3.10). Lưu ý rằng, với cách chọn 
nghiệm không đổi so với phương pháp chuyển vị, sau khi thay các thành phần 
57 
chuyển vị này vào phương trình (2.38), kết quả thu được vẫn là phương trình cuối 
của (3.19) và (3.20). Do đó, dưới đây ta sẽ tập trung xác định hàm ứng suất theo 
0w và thay vào phương trình (3.48) để thu được phương trình theo 0.w 
Thay dạng nghiệm 0w từ (3.10) vào (3.42), ta được : 
 Điều kiện biên SSSS: 
1
2
0 0
3
4
cos cos
cos cos
;
cos cos
cos cos
pq rs
p q r s
p r x q s y
K
a b
p r x q s y
K
a b
w w
p r x q s y
K
a b
p r x q s y
K
a b
  
 
 
 (3.53) 
trong đó: , ; , ;p r q s
p r q s
a a b b
  
các hệ số 1 2 3 4, , ,K K K K được trình bày trong biểu thức (3.39). 
 Khi điều kiện biên là SCSC: 
1
2
3
0 0
4
5
6
2
cos cos
2
cos cos
2
cos cos
;
2
cos cos
2
cos cos
2
cos cos
pq rs
p q r s
p r x q s y
K
a b
p r x q s y
K
a b
p r x q s y
K
a b
w w
p r x q s y
K
a b
p r x s y
K
a b
p r x s y
K
a b
 (3.54) 
trong đó: các hệ số 1 6K K được trình bày trong biểu thức (3.41). 
58 
 Khi điều kiện biên là CCCC: 
1
2
3
4
0 0 5
6
7
8
9
2 2
cos cos
2 2
cos cos
2 2
cos cos
2 2
cos cos
2 2
cos cos
22
cos cos
22
cos cos
2 2
cos cos
2 2
cos cos
pq rs
p r x q s y
K
a b
p r x q s y
K
a b
p r x q s y
K
a b
p r x q s y
K
a b
p x s y
w w K
a b
q s yp x
K
a b
q s yp x
K
a b
p r x s y
K
a b
p r x
K
a
;
p q r s
s y
b

(3.55) 
trong đó: các hệ số 1 9K K được trình bày trong biểu thức (3.42). 
Thay các biểu thức xác định trong (3.53) - (3.55), vào (3.37), ta biểu diễn 
được các thành phần phản lực: 
(1)
0 0 0 ;x pq rs pqrs
p q r s
N w w K  
(2)
0 0 0 .y pq rs pqrs
p q r s
N w w K  (3.56) 
trong đó: các hệ số (1) (2),pqrs pqrsK K được trình bày trong Phụ lục 5. 
Thay và 0 0,x yN N vào (3.33) ta xác định được hàm ứng suất ( , );x y sau 
đó thay vào (3.48), ta được phương trình cân bằng theo 0w : 
(33) (33)
0 0 0 0 0;mn mn mn pq rs mnpqrs
m n m n p q r s
w l w w w g q   (3.57) 
trong đó: 
59 
(33) ( , )mnl x y tương tự như trong phương pháp chuyển vị được trình bày ở Phụ 
lục 3. 
(33) ( , )mnpqrsg x y được trình bày như trong công thức (3.44) thể hiện ở Phụ lục 6. 
Nhân các biểu thức trong phương trình với các hàm riêng tương ứng rồi thực 
hiện tích phân trên toàn bộ miền A của tấm, ta được: 
(33) (33)
0 0 0 0 0;mn mnij mn pq rs mnpqrsij ij
m n m n p q r s
w L w w w G F   (3.58) 
trong đó: 
  (33) (33) (33) (33)
0 0
, , ;
a b
mnij mnpqrsij mn mnpqrs i jL G l g X Y dxdy 
0 0
.
a b
ij i jF qX Y dxdy 
Nghiệm của phương trình đại số phi tuyến (3.58) là thành phần chuyển vị 
0mnw từ đó xác định được các phần chuyển vị, biến dạng, ứng suất, nội lực của bài 
toán phân tích phi tuyến tĩnh. 
Trong các phân tích tuyến tính, bỏ qua các thành phần biến dạng phi tuyến 
trong công thức (2.35), phương trình đại số tuyến tính thu được như (3.59) sau khi 
bỏ qua các thành phần phi tuyến (33)mnpqrsijG trong (3.58). 
(33)
0 0mn mnij ij
m n
w L F  (3.59) 
3.4. Kết quả số và thảo luận 
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM rỗng chịu uốn như Hình 3.1. Cả ba điều 
kiện biên được xét bao gồm SSSS, CCCC, SCSC đều không thể tự do dịch chuyển 
trong mặt phẳng tấm. 
Với nghiệm giải tích đã thiết lập ở phần trên, chương trình tính trên nền Matlab 
mang tên “NONLINEAR BENDING_FGP PLATES” được viết để thực hiện các ví dụ 
số. Các kết quả phân tích là phi tuyến trừ những trường hợp riêng được nói trước. Hai 
mô hình lý thuyết tấm: lý thuyết tấm bậc nhất (FSDT) và lý thuyết tấm cổ điển (CPT), 
60 
cùng với hai cách tiếp cận: tiếp cận ứng suất (US) và tiếp cận chuyển vị (CV), được sử 
dụng đồng thời trong các tính toán. 
Các công thức không thứ nguyên sau đây được sử dụng [109, 135]: 
0
24 2
0 03 3 3
0 0 0
4
0
0 4
1
1
, ; 
2 2
; ; 
1.0 GPa; .
syw sx
w
a b
w
h
K bK a K a
K J
E h E h E h
q a
E P
E h
 
 (3.60) 
3.4.1. Ví dụ kiểm chứng 
Trong phần này, tác giả tiến hành kiểm chứng độ tin cậy của chương trình 
máy tính và lời giải giải tích theo: tiếp cận ứng suất và tiếp cận chuyển vị. Qua 
nghiên cứu tổng quan, hiện tại chưa có công bố nào phân tích uốn phi tuyến của tấm 
chữ nhật vật liệu FGM rỗng. Do đó, luận án sẽ tiến hành kiểm chứng cho một 
trường hợp riêng của vật liệu FGM rỗng: vật liệu đẳng hướng 0 0e . Các ví dụ 
kiểm chứng bao gồm: 
 Ví dụ 1: Kiểm chứng độ võng không thứ nguyên của tấm đẳng hướng điều 
kiện biên khớp 4 cạnh. 
 Ví dụ 2: Kiểm chứng độ võng không thứ nguyên của tấm đẳng hướng điều 
kiện biên SCSC. 
 Ví dụ 3: Kiểm chứng độ võng không thứ nguyên của tấm đẳng hướng với 
các điều kiện biên SSSS, SCSC, CCCC (kết quả được so sánh với phương 
pháp phần tử hữu hạn). 
a. Ví dụ kiểm chứng 1: Kiểm chứng độ võng của tấm bằng vật liệu đẳng hướng điều 
kiện biên khớp trên 4 cạnh 
Xét tấm vuông dày, vật liệu đẳng hướng ( 67,8.10 psi, 0.3E  ) điều kiện 
biên khớp bốn cạnh (SSSS-CV, SSSS-US) với 1in., 10 ,h a b h chịu tác dụng 
của tải trọng phân bố đều. 
61 
Để đảm bảo độ hội tụ của kết quả, độ võng không thứ nguyên tại tâm tấm 
w được tính toán với số số hạng trong chuỗi được lấy với (M=N=3). Bảng 3.2, là 
kết quả độ võng theo lý thuyết FSDT và CPT với hai cách tiếp cận: theo tiếp cận 
ứng suất và theo tiếp cận chuyển vị, với các mức tải trọng khác nhau. Có thể 
thấy rằng độ võng nhận được theo hai cách tiếp cận là xấp xỉ nhau và có sai lệch 
không đáng kể so với các công bố của Putcha và Reddy [82] sử dụng phương 
pháp phần tử hữu hạn dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao 5 ẩn chuyển vị, 
của Kapoor và Kapania [47] sử dụng phương pháp đẳng hình học dựa trên lý 
thuyết biến dạng cắt bậc nhất. 
Bảng 3.2. Độ võng không thứ nguyên w của tấm vuông đẳng hướng điều kiện SSSS 
dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều (M = N = 3) 
P 6.25 12.5 25 50 100 
Putcha và Reddy [82] 0.279 0.463 0.6911 0.9575 1.2688 
Kapoor và Kapania [47] 0.2784 0.4626 0.691 0.9579 1.2696 
FSDT-US 0.2637 0.4455 0.6727 0.9315 1.2166 
FSDT-CV 0.2639 0.4466 0.6774 0.9481 1.2637 
CPT-US 0.2541 0.4361 0.6700 0.9456 1.2660 
CPT-CV 0.2540 0.4358 0.6693 0.9444 1.2644 
b. Ví dụ kiểm chứng 2: Kiểm chứng độ võng của tấm đẳng hướng điều kiện biên SCSC 
Xét tấm vuông vật liệu đẳng hướng điều kiện biên hai cạnh đối diện tựa 
khớp, hai cạnh còn lại liên kết ngàm (SCSC) dưới tác dụng của tải trọng phân bố 
đều 0q với / 0.05,h a 0.3, 
7
1 0.3 10 psi.E 
Bảng 3.3 thể hiện kết quả độ võng không thứ nguyên w tại tâm tấm với các 
tham số tải trọng uốn P khác nhau. Các kết quả tính toán của luận án cũng cho thấy 
sai lệch không đáng kể khi so sánh với kết quả của Lei [59] sử dụng phương pháp 
phần tử biên (boundary element method) dựa trên lý thuyết tấm bậc nhất, và của 
62 
Azizian và Dawe [13] sử dụng phương pháp dải hữu hạn (finite strip method) sử 
dụng lý thuyết tấm Mindlin. 
Bảng 3.3. Độ võng không thứ nguyên w của tấm vuông đẳng hướng điều kiện biên 
SCSC dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều 4 40 1 /q PE h a 
P 0.9158 4.5788 6.8681 9.1575 
Azizian và Dawe [13] 0.0199 0.0988 0.1469 0.1936 
Lei [59] 0.0199 0.0984 0.1455 0.1904 
FSDT-US 0.0198 0.0982 0.1461 0.1929 
FSDT-CV 0.0198 0.0981 0.1459 0.1922 
CPT-US 0.0191 0.0951 0.1416 0.1870 
CPT-CV 0.0191 0.0950 0.1413 0.1865 
c. Ví dụ kiểm chứng 3: Kiểm chứng độ võng của tấm đẳng hướng điều kiện biên 
SSSS, SCSC, CCCC (so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn) 
Xét tấm vuông đẳng hướng: a/h = 10, E = Ec = 322.27 GPa (Si3N4), 
 0.28 , chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều 
4
0 4
mE hq P
a
 ,
207.78GPa (SUS304).mE 
Bảng 3.4. Độ võng không thứ nguyên không thứ nguyên w của tấm vuông đẳng 
hướng dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều 
Phương pháp P = 4 P = 8 P = 12 P = 16 P = 20 P = 40 
Điều kiện biên SSSS 
Talha và Singh [106] 0.1200 0.2251 0.3185 0.3911 0.4597 0.6984 
FSDT-PPUS 0.1188 0.2253 0.3156 0.3918 0.4569 0.6845 
FSDT-PPCV 0.1189 0.2254 0.3160 0.3927 0.4583 0.6908 
CPT-PPUS 0.1138 0.2174 0.3070 0.3837 0.4500 0.6875 
63 
CPT-PPCV 0.1138 0.2174 0.3069 0.3835 0.4497 0.6868 
Điều kiện biên SCSC 
Talha và Singh [106] 0.0602 0.1193 0.1764 0.2306 0.2811 0.4942 
FSDT-PPUS 0.0595 0.1180 0.1748 0.2293 0.2812 0.5003 
FSDT-PPCV 0.0594 0.1179 0.1745 0.2286 0.2800 0.4953 
CPT-PPUS 0.0544 0.1083 0.1610 0.2121 0.2614 0.4764 
CPT-PPCV 0.0544 0.1082 0.1606 0.2113 0.2599 0.4693 
Điều kiện biên CCCC 
Talha và Singh [106] 0.0405 0.0808 0.1207 0.1598 0.1981 0.3698 
FSDT-PPUS 0.0395 0.0788 0.1178 0.1563 0.1942 0.3714 
FSDT-PPCV 0.0395 0.0788 0.1177 0.1560 0.1936 0.3681 
CPT-PPUS 0.0360 0.0719 0.1076 0.1430 0.1780 0.3453 
CPT-PPCV 0.0360 0.0718 0.1074 0.1425 0.1772 0.3397 
Độ võng không thứ nguyên tại tâm tấm w được tính toán và so sánh với kết 
quả của Talha và Singh [106] sử dụng phương pháp PTHH (phần tử C0, 13 bậc tự 
do tại mỗi nút) dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao với 7 ẩn số chuyển vị độc 
lập. Các kết quả kiểm chứng thể hiện trên Bảng 3.4 được áp dụng với cả 3 dạng 
điều kiện biên SSSS, SCSC và CCCC với các trị số tải trọng uốn khác nhau. Có thể 
thấy rằng, sai lệch giữa các kết quả trong luận án và kết quả của Talha và Singh 
[106] là rất bé (dưới 2.5%). 
Như vậy, qua các ví dụ kiểm chứng 1, 2 và 3, có thể thấy rằng lời giải 
theo cả hai cách tiếp cận: theo ứng suất và theo chuyển vị, được xây dựng trên 
hai mô hình lý thuyết tấm FSDT và CPT, cũng như chương trình máy tính mà 
luận án xây dựng có độ tin cậy. 
64 
3.4.2. Khảo sát ảnh hưởng của các tham số: vật liệu, tải trọng phân bố, điều kiện 
biên, nền đàn hồi và tham số hình học 
Xét tấm chữ nhật vật liệu FGM rỗng - metal foam (E1 = 200GPa, ν = 1/3) đặt trên 
nền đàn hồi, dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều 4 40 1 / .q PE h a Dưới đây, ảnh 
hưởng của dạng phân bố lỗ rỗng, hệ số lỗ rỗng, các tham số về: tải trọng phân bố, điều 
kiện biên, nền đàn hồi và tham số hình học lên ứng xử uốn của tấm sẽ được khảo sát. 
a. Khảo sát độ hội tụ của lời giải giải tích 
Trước khi tiến hành khảo sát khảo sát số về ảnh hưởng của các tham số, luận 
án thực hiện việc kiểm chứng độ hội tụ của lời giải giải tích. 
Bảng 3.5 trình bày các kết quả phân tích phi tuyến độ võng không thứ 
nguyên w của tấm vuông vật liệu FGM rỗng (Dạng 2, h = 0.1 m, a/h = 10 
(FSDT), a/h = 50 (CPT), b/a = 1, e0 = 0.5, P = 10, K0 = J0 = 0) với các loại điều 
kiện biên khác nhau. 
Số số hạng trong các khai triển chuỗi lượng giác kép tăng từ M, N = 1 đến M, 
N = 4. Có thể thấy rằng nghiệm giải tích có sự hội tụ rõ ràng khi tăng M, N; và với 
chương trình tính bằng Matlab thực hiện trên máy tính cá nhân, các kết quả có thể 
được xem là hội tụ khi lấy M, N = 3 (sai số lớn nhất về độ võng không thứ nguyên 
w khi lấy M, N = 3 so với khi lấy M, N = 4 là 0.78% trong trường hợp biên CCCC-
CV). Do đó, trong các khảo sát tiếp theo sẽ tính toán với giá trị M, N = 3. 
Bảng 3.5. Độ võng không thứ nguyên w của tấm vuông FGM rỗng (Dạng 2) với số 
số hạng khác nhau trong khai triển chuỗi lượng giác kép 
Điều kiện biên M, N = 1 M, N = 2 M, N = 3 M, N = 4 
FSDT (a/h = 10) 
SSSS-CV 0.4644 0.4447 0.4466 0.4461 
SSSS-US 0.4627 0.4436 0.4458 0.4452 
SSSS (TT)
*
 0.5804 0.5620 0.5640 0.5634 
65 
SCSC-CV 0.2812 0.2666 0.2755 0.2750 
SCSC-US 0.2782 0.2675 0.2769 0.2766 
SCSC (TT) 0.2906 0.2803 0.2904 0.2902 
CCCC-CV 0.1974 0.1837 0.1946 0.1931 
CCCC-US 0.1961 0.1842 0.1957 0.1942 
CCCC (TT) 0.1988 0.1867 0.1983 0.1969 
CPT (a/h = 50) 
SSSS-CV 0.4460 0.4307 0.4318 0.4316 
SSSS-US 0.4444 0.4311 0.4321 0.4319 
SSSS (TT) 0.5418 0.5281 0.5292 0.5290 
SCSC-CV 0.2467 0.2364 0.2404 0.2402 
SCSC-US 0.2448 0.2371 0.2414 0.2412 
SCSC (TT) 0.2522 0.2445 0.2490 0.2489 
CCCC-CV 0.1664 0.1576 0.1625 0.1620 
CCCC-US 0.1657 0.1579 0.1631 0.1626 
CCCC (TT) 0.1671 0.1592 0.1644 0.1639 
*
Kết quả phân tích tuyến tính tương ứng. 
b. Khảo sát ảnh hưởng của tỷ số a/h và điều kiện biên 
Độ võng không thứ nguyên w của tấm FGM rỗng (Dạng 2): 0 0.5e , 
 = 0.1 h m , / 1b a , 0 0 10, 0P K J , với tỷ số kích thước tấm a/h, và các điều 
kiện biên khác nhau được tính toán và thể hiện trong Bảng 3.6. Đồ thị biến thiên của 
độ võng theo tỷ số a/h được trình bày tương ứng trên Hình 3.5. Các kết quả phân 
tích phi tuyến của luận án được thực hiện đồng thời theo hai cách tiếp cận chuyển vị 
và tiếp cận ứng suất. 
66 
Bảng 3.6. Độ võng không thứ nguyên w của tấm vuông FGM rỗng với các tỷ số 
kích thước tấm a/h khác nhau 
Điều kiện 
biên 
FSDT 
 a/h 
 CPT 
 5 10 30 50 
SSSS-CV 0.4832 0.4466 0.4335 0.4324 0.4318 
SSSS-US 0.4802 0.4458 0.4331 0.4320 0.4321 
SSSS (TT)
*
 0.6685 0.5640 0.5330 0.5306 0.5292 
SCSC-CV 0.3619 0.2755 0.2445 0.2419 0.2404 
SCSC-US 0.3643 0.2769 0.2455 0.2429 0.2414 
SCSC (TT)
*
 0.4086 0.2904 0.2537 0.2507 0.2490 
CCCC-CV 0.2813 0.1946 0.1662 0.1639 0.1625 
CCCC-US 0.2846 0.1957 0.1668 0.1645 0.1631 
CCCC (TT)
*
 0.2965 0.1983 0.1682 0.1658 0.1644 
*
Kết quả phân tích tuyến tính tương ứng. 
Từ Bảng 3.6 và đồ thị trên Hình 3.5, ta thấy: 
- Về ảnh hưởng của điều kiện biên: rõ ràng là các biên SSSS có độ võng lớn 
nhất, sau đó đến biên SCSC, biên CCCC có độ võng nhỏ nhất; các biên hạn chế 
chuyển vị trong mặt phẳng có độ võng bé hơn so với biên không hạn chế chuyển vị 
trong mặt phẳng. 
- Về ảnh hưởng của tỷ số a/h: Khi a/h tăng thì kết quả tính theo FSDT dần 
tiệm cận đến kết quả tính theo CPT. Đối với lý thuyết tấm FSDT, khi tăng tỷ số a/h, 
độ võng không thứ nguyên w giảm nhanh khi a/h còn nhỏ (tấm dày, a/h ≤ 10); sau 
đó độ võng w giảm chậm lại và thay đổi rất ít khi a/h lớn (a/h ≥ 30). Trong khi đó 
với lý thuyết tấm CPT thì độ võng w là hằng số, không phụ thuộc vào tỷ số a/h. 
67 
Qua đó có thể thấy rằng, lý thuyết tấm cổ điển chỉ phù hợp trong trường hợp 
tấm mỏng. Các khảo sát số tiếp theo, các phân tích uốn cho tấm dày được thực hiện 
với lý thuyết FSDT để đảm bảo độ chính xác, còn lý thuyết tấm CPT sẽ được thực 
hiện cho tấm mỏng. 
(a) 
(b) 
Hình 3.5. Biến thiên độ võng w của tấm FGM rỗng theo tỷ số kích thước tấm a/h với 
các điều kiện biên khác nhau: (a) - Phân tích phi tuyến; (b) - Phân tích tuyến tính 
c. Khảo sát ảnh hưởng của tham số tải trọng uốn P đến độ võng và các thành phần 
mô men 
Xét tấm vuông, vật liệu FGM rỗng: h = 0.1 m, b/a = 1, e0 = 0.5, P = 10, K0 = 
J0 = 0, điều kiện biên khớp 4 cạnh. 
Từ Bảng 3.7 đến Bảng 3.9 trình bày các kết quả phân tích phi tuyến và tuyến 
tính về độ võng không thứ nguyên w và mô men uốn , , x y xyM M M của tấm vuông 
dày, vật liệu FGM rỗng (h = 0.1 m, b/a = 1, e0 = 0.5, P = 10, K0 = J0 = 0, a/h = 10 
theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, với các tham số tải trọng P