Luận án Phát hiện hư hỏng của kết cấu dạng thanh dầm bằng phương pháp hàm phổ phản ứng

a luận án. 
2.2. Công thức chính xác của hàm phổ phản ứng và hàm độ cong phổ phản ứng 
của dầm có vết nứt 
 Để thu được công thức chính xác của dầm Euler-Bernoulli có chứa n vết nứt, 
ta sẽ sử dụng công thức dạng riêng của dầm có chứa n vết nứt đã được các tác giả 
Caddemi và Caliò trình bày trong [42], và xác định các đại lượng lượng liên quan và 
thay vào công thức (2.21). 
 Xét dầm đồng chất Euler-Bernoulli có vết nứt (hình 2.2): 
37 
Hình 2.2. Dầm Euler-Bernoulli có vết nứt. 
 Công thức dạng riêng của dầm có vết nứt trong [42] như sau: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 0 0 0
1
2 0 0 0
1
3 0 0 0
1
4
1
sin sinh sin
2
1
sin sinh cos
2
1
sin sinh sinh
2
1
si
2
n
k i i k i k i i k
ik
n
i i k i k i i k
ik
n
i i k i k i i k
ik
i i
k
C H
C H
C H
C
          
       
       

=
=
=
 
= − + − − +  
 
 
+ − + − − +  
 
 
+ − + − − +  
 
+



( ) ( ) ( )0 0 0
1
n sinh cosh
n
k i k i i k
i
H       
=
 
− + − − +  
 

 (2.22) 
với: C1, C2, C3, C4 được tính từ các điều kiện biên; k là tham số tần số không thứ 
nguyên: 
2 4
4
k
k mL
EI

 = ; 0i là vị trí của vết nứt thứ i, với 01 02 00 ... 1n   ; H là 
hàm Heaviside, ( ) 00
0
0
1
i
i
i
H
khi
khi
 
 
 
− = 
. 
 Các tham số μ, ν, ζ, η, λ được cho dưới dạng từ [42]: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
2
0 0 0 0 0 0
1
1
2
0 0 0 0 0 0 0
1
2
0 0 0 0 0 0 0
sin sinh sin
2
sin sinh cos
2
sin sinh sinh
2
j
k
j i i k j i k oj i j i k k j
i
j
k
j i i k j i k j i j i k k j
i
k
j i i k j i k j i j i k k j
i
H
H
H
         
        
        
−
=
−
=
=
 = − − + − − − 
 = − − + − − − 
 = − − + − − + 


( ) ( ) ( )
1
1
1
2
0 0 0 0 0 0 0
1
sin sinh cosh
2
j
j
k
j i i k j i k j i j i k k j
i
H
        
−
−
=
 = − − + − − + 


 (2.23) 
với: λi là tham số độ sâu vết nứt, 
( )5.346i
h
L g s
 =
. 
f(t) 
38 
 Trong đó: 
( ) 2 3 4 5
6 7 8 9 10 
1.86 3.95 16.375 37.226
76.81 126.9 172 143.97 66.56 
i i i i
i i i i i
g s s s s s
s s s s s
= − + −
+ − + − +
 ii
d
s
h
= tỷ lệ độ sâu vết nứt di trên độ dày h của dầm. 
 Do ảnh hưởng của vết nứt có tính địa phương và khi vết nứt là nhỏ thì các ảnh 
hưởng này lên hàm phổ phản ứng sẽ là nhỏ và rất khó có thể phát hiện bằng mắt 
thường nên để khuếch đại ảnh hưởng cục bộ này của vết nứt lên hàm phổ phản ứng, 
tác giả luận án có đưa vào khái niệm mới đó là: “Hàm độ cong phổ phản ứng”, được 
định nghĩa là đạo hàm bậc hai đối với biến không gian  của hàm phổ phản ứng. Từ 
(2.21) ta có, công thức hàm độ cong phổ phản ứng được tính như sau: 
( ) ( )
( )
( )
2 2
12 2 2 2
2
1
0
, , 1f n f n
n n
n
d
dm d
       
     
=

=
 −

 (2.24) 
 Dựa vào công thức (2.24) ta có thể thấy để xác định được hàm độ cong phổ 
phản ứng của dầm có vết nứt thì ta cần xác định dạng riêng của dầm có vết nứt và 
đạo hàm bậc hai 
( )2
2
kd
d
 

và tích phân bình phương ( )
1
2
0
k d   của dạng riêng đối 
với dầm có chứa nhiều vết nứt. 
 Để xác định tích phân bình phương của dạng riêng của dầm có vết nứt, trước 
tiên ta tính bình phương của dạng riêng của dầm có vết nứt. Từ phương trình dạng 
riêng của dầm có nhiều vết nứt (2.22), ta có: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 02
1 1
2 0 3 0
1 1
4 0 5 0
1 1
2 2 2 2
1 2
1
, ,
4
1 1
, sin , cos
1 1
, sinh , cosh
sin cos
n n
k i j i k j k i
i jk
n n
i i k k i i i k k i
i ik k
n n
j i k k i i i k k i
i ik k
k k
A S S H H
A S H A S H
A S H A S H
C C C
         
         
         
  
= =
= =
= =
= − −
+ − + −
+ − + −
+ + +

 
 
oj
2 2 2 2
3 4 1 2
1 3 1 4 2 3
2 4 3 4
sinh cosh 2 sin 2
2 C sin sinh 2 sin cosh 2 cos sinh
2 cos cosh 2 sinh 2
k k k
k k k k k k
k k k
C C C
C C C C C
C C C C
   
      
   
+ +
+ + +
+ +
 (2.25) 
39 
với: 
2 2 2 2
1 1 2 3 4 1 2
1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
2
2 1 1 2 1 3 1 4
2
3 2 1 2 2 3 2 4
2
4 3 1 3 2 3 3 4
2
5 4 1 4
2
2 2 2 2 2 ;
;
;
;
i j i j i j i j i j
i j i j i j i j i j
i i i i
i i i i
i i i i
i i
A C C C C C C
C C C C C C C C C C
A C C C C C C C
A C C C C C C C
A C C C C C C C
A C C C
       
        
   
   
   
 
= + + + +
+ + + + +
= + + +
= + + +
= + + +
= + 2 4 3 4i iC C C C + +
 (2.26) 
 Từ phương trình (2.25), ta có thể xác định tích phân bình phương của dạng 
riêng của dầm nhiều vết nứt bằng cách sử dụng tính chất của hàm Heaviside như sau: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
1 1
0 0
0
1
i
i if H d f d F F
      − = = − (2.27) 
 Với F là nguyên hàm của f . Ta có: 
 ( ) ( )
( )
( )
0
0 0
0
i
i i
j
H i j
H
h
H
H i i j
k i
kh
 
   
 
 − 
 − − =
− 
 (2.28) 
 Từ phương trình (2.27) và phương trình (2.28) ta có: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
0 01 0
0 0 10
0 0
0
 1 
 1 
i i
i j
j j
f H d F F i j
f H H d
f H d F F h i j
khi
k i
    
     
    
 − = − 
 − − =
− = − 
 (2.29) 
 Phương trình (2.29) không thể trực tiếp sử dụng để suy ra công thức chính xác 
của ( )
1
2
0
k d   . Tuy nhiên, ta có thể viết lại phương trình (2.29) bằng các sử dụng 
hàm delta Dirac như sau: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
0 0
0
0 0 0 0 0 01
i j
i i j j oj i i ij
f H H d
F F H F H F
     
       
− − =
− − − − +
 (2.30) 
với ij là chỉ số Kronecker, 
0
1
ij
i jkhi
k ji ih

= 
= 
. 
 Thay phương trình (2.25) vào phương trình (2.30), ta có thể xác định tích phân 
bình phương của dạng riêng của dầm. Điều thú vị là trong công thức thu được thành 
40 
phần ( )i ijF   triệt tiêu và từ đó ta thu được công thức sau : 
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
2
120
1 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
1
4
1 1 1
cos sin 2 cosh
2 4 2
1 1
sin 1 cosh 1 sin 1 cosh 1
2 2
n n
k i j
i jk
k i j k i j k i j
k
k i k j k j k i
k k
d A    
      
    
= =
=
 − − − − − − 
+ − − + − −
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0
1 1
cos 1 sinh 1 cos 1 sinh 1
2 2
1
c
osh 1 si
nh 1
2
1 1
cos si
n
2 2
k i k j k j k i
k k
k j k i
k
i k i j k i j
k
    
  
    
− − − − − −
+ − −
− − + − 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
i
1
cosh sinh
1 1
cos
s n
2 2
cosh
1
i k i j k i j i j
k
i k j i k j i
k
i k j i i j
i
k
H
H
      
    
    

− − − − − 
− − + − 
 − − − 
+ ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 0 0 0 0
1
0 0
3 0 0 0 0
1
1 1 1
1 cos sin sin 2
2 4 4
1 1
sin cosh 1 cos sinh 1
2 2
1 1 1 1
1 sin c s os co 2
2 4 4
n
i k i k i k i
i k k
k k i k k i
k k
n
i i k i k i k i
ik k k
A
A
   
  
    
=
=
− − − − 
+ − − − 
+ − − − − − 


( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0
4 0 0 0 0
1
0 0
s
1 1
sin sinh 1
2
cos cosh 1
2 2
1 1 1 1
1 cosh inh sinh 2
4 4
1 1
sin 1 cosh c n
os 1 si h
2 2
1
k k i k k i
k k
n
i i k i k i k i
ik k k
k i k k i k
k k
i
k
A
  
    
   

=
+ − + − 
+ − − + + − 
+ − − − 
+

( ) ( )
( ) ( )
5 0 0 0 0
1
0 0
1 1 1
1 sinh cosh cosh 2
2 4 4
1 1
sin 1 sinh cos 1 cosh
2 2
n
i k i k i k i
i k k
k i k k i k
k k
A
a
   
   
=
− − + + − 
+ − − − 

41 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
1 2 3 4 2 1 3 4
1 3 2 4 2 4 1 3
1 4 2 3 2 3 1 4
2 2 2 2
1 2 3 4 1 4 2 3
sin sinh sin 2 sinh 2
4 4
sin cosh cos sinh
sin sinh cos cosh
1 1
2
k k k k
k k k k
k k k k
k k
k k k k
k k
k
C C C C C C C C
C C C C C C C C
C C C C C C C C
C C C C C C C C
+ + + − + + 
+ + + −
+ + + −
+ + − + + − 
 (2.31) 
 Thế các phương trình (2.31), (2.22) vào phương trình (2.21) ta thu được công 
thức chính xác hàm phổ phản ứng của dầm có nhiều vết nứt. 
 Từ phương trình (2.22) ta xác định đạo hàm bậc hai của dạng riêng của dầm 
có vết nứt như sau : 
 Đặt: ( ) ( ) ( ), sin sinhk k oi k oiS     = − + − . Khi đó, đạo hàm bậc hai ( )SH
với H là hàm Heaviside có thể được tính như sau: 
 ( ) 2SH S H SH S H = + + (2.32) 
 Áp dụng các tính chất của hàm Heaviside và hàm delta Dirac [90]: 
 ( ) ( )H    = (2.33) 
 ( ) ( ) ( ) ( )'f f      = − (2.34) 
 Thay (2.33) vào (2.32), ta có: 
 ( ) 2 2SH S H S S S H S S S H S     = + + = − + = + (2.35) 
hay: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
0 0 0
0 0 0
sinh sin
cos cosh
k k i k i i
k k i k i i
SH H      
       
 = − − − − 
+ − + − − 
 (2.36) 
 Từ phương trình (2.22) và phương trình (2.36), ta có đạo hàm bậc hai của dạng 
riêng được suy ra như sau: 
42 
( )
( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( )
2
1 0 0 02
1
2
0 0 0 1
2 0 0 0
1
2
0 0 0 2
3
1
sinh sin
2
cos cosh sin
1
sinh sin
2
cos cosh cos
1
2
n
k
i i k k i k i i
i
k i k i i k k
n
i i k k i k i i
i
k i k i i k k
d
C H
d
C
C H
C
C
 
       

        
      
        

=
=
= − − − − 
+ − + − − − 
+ − − − − 
+ − + − − − 
+


( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( )
0 0 0
1
2
0 0 0 3
4 0 0 0
1
2
0 0 0 4
sinh sin
cos cosh sinh
1
sinh sin
2
cos cosh cosh
n
i i k k i k i i
i
k i k i i k k
n
i i k k i k i i
i
k i k i i k k
H
C
C H
C
      
        
      
        
=
=
− − − − 
+ − + − − + 
+ − − − − 
+ − + − − + 


 (2.37) 
 Thay các phương trình (2.31), (2.37) vào phương trình (2.24) ta thu được công 
thức chính xác của hàm độ cong phổ phản ứng. 
 Sau đây luận án sẽ trình bày cụ thể công thức chính xác của hàm độ cong phản 
ứng đối với dầm có vết nứt trong trường hợp điều kiện biên hai đầu gối tựa. Đối với 
dầm có một số điều kiện biên khác sẽ được trình bày phần Phụ lục B trang 119 của 
luận án. 
 Từ điều kiện biên dầm hai đầu gối tựa, ta có: 
( ) ( )
( ) ( )
2 4 3
0 0
1
1
0 0
1
0; 1;
1
sin 1 sinh 1 sinh
2
1
sin 1 sinh 1 sin
2
n
i i k i k i k
ik
n
i i k i k i k
ik
C C C
C
   
    
=
=
= = =
− + − + 
= −
− + − + 


 (2.38) 
 Thay phương trình (2.38) vào phương trình (2.22) ta có: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 0
1
1
1
sin sinh sin
2
1
sin sinh sinh
2
n
k i i k oi k i oi k
ik
n
i i k oi k oi oi k
ik
C H
H
          
       
=
=
 
= − + − − +  
 
+ − + − − + 


 (2.39) 
 Để đơn giản, ta đặt: 
43 
( ) ( ) ( ) ( )
1 11 ; 1 ; ; ;
; ;
; ; ; ;
sin sinh ;; sin sinh
i i j j i i j j
ij i j ji j i
i i j j ij ij ji ji
i k i k i j k j k j
H H H H H H H H
S S
         
     
   
    
= − = − = − = −
= − = −
= = = =
= + = +
. 
 (2.40) 
 Thay phương trình (2.40) vào phương trình (2.39), ta có dạng riêng của của 
dầm hai đầu gối tựa có chứa n vết nứt: 
( ) 1
1
1
sin sinh sin
2
sin sinh sinh
2
n
i i
k k i k i i k
i k
n
i i
k i k i i k
i k
C H
H
 
    

   
=
=
 
 = + +  
 
 
 + + +  
 


 (2.41) 
với: 
1 1
1
1
1 1
1
1
sin sinh sinh
2
1
sin sinh sin
2
n
i i k i k i k
ik
n
i i k i k i k
ik
C
   
    
=
=
 + + 
= −
 + + 


. 
 Thay phương trình (2.40) vào phương trình (2.23), ta có : 
( )
( )
1
2
1
1
2
1
2 3 4 5
6 7
sin sinh sin ;
2
sin sinh sinh ;
2
;
5,346
1,86 3,95 16,375 37,226
76,81 126,9 172 
j
k i i
j k ji k ji ji k k j
i
j
k i i
j k ji k ji ji k k j
i
i
i i i i
i i
H
H
h
L g s
g s s s s s
s s
  
   
 
   

−
=
−
=
 = − + − 
 = − + + 
=
= − + −
+ − +


8 9 10143,97 66,56 .i i is s s− +
 (2.42) 
 Từ các phương trình (2.41), ta thu được công thức bình phương dạng riêng: 
( ) 12 2
1 1
32
1
2 2 2
1 1
i
4
sin sinh
sin s nh 2 si n sin
 h
n n
i j
k i j i j
i j k
n
ji
k i k i i
i k k
k k k k
A
S S H H
AA
S S H
C C
 
 

  
    
= =
=
=
+ + 
+ + +

 (2.43) 
trong đó: 2 2
1 1 1 2 1 1 3 12 ; ;i j i j i j i i i iA C C A C C A C        = + + = + = + .
 Từ phương trình (2.43) ta lấy tích phân từ 0 đến 1 ta có: 
44 
( )
( )1 1 1 11 12
20
1 1
1 1 1 1
sin sin cosh
cos cosh
8 2
sinh cos sin cosh
n n
i ji j k i k i
k k ij k ij
i j k k k
k j k i k j k i
k k
A
d
    
    
    
= =
 + 
= − − + 
− +
 
1 1 1 1
sinh cos sinh cosh
s
in sinh
co 
s cos
h
2
k i k j k i k j
k k
k ij k ij
i k ij i k ij ij
k k
H
    
  
   
− +
− + − − 
( )12
1
si
n
cos cosh
2
sin 2 s
in
cos
2
2
2
k ji
j k ji j k ji ji
k
n
k ii k i
i k i
i k k k
H
A
 
   
  
 
 =
 
− + − 
 
− 
+ − − 

( )
1 1
13
1
1 1
sin cosh sinh cos
sinh 2 sinh
co
sh
2 2 2
sin cosh sin
o
h
c s
k k i k i k
k k
n
k ii k i
i k i
i k k k
k i k k k i
k
A
   
  
 
  
=
+ − 
− 
+ − + + 
+ −

( )2 21 1 1 11 sin 2 sinh 2 sin cosh sinh cos
2
4
4
k
k k k k k k
k k k k
C C C C 
−
+ − + + −
 (2.44) 
 Từ các phương trình (2.38),(2.40) và (2.37) ta có: 
( ) ( )
( ) ( ) 
( )
"
1
1
2
1
sinh sin
2
cos cosh sin
sinh sin
2
n
i i
k k k i k i i
i
k i k i i k k
n
i i
k k i k i i
i
C H
H
 
   
     

  
=
=
 = − 
 + + −
 + − 


( ) ( ) 2 i h s co s co h s nk i k i i k k      + + + 
 (2.45) 
 Thay các phương trình (2.41), (2.44),(2.45) vào phương trình (2.24) ta được 
công thức chính xác của hàm độ cong phản ứng của dầm 2 đầu gối tựa có n vết nứt. 
2.3. Hàm độ cong phổ phản ứng của dầm có nhiều vết nứt bằng phương pháp 
45 
phần tử hữu hạn 
 Ta có, công thức tổng quát của hàm phổ phản ứng của dầm trong phương pháp 
PTHH được Ewins sử dụng [91] như sau: 
 ( ) ( )
1
2 2
.
.
T
r  
−
= − 
α Φ Φ (2.46) 
trong đó: ( ) 1 1 2 22 2 2 2 2 2 2 2
11 2
...
jkAn
j k j k jn kn
jk
rn r
r     
 
       =
= + + + =
− − − −
 ; Φ dạng riêng, ωr là 
tần số riêng của dầm; ω là tần số lực kích động; jk
A
r được gọi là phần dư (residue). 
 Từ đó, hàm độ cong phổ phản ứng của dầm được coi như là đạo hàm bậc hai 
theo tọa độ dọc theo chiều dài của dầm, được biểu diễn như sau: 
 ( )
( )2
2x



=

α
χ (2.47) 
 Dựa vào công thức (2.47), để xác định được hàm độ cong phổ phản ứng, ta 
cần phải xác định các giá trị tần số riêng và dạng riêng của dầm có vết nứt. 
 Xét phương trình trị riêng của dầm không cản có vết nứt: 
 t t+ =My( ) Ky( ) 0 (2.48) 
trong đó: M và K lần lượt là ma trận độ cứng tổng thể và ma trận khối lượng tổng thể; 
y là chuyển vị nút của dầm. 
 Khi có vết nứt, ma trận độ cứng tổng thể K được ghép từ các ma trận độ cứng 
phần tử: Ke đối với phần tử nguyên vẹn và Kc đối với phần từ vết nứt. Ở đây, vết nứt 
được coi như không ảnh hưởng đến khối lượng của kết cấu nên ma trận khối lượng 
M tổng thể được ghép nối từ các ma trận khối lượng phần tử Me. Ta có, ma trận độ 
cứng phần tử Ke và ma trận khối lượng phần tử Me được tính theo công thức: 
2 2 2 2
3
2 2 2 2
12 6 12 6 156 22 54 13
6 4 6 2 22 4 13 3
;
12 6 12 6 54 13 156 224
20
6 2 6 4 3
1
3 2 4
2
e e
l l l l
l l l l l l l lEI ml
l l l ll
l l l l l l l l
− − 
 − −
 = =
 − − − −
− − − − 
K M (2.49) 
trong đó: I là Mô-men quán tính; E là Mô-đun đàn hồi; m là khối lượng và l độ dài 
46 
của phần tử. 
 Ma trận độ cứng phần tử vết nứt Kc được xác định như sau: 
 Xét kết cấu dạng dầm được chia nhỏ thành các phần tử và ứng xử của các phần 
tử đặt bên phải của phần tử vết nứt giống như ngoại lực tác động lên phần tử vết nứt 
còn ứng xử của các phần tử bên trái bị ràng buộc như hình (hình 2.3). 
Hình 2.3. Ứng xử của phần tử bên trái vết nứt. 
 Năng lượng biến dạng của một phần tử nguyên vẹn (bỏ qua biến dạng trượt), 
có thể thiết lập theo [30] như sau: 
 ( )
2 3
2(0) 2 2
0
1 1
2 2 3
l
P l
W M Pz dz M l MPl
EI EI
= + = + + 
 (2.50) 
trong đó: l là chiều dài của phần tử; M, P lần lượt là Mô-men uốn và lực cắt tại nút 
của phần tử. 
 Năng lượng biến dạng thêm vào do vết nứt là: 
 (1)
0
a
sW b J da= (2.51) 
trong đó : a; b lần lượt là độ sâu và chiều rộng vết nứt. 
 Với mật độ năng lượng biến dạng sJ trong trường hợp tổng quát có dạng: 
2 2 2
6 6 6
1 1 1
1
s i i i
i i i
J K K K
E = = =
= + + 
  I II III (2.52) 
 Trường hợp biến dạng phẳng, ta có năng lượng biến dạng thêm vào do ảnh 
hưởng của vết nứt như sau: 
( ) 22 2(1)
0
1a KK K
W b da
E E
 ++
= + 
IIII II (2.53) 
y 
P 
M 
x 
b 
h 
l 
a 
47 
trong đó :
21
E
E

 =
−
; E là Mô-đun đàn hồi, ν là hệ số Poisson; KI, KII, KIII lần lượt là 
các hệ số tập trung ứng suất tương ứng lần lượt với kiểu mở - Mode I, kiểu trượt - 
Mode II và kiểu rách - Mode III như hình 2.4. 
 Hình 2.4. Các kiểu vết nứt cơ bản. 
 Bỏ qua ảnh hưởng của lực dọc trục, phương trình (2.53) trên trở thành: 
( )
2 2
(1)
0
a
M P PK K K
W b da
E
+ +
=
I I II
 (2.54) 
trong đó: 
( )
2 2
4
2 3
2
6 ( ) 3 ( ) ( )
; ; ;
0,923 0,199 1 sin
2 2
( ) tan ;
2
cos
2
1,122 0,561 0.085 0,18
( ) 3 2 .
1
M P P
M aF s Pl aF s P aF s
K K K
bh bh bh
s
s
F s
ss
s s s
F s s s
s
= = =
+ − 
 =
− + +
= −
−
I I II
I I II
I
II
với 
a
s
h
= là tỷ lệ giữa độ sâu vết nứt a và độ dày dầm h của dầm. 
 Hệ số độ mềm cho một phần tử không có vết nứt là: 
2 (0)
(0)
1 2; , ; , 1:2ij
i j
W
c P P P M i j
P P

= = = =
 
 (2.55) 
 Hệ số độ mềm thêm vào do vết nứt gây ra là: 
2 (1)
(1)
1 2; ; ; , 1: 2ij
i j
W
c P P P M i j
P P

= = = =
 
 (2.56) 
Mode I-Mở Mode II-Trượt Mode III-Rách 
48 
 Từ đó, ta có hệ số độ mềm cho phần tử có vết nứt là: 
 (0) (1)
ij ij ijc c c= + (2.57) 
Hình 2.5. Phân tích các lực tác dụng lên 1 phần tử vết nứt. 
 Dựa vào hình 2.5, áp dụng điều kiện cân bằng ta có: 
1 1
1 1
0 ;
0;
i i i i
i i i
P P P P
M M P l
+ +
+ +
+ = =
+ + =
 (2.58) 
hay: 
  1 1 1 1
T T
i i i i i iP M P M P M+ + + + = T (2.59) 
trong đó: 
1 1 0
0 1 0 1
T
l− − 
= − 
T . 
 Bằng cách sử dụng nguyên lý công ảo, ma trận độ cứng của phần tử vết nứt có 
thể được biểu diễn như sau: 
1T
c
−=K T c T (2.60) 
 Với phần tử không nứt ma trận độ mềm (0)c được xác định là: 
3 2
(0)
2
3 2
2
l l
EI EI
l l
EI EI
 =
c (2.61) 
 Với phần tử vết nứt, ma trận độ mềm (1)c được xác định như sau: 
2
1
(1) 2 1
1 1
2
2
2
nl R
mR nlR
nlR nR
+ =
c (2.62) 
x 
y 
Mi 
Mi+1 
Pi Pi+1 ai 
l 
49 
với: 2 21 24 2
0 0
36 36
; ; ; .
a a
n m R aF da R aF da
E bh E bh
= = = =
 I II
2.4. So sánh với các công bố trước đây 
 Để kiểm tra tính đúng đắn của chương trình tính đã phát triển trong luận án, 
kết quả tính toán tần số riêng của dầm có vết nứt sẽ được so sánh với kết quả đã được 
Lee công bố trong bài báo [24]. Ở bài báo này, Lee đã sử dụng phương pháp PTHH 
cho dầm công-xôn có thông số kỹ thuật như sau: Mật độ khối lượng µ=7860 kg/m3, 
Mô-đun đàn hồi E=2.1x1011 N/m2, chiều dài kết cấu L=0.5 m, chiều rộng b=0.02 m, 
độ dày h=0.02 m. Dầm chứa hai vết nứt có độ sâu 10% (tỷ lệ giữa độ sâu vết nứt và 
độ dày dầm) tại vị trí 0.2L và 0.6L. 
Bảng 2.1. So sánh kiểm chứng chương trình tính toán dầm có vết nứt đã sử dụng 
trong luận án với bài báo [24]: 
Tần 
số 
riêng 
Bài báo 
[24] 
(rad/s) 
Phương pháp PTHH Công thức chính xác 
Giá trị 
(rad/s) 
Sai lệch 
(%) 
Giá trị 
(rad/s) 
Sai lệch 
(%) 
ω1 417.644 417.642 0.0004 417.638 0.0015 
ω2 2619.704 2621.721 0.077 2619.929 0.0086 
ω3 7337.863 7339.719 0.0253 7336.263 0.0218 
ω4 14370.040 14362.841 0.0501 14377.785 0.0539 
 Dựa vào bảng trên ta có thể nhận thấy các giá trị tần số tính theo phương pháp 
PTHH và công thức chính xác được luận án sử dụng là tương đồng và rất tốt so với 
kết quả Lee công