Luận án Thuật toán giải một số lớp bài toán cân bằng và điểm bất động

) +
1
2ρk
‖y − xk‖2 : y ∈ C
}
.
Khi đó, nếu dãy {xk} bị chặn, thì dãy {yk} cũng bị chặn.
37
Dưới đây, là một số thuật toán được đề xuất để giải bài toán cân bằng không
đơn điệu trong không gian Hilbert thực H.
a. Thuật toán 2.1
Bước khởi tạo. Chọn x0 = xg ∈ C, chọn các tham số η, µ ∈ (0, 1), 0 < ρ
¯
≤ ρ¯,
{ρk} ⊂ [ρ
¯
, ρ¯], γk ∈ [γ
¯
, γ¯] ⊂ (0, 2), và đặt C0 = C.
Bước lặp k (k = 0, 1, 2, . . . ). Có xk ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Giải bài toán quy hoạch lồi mạnh tìm nghiệm
yk = arg min
{
f(xk, y) +
1
2ρk
‖y − xk‖2 : y ∈ C
}
. CP (xk)
Nếu yk = xk, thì dừng thuật toán. Trái lại, thực hiện Bước 2.
Bước 2. (Quy tắc tìm kiếm tia Armijo thứ nhất) Tìm mk là số nguyên
dương nhỏ nhất m sao choz
k,m = (1− ηm)xk + ηmyk,
f(zk,m, xk)− f(zk,m, yk) ≥ µ2ρk ‖xk − yk‖2.
(2.1)
Đặt ηk = ηmk , zk = zk,mk .
Bước 3. Lấy wk ∈ ∂2f(zk, xk) và tính uk = PC(xk − γkσkwk), trong đó
σk =
f(zk,xk)
‖wk‖2 .
Bước 4. Tính
xk+1 = PCk+1(x
g),
với Ck+1 = {x ∈ Ck : ‖x− uk‖ ≤ ‖x− xk‖}, và quay về Bước lặp k với
k được thay bởi k + 1.
Nhận xét 2.2.7. Nếu yk = xk thì xk là một nghiệm của bài toán EP(C, f).
Trước khi chứng minh sự hội tụ của Thuật toán 2.1, chúng tôi nhắc lại bổ đề
sau đã được chứng minh trong [62].
38
Bổ đề 2.2.8. [62, Lemma 4.3, Lemma 4.5]. Giả sử song hàm f thỏa mãn các giả
thiết (B1) và (B2), khi đó ta có:
(a) Quy tắc tìm kiếm theo tia (2.1) là xác định tốt, tức là với mọi k đều tồn tại
số nguyên dương nhỏ nhất mk thỏa mãn (2.1);
(b) f(zk, xk) > 0;
(c) 0 6∈ ∂2f(zk, xk);
(d) Ngoài ra, nếu SM 6= ∅, thì
‖uk − x∗‖2 ≤ ‖xk − x∗‖2 − γk(2− γk)(σk‖wk‖)2, với mọi x∗ ∈ SM . (2.2)
Định lý sau đây thiết lập sự hội tụ mạnh của dãy {xk} tới một nghiệm của
bài toán cân bằng EP(C, f).
Định lý 2.2.9. Giả sử rằng song hàm f thỏa mãn các giả thiết (B1), (B2). Nếu
tập SM khác rỗng, thì các dãy {xk}, {uk} sinh bởi Thuật toán 2.1 hội tụ mạnh tới
một nghiệm x∗ của bài toán EP(C, f).
Chứng minh. Lấy x¯ ∈ SM ⊂ C = C0. Từ Bổ đề 2.2.8, ta có
‖uk − x¯‖2 ≤ ‖xk − x¯‖2 − γk(2− γk)(σk‖wk‖)2. (2.3)
Vì γk ∈ [γ
¯
, γ¯] ⊂ (0, 2), ta nhận được
‖x¯− uk‖ ≤ ‖x¯− xk‖. (2.4)
Từ bất đẳng thức (2.4), bằng quy nạp ta có thể kết luận được rằng x¯ ∈ Ck với
mọi k.
Theo Bước 4, xk = PCk(x
g), ta có
‖xk − xg‖ ≤ ‖x− xg‖, ∀x ∈ Ck, (2.5)
vì vậy,
‖xk − xg‖ ≤ ‖x¯− xg‖, ∀k. (2.6)
39
Do đó, dãy {xk} là bị chặn. Kết hợp với (2.4) ta có dãy {uk} cũng bị chặn.
Vì xk+1 ∈ Ck và từ bất đẳng thức (2.5), ta có
‖xk − xg‖ ≤ ‖xk+1 − xg‖, ∀k. (2.7)
Mặt khác, do dãy {xk} bị chặn, nên ta nhận được
lim
k→∞
‖xk − xg‖ = τ ≥ 0. (2.8)
Ngoài ra,
‖xk+1 − xk‖2 = ‖xk+1 − xg + xg − xk‖2
= ‖xk+1 − xg‖2 + ‖xg − xk‖2 + 2〈xk+1 − xg, xg − xk〉
= ‖xk+1 − xg‖2 + ‖xg − xk‖2 + 2〈xk+1 − xk, xg − xk〉 − 2‖xg − xk‖2
≤ ‖xk+1 − xg‖2 − ‖xk − xg‖2,
trong đó bất đẳng thức cuối cùng có được vì xk = PCk(x
g) và xk+1 ∈ Ck, khi đó,
〈xk+1 − xk, xg − xk〉 ≤ 0.
Từ (2.8), ta được
lim
k→∞
‖xk+1 − xk‖ = 0. (2.9)
Bởi vì xk+1 ∈ Ck+1, ta suy ra
‖xk − uk‖ ≤ ‖xk − xk+1‖+ ‖xk+1 − uk‖ ≤ 2‖xk − xk+1‖.
Kết hợp với (2.9) ta có
lim
k→∞
‖uk − xk‖ = 0. (2.10)
Tiếp theo, ta chỉ ra rằng các dãy {xk}, {uk} hội tụ mạnh tới x∗ = P∩∞k=0Ck(xg).
Rõ ràng Ck là tập lồi, đóng, khác rỗng, nên Ck đóng yếu. Vì Ck+1 ⊂ Ck,∀k và
xk ∈ Ck, nên xk ∈ Ck0 với mọi k ≥ k0. Giả sử xˆ là điểm tụ yếu bất kỳ của dãy
{xk}, tức là, tồn tại dãy con {xkj} của dãy {xk} sao cho xkj ⇀ xˆ khi j → ∞. Vì
dãy {xkj} ⊂ Cki ,∀j ≥ i và tính đóng yếu của Cki, nên xˆ ∈ Cki ,∀i. Do đó xˆ ∈ Ck,∀k,
hay xˆ ∈ ∩∞k=0Ck.
40
Đặt x∗ = P∩∞k=0Ck(x
g). Từ (2.6) ta có,
‖xk − xg‖ ≤ ‖x∗ − xg‖, ∀k.
Ta có thể kết luận rằng dãy {xk} hội tụ mạnh tới x∗ theo Bổ đề 2.2.4. Cùng với
(2.10) ta cũng có dãy {uk} hội tụ mạnh tới x∗.
Tiếp theo, ta chỉ ra rằng x∗ là nghiệm của bài toán EP(C, f).
Theo (2.3), ta có bất đẳng thức
γk(2− γk)(σk‖wk‖)2 ≤ ‖xk − uk‖
[‖xk − x¯‖+ ‖uk − x¯‖]. (2.11)
Vì γk ∈ [γ
¯
, γ¯] ⊂ (0, 2), và (2.10), ta nhận được từ (2.11) là
lim
k→∞
σk‖wk‖ = 0. (2.12)
Từ dãy {xk} bị chặn và Bổ đề 2.2.6, ta có dãy {yk} bị chặn. Theo đó, dãy {zk}
cũng bị chặn. Sử dụng Bổ đề 2.2.5, dãy {wk} cũng bị chặn. Theo (2.12), ta có
lim
k→∞
f(zk, xk) = lim
k→∞
[σk‖wk‖]‖wk‖ = 0. (2.13)
Mặt khác, ta có
0 = f(zk, zk) = f(zk, (1− ηk)xk + ηkyk)
≤ (1− ηk)f(zk, xk) + ηkf(zk, yk),
vì vậy, ta nhận được từ (2.1)
f(zk, xk) ≥ ηk[f(zk, xk)− f(zk, yk)]
≥ µ
2ρk
ηk‖xk − yk‖2.
Kết hợp với (2.13) ta suy ra
lim
k→∞
ηk‖xk − yk‖2 = 0. (2.14)
Tiếp theo ta xét hai trường hợp sau:
41
Trường hợp 1. lim supk→∞ ηk > 0.
Khi đó tồn tại η¯ > 0 và một dãy {ηki} ⊂ {ηk} sao cho ηki > η¯, ∀i, và từ (2.14), ta
nhận được
lim
i→∞
‖xki − yki‖ = 0. (2.15)
Lưu ý rằng xk → x∗ và (2.15), điều này dẫn đến yki → x∗ khi i→∞.
Theo định nghĩa của yki ta có
f(xki , y) +
1
2ρki
‖y − xki‖2 ≥ f(xki , yki) + 1
2ρki
‖yki − xki‖2, ∀y ∈ C. (2.16)
Không mất tính tổng quát, ta giả thiết rằng limi→∞ ρki = ρ∗. Cho i → ∞, do
xki → x∗, yki → x∗ và dựa vào tính liên tục yếu đồng thời của f , từ (2.16) ta nhận
được
f(x∗, y) +
1
2ρ∗
‖y − x∗‖2 ≥ 0.
Theo Bổ đề 2.2.3, ta có
f(x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ C.
Do đó, x∗ là một nghiệm của bài toán EP(C, f).
Trường hợp 2. limk→∞ ηk = 0.
Vì dãy {yk} bị chặn, khi đó tồn tại dãy con {yki} ⊂ {yk} sao cho yki ⇀ y¯ khi
i→∞.
Theo định nghĩa của yki, ta có
f(xki , yki) +
1
2ρki
‖yki − xki‖2 ≤ 0. (2.17)
Mặt khác, theo quy tắc tìm kiếm tia Armijo (2.1), với mki − 1, ta có
f(zki,mki−1, xki)− f(zki,mki−1, yki) < µ
2ρki
‖yki − xki‖2. (2.18)
Kết hợp với (2.17) ta được
f(xki , yki) ≤ − 1
2ρki
‖yki − xki‖2 ≤ 1
µ
[
f(zki,mki−1, yki)− f(zki,mki−1, xki)]. (2.19)
Theo quy tắc tìm kiếm tia, zki,mki−1 = (1− ηmki−1)xki + ηmki−1yki, ηmki−1 → 0. Vì
xki hội tụ mạnh tới x∗, yki hội tụ yếu tới y¯, điều đó dẫn đến zki,mki−1 hội tụ mạnh
42
tới x∗ khi i→∞. Ngoài ra, dãy { 1ρki ‖y
ki − xki‖2} là bị chặn, không mất tính tổng
quát, ta có thể giả sử rằng limi→+∞ 1ρki ‖y
ki − xki‖2 tồn tại. Khi đó, theo giới hạn
từ (2.19) ta nhận được
f(x∗, y¯) ≤ − lim
i→+∞
1
2ρki
‖yki − xki‖2 ≤ 1
µ
f(x∗, y¯).
Vì vậy, f(x∗, y¯) = 0 và limi→+∞ ‖yki − xki‖2 = 0. Theo Trường hợp 1, ta có x∗ là
một nghiệm của bài toán EP(C, f).
Thay thế quy tắc tìm kiếm tia thứ nhất (2.1) bởi một quy tắc khác, ta thu
được thuật toán sau.
b. Thuật toán 2.2
Bước khởi tạo. Chọn x0 = xg ∈ C, chọn các tham số η, µ ∈ (0, 1), 0 < ρ
¯
≤ ρ¯,
{ρk} ⊂ [ρ
¯
, ρ¯], γk ∈ [γ
¯
, γ¯] ⊂ (0, 2), và đặt C0 = C.
Bước lặp k (k = 0, 1, 2, . . . ). Có xk ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Giải bài toán quy hoạch lồi mạnh tìm
yk = arg min
{
f(xk, y) +
1
2ρk
‖y − xk‖2 : y ∈ C
}
. CP (xk)
Nếu yk = xk, thì dừng thuật toán. Trái lại, thực hiện Bước 2.
Bước 2. (Quy tắc tìm kiếm tia Armijo thứ hai) Tìm mk là số nguyên
dương nhỏ nhất m sao choz
k,m = (1− ηm)xk + ηmyk
f(zk,m, yk) + µ2ρk ‖xk − yk‖2 ≤ 0.
(2.20)
Đặt ηk = ηmk , zk = zk,mk . Nếu 0 ∈ ∂2f(zk, zk), thì dừng thuật toán.
Trái lại, thực hiện Bước 3.
Bước 3. Chọn wk ∈ ∂2f(zk, zk) và tính uk = PC(xk − γkσkwk),
trong đó σk =
f(zk,xk)
‖wk‖2 .
43
Bước 4. Tính
xk+1 = PCk+1(x
g),
với Ck+1 = {x ∈ Ck : ‖x− uk‖ ≤ ‖x− xk‖}, và quay lại Bước lặp k với
k được thay bởi k + 1.
Nhận xét 2.2.10.
ˆ Nếu yk = xk thì xk là một nghiệm của bài toán EP(C, f);
ˆ Nếu 0 ∈ ∂2f(zk, zk) thì zk là một nghiệm của bài toán EP(C, f).
Bổ đề 2.2.11. [62, Lemma 4.2, Lemma 4.5]. Giả sử song hàm f thỏa mãn các
giả thiết (B1) và (B2), khi đó ta có:
(a) Quy tắc tìm kiếm tia (2.20) là xác định tốt, tức là với mọi k đều tồn tại số
nguyên dương nhỏ nhất mk thỏa mãn (2.20);
(b) f(zk, yk) < 0;
(c) Nếu SM 6= ∅, thì
‖uk − x∗‖2 ≤ ‖xk − x∗‖2 − γk(2− γk)(σk‖wk‖)2, với mọi x∗ ∈ SM .
Sử dụng Bổ đề 2.2.11, bằng cách lập luận tương tự như trong chứng minh
Định lý 2.2.9, ta thu được định lý sau đây về sự hội tụ của Thuật toán 2.2.
Định lý 2.2.12. Giả sử song hàm f thỏa mãn các giả thiết (B1), (B2). Nếu tập
SM khác rỗng, thì dãy {xk}, {uk} sinh bởi Thuật toán 2.2 hội tụ mạnh tới một
nghiệm x∗ của bài toán EP(C, f).
2.3 Ví dụ minh họa
Để minh họa cho các thuật toán được đề xuất, trong mục này, chúng tôi
xét một bài toán cân bằng phát sinh trong mô hình cân bằng thị trường điện bán
độc quyền Nash-Cournot, mô hình này đã được nghiên cứu trong [18, 63]. Trong
mô hình này, có nc các công ty sản xuất điện, công ty thứ i sở hữu Ii đơn vị phát
44
điện. Giả sử ng là số tất cả các đơn vị phát điện và x là véc tơ có các thành phần
xi, i = 1, 2, . . . , ng, trong đó xi là lượng điện năng được sản xuất bởi đơn vị phát
điện thứ i và σ =
∑ng
i=1 xi là tổng lượng điện năng sản xuất được của tất cả các
đơn vị phát điện. Chúng ta giả sử giá điện p là một hàm affine giảm của σ, điều
đó có nghĩa là sản lượng điện sản xuất ra càng nhiều thì giá điện càng giảm, cụ
thể là
p(x) = 378.4− 2
ng∑
i=1
xi = p(σ).
Khi đó lợi nhuận của công ty thứ i được cho bởi
fi(x) = p(σ)
∑
j∈Ii
xj −
∑
j∈Ii
cj(xj),
trong đó cj(xj) là chi phí của đơn vị j khi sản xuất lượng điện năng xj được xác
định bởi
cj(xj) := max{c0j(xj), c1j(xj)}
với
c0j(xj) :=
α0j
2
x2j + β
0
j xj + γ
0
j , c
1
j(xj) := α
1
jxj +
β1j
β1j + 1
γ
−1/β1j
j (xj)
(β1j +1)/β
1
j ,
trong đó αkj , β
k
j , γ
k
j (k = 0, 1) là các tham số cho trước.
Ký hiệu xminj và x
max
j là lượng điện năng nhỏ nhất và lớn nhất có thể sản xuất
được bởi đơn vị sản xuất điện thứ j. Khi đó tập chiến lược của mô hình được cho
dưới dạng
C := {x = (x1, . . . , xn
g
)T : xminj ≤ xj ≤ xmaxj , ∀j}.
Bằng cách đặt qi := (qi1, . . . , q
i
ng)
T với
qij =
1 nếu j ∈ Ii,0 nếu j 6∈ Ii
và định nghĩa
A := 2
nc∑
i=1
(1− qi)(qi)T , B := 2
nc∑
i=1
qi(qi)T , (2.21)
45
a := −387.4
nc∑
i=1
qi, và c(x) :=
ng∑
j=1
cj(xj). (2.22)
Khi đó mô hình cân bằng bán độc quyền này có thể đưa về bài toán cân bằng
EP(C, f) sau ([63, Trang 155]):
Tìm x∗ ∈ C : f(x∗, y) = [(A+B)x∗ +By + a]T (y − x∗) + c(y)− c(x∗) ≥ 0, ∀y ∈ C.
Có thể thấy rằng, A không phải là ma trận nửa xác định dương và
f(x, y) + f(y, x) = −(y − x)TA(y − x),
do đó song hàm f là không đơn điệu.
Mặt khác, từ biểu thức xác định song hàm f và hàm c(x), ta có thể thấy f
thỏa mãn các giả thiết B1 và B2.
Chúng tôi đã chạy Thuật toán 2.1 cho bài toán này với các dữ liệu tương ứng
trong mô hình đầu tiên của bài báo [18], trong đó số công ty (Com.) là nc = 3,
số các đơn vị phát điện (Gen.) là ng = 6, cụ thể công ty thứ nhất có một đơn
vị phát điện là {1}, công ty thứ hai có hai đơn vị phát điện là {2, 3} và công ty
thứ ba có ba đơn vị phát là {4, 5, 6}. Giá trị của các tham số được cho trong các
bảng sau:
Com. Gen. xgmin x
g
max x
c
min x
c
max
1 1 0 80 0 80
2 2 0 80 0 130
2 3 0 50 0 130
3 4 0 55 0 125
3 5 0 30 0 125
3 6 0 40 0 125
Bảng 2.1: Cận dưới và cận trên của sản lượng điện sản xuất bởi các đơn vị phát điện.
46
Gen. α0j β
0
j γ
0
j α
1
j β
1
j γ
1
j
1 0.0400 2.00 0.00 2.0000 1.0000 25.0000
2 0.0350 1.75 0.00 1.7500 1.0000 28.5714
3 0.1250 1.00 0.00 1.0000 1.0000 8.0000
4 0.0116 3.25 0.00 3.2500 1.0000 86.2069
5 0.0500 3.00 0.00 3.0000 1.0000 20.0000
6 0.0500 3.00 0.00 3.0000 1.0000 20.0000
Bảng 2.2: Các giá trị của tham số chi phí khi sản xuất ra mỗi đơn vị điện.
Chúng tôi đã tiến hành thực hiện Thuật toán 2.1 bằng phần mềm Matlab,
phiên bản R2014a chạy trên Laptop với cấu hình Intel(R) Core(TM) i5-3230M
CPU@2.60 GHz với Ram 4GB. Để kết thúc thuật toán, chúng tôi sử dụng tiêu
chuẩn dừng ‖x
k+1−xk‖
max{1,‖xk‖} ≤  với sai số  = 10−3. Các kết quả tính toán được trình
bày trên Bảng 2.3 với một số điểm khởi tạo khác nhau và một số giá trị khác
nhau của tham số chỉnh.
47
Iter(k) ρ xk1 x
k
2 x
k
3 x
k
4 x
k
5 x
k
6 Cpu(s)
0 0.1 0 0 0 0 0 0
691 46.6583 32.0728 15.0832 21.9862 12.3870 12.4071 136.0017
0 0.5 0 0 0 0 0 0
1166 46.6541 32.0750 15.0845 21.9224 12.4209 12.4389 151.3664
0 0.9 0 0 0 0 0 0
847 46.6440 31.9437 15.2014 21.6995 12.5953 12.4952 162.2410
0 0.1 30 20 10 15 10 10
629 46.6531 32.1041 15.0509 22.0089 12.4180 12.3606 122.1176
0 0.5 30 20 10 15 10 10
504 46.6416 31.9645 15.1811 21.6667 12.5630 12.5629 135.5798
0 0.9 30 20 10 15 10 10
711 46.6482 32.0263 15.1150 21.6827 12.5460 12.5657 147.0316
Bảng 2.3: Các kết quả tính toán ứng với một số điểm xuất phát và tham số chỉnh.
Bảng 2.1, Bảng 2.2 và Bảng 2.3 có các ký hiệu như sau:
ˆ xgmin, x
g
max là sản lượng điện nhỏ nhất và lớn nhất của các đơn vị sản xuất.
ˆ xcmin, x
c
max là sản lượng điện nhỏ nhất và lớn nhất của các công ty.
ˆ Iter(k): bước lặp thứ k.
ˆ Cpu(s): thời gian tính toán tính bằng giây.
48
Kết luận Chương 2
Trong chương này, chúng tôi đã đề xuất các Thuật toán 2.1 và Thuật toán
2.2 để giải bài toán cân bằng với song hàm là không đơn điệu trong không gian
Hilbert thực. Các thuật toán đó là sự kết hợp giữa phương pháp chiếu nhúng với
quy tắc tìm kiếm theo tia. Chúng tôi đã chứng minh được sự hội tụ mạnh của
các thuật toán đề xuất trong các Định lý 2.2.9 và Định lý 2.2.12, đồng thời chúng
tôi đã áp dụng thuật toán được đề xuất cho một mô hình cân bằng thị trường
điện bán độc quyền Nash-Cournot.
49
Chương 3
Hệ bài toán cân bằng và bài toán cân bằng tổ hợp
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu mối liên hệ giữa tập nghiệm của hệ
bài toán cân bằng với tập nghiệm của bài toán cân bằng tổ hợp. Cụ thể, chúng
tôi sẽ chỉ ra rằng với giả thiết các song hàm fi, i = 1, 2, . . . , N là đơn điệu thì tập
nghiệm của hai bài toán này có thể không bằng nhau. Do đó, các kết quả trong
một số bài báo [41, 42, 66–68] có thể không đúng. Đồng thời, chúng tôi cũng thiết
lập một điều kiện đủ để hai tập nghiệm này trùng nhau trong cả hai trường hợp
họ các song hàm là hữu hạn và vô hạn. Các kết quả này đã được công bố trong
bài báo [CT2] thuộc Danh mục công trình liên quan đến Luận án.
[CT2] N.T.T. Ha, T.T.H. Thanh, N.N. Hai, H.D. Manh, and B.V. Dinh (2019),
A note on the combination of equilibrium problems, Mathematical Methods of
Operations Research, 91, pp. 311-323, (SCIE).
3.1 Mở đầu
Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert H và
fi : C × C → R, i = 1, N là các song hàm xác định trên C. Bài toán tìm nghiệm
chung của một họ hữu hạn các bài toán cân bằng được đề cập đến trong các bài
báo [41, 66–68], ký hiệu là CSEP là bài toán:
Tìm x∗ ∈ C sao cho fi(x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ C và i = 1, 2, . . . , N, CSEP(C, fi)
hoặc tương đương,
tìm x∗ ∈ X := ∩Ni=1Sol(C, fi).
50
Với αi ∈ (0, 1), i = 1, . . . , N sao cho
∑N
i=1 αi = 1, xét song hàm tổ hợp:
N∑
i=1
αifi(x, y), ∀x, y ∈ C.
Bài toán cân bằng tổ hợp viết tắt là CEP(C,
∑N
i=1 αifi) là bài toán:
Tìm x∗ ∈ C sao cho f(x∗, y) =
N∑
i=1
αifi(x
∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ C.
Ta ký hiệu Sol(C,
∑N
i=1 αifi) là tập nghiệm của bài toán cân bằng tổ hợp.
Trong [66], với một số điều kiện nhất định các tác giả khẳng định rằng:
∩Ni=1Sol(C, fi) = Sol(C,
N∑
i=1
αifi).
Do đó, các nghiệm chung của một họ hữu hạn các bài toán cân bằng có thể được
tính bằng cách đơn giản là tìm nghiệm của tổ hợp lồi bất kỳ của họ các bài toán
cân bằng đó. Từ kết quả này, trong các bài báo [41, 42, 66–68] các tác giả đã sử
dụng nó để chuyển các bài toán của họ về bài toán liên quan đến bài toán cân
bằng tổ hợp.
Trong phần này, chúng tôi chỉ ra rằng, với các điều kiện được đưa ra như
trong [66], quan hệ
Sol
(
C,
N∑
i=1
αifi
)
⊂ ∩Ni=1Sol(C, fi)
không phải luôn luôn đúng. Do đó, các kết quả khác được đưa ra trong các bài
báo gần đây trong [41, 42, 66–68] là không đúng bởi vì chúng dựa trên bao hàm
thức sai ở trên. Hơn nữa, chúng tôi đưa ra một điều kiện đủ để công thức trên
không chỉ đúng khi N hữu hạn mà còn đúng khi N = +∞.
Trước khi chỉ ra một số mệnh đề trong các bài báo liên quan tới khẳng định
trong [66], chúng tôi nhắc lại một số giả thiết đã được các tác giả sử dụng sau
đây.
51
Giả thiết C.
(C1) ϕ(x, x) = 0 với mọi x ∈ C;
(C2) ϕ đơn điệu trên C;
(C3) ϕ là nửa liên tục trên theo tia (upper hemicontinuous), tức là, với mỗi
x, y, z ∈ C,
lim sup
t→0+
ϕ(tz + (1− t)x, y) ≤ ϕ(x, y);
(C4) Với mỗi x ∈ C, ϕ(x, ·) là nửa liên tục dưới (lower semicontinuous) và lồi trên
C;
(C5) Với r > 0 cố định, và z ∈ C, tồn tại tập con lồi, com pắc khác rỗng B ⊂ H
và x ∈ C ∩B, sao cho
ϕ(y, x) +
1
r
〈y − z, z − x〉 < 0, ∀y ∈ C \ B.
Dưới đây là năm phát biểu đã được trình bày trong các bài báo [41, 42, 66–68].
Phát biểu 3.1.1. ([66, Lemma 2.7]) Giả sử các song hàm fi, i = 1, 2, . . . , N thỏa
mãn các giả thiết (C1)− (C4) và ∩Ni=1Sol(C, fi) 6= ∅. Khi đó
∩Ni=1Sol(C, fi) = Sol(C,
N∑
n=1
αifi(x, y)),
trong đó, αi ∈ (0, 1) với mọi i = 1, 2, . . . , N và
N∑
n=1
αi = 1.
Nếu Phát biểu 3.1.1 đúng thì nó cho phép chúng ta tìm các nghiệm chung của
N bài toán cân bằng bằng cách giải một bài toán cân bằng tổ hợp.
Phát biểu 3.1.2. ([67, Theorem 3.1]). Giả sử F là một ánh xạ co với hệ số co τ
trên H và A là một toán tử tuyến tính bị chặn, dương mạnh trên H với hệ số γ¯,
0 < γ < γ¯τ . Với mỗi i = 1, 2, . . . , N , giả sử fi : C × C → R là song hàm thỏa mãn
52
các giả thiết (C1)− (C4) với X = ∩Ni=1Sol(C, fi) 6= ∅. Giả sử {xk}, {yk}, {zk} là các
dãy sinh bởi x1 ∈ H và
∑N
i=1 αifi(z
k, y) + 1ρk 〈y − zk, zk − xk〉 ≥ 0, ∀y ∈ C,
yk = θkPC(xk) + (1− θk)zk,
xk+1 = δkγF (xk) + (I − δkA)yk,
trong đó {δk}, {θk}, {ρk} ⊂ (0, 1), 0 < αi < 1, ∀i = 1, . . . , N . Giả sử các điều kiện
(i)− (v) sau là đúng.
(i) limk→∞ δk = 0 và
∑∞
k=0 δk =∞;
(ii) 0 < θ ≤ θk ≤ θ¯ < 1, với θ, θ¯ ∈ (0, 1);
(iii) 0 < α ≤ αk ≤ α¯ < 1, với α, α¯ ∈ (0, 1);
(iv)
∑N
i=1 αi = 1;
(v)
∑N
i=1 |δk+1 − δk| <∞,
∑∞
i=1 |θk+1 − δk| <∞,
∑∞
i=1 |ρk+1 − ρk| <∞.
Khi đó các dãy {xk}, {yk} và {zk} hội tụ tới q = PX (I − A+ γF )q.
Phát biểu 3.1.3. ([42, Theorem 3.1]). Giả sử các song hàm fi, i = 1, 2, . . . , N
thỏa mãn các giả thiết (C1)− (C4) và X = ∩Ni=1Sol(C, fi) 6= ∅. Giả sử các dãy {xk}
và {yk} được sinh bởi u, x1 ∈ H và
∑N
i=1 αifi(y
k, y) + 1ρk 〈y − yk, yk − xk〉 ≥ 0, ∀y ∈ C,
xk+1 = λku+ µkxk + δkyk
trong đó, {λk}, {µk}, {δk} ⊂ (0, 1) và λk + µk + δk = 1; {ρk} ⊂ (ρ, ρ¯) ⊂ (0, 1),
0 < αi < 1,∀i = 1, . . . , N . Giả sử các điều kiện (i)− (iii) đúng:
(i) limk→∞ λk = 0 và
∑∞
k=0 λk =∞;
(ii)
∑N
i=1 αi = 1;
(iii)
∑N
i=1 |δk+1 − δk| <∞.
53
Khi đó các dãy {xk} và {yk} hội tụ tới q = PX (u).
Phát biểu 3.1.4. ([68, Theorem 3.1]). Cho F là ánh xạ co với hệ số τ trên
H và giả sử fi, i = 1, 2, . . . , N thỏa mãn các giả thiết (C1) − (C4). Với giả thiết
X = ∩Ni=1Sol(C, fi) 6= ∅, giả sử các dãy {xk} và {yk} được sinh bởi x1 ∈ C và
∑N
i=1 αifi(y
k, y) + 1ρk 〈y − yk, yk − xk〉 ≥ 0, ∀y ∈ C,
xk+1 = λkF (xk) + µkPC(xk) + δkyk
trong đó, {λk}, {µk}, {δk} ⊂ (0, 1) sao cho λk+µk+δk = 1 ∀k; {ρk} ⊂ (ρ, ρ¯) ⊂ (0, 1),
0 < αi < 1,∀i = 1, . . . , N . Ngoài ra, giả sử các điều kiện (i)− (iii) đúng:
(i) limk→∞ λk = 0 và
∑∞
k=0 λk =∞;
(ii)
∑N
i=1 αi = 1;
(iii)
∑∞
i=1 |ρk+1 − ρk| <∞.
Khi đó các dãy {xk} và {yk} hội tụ tới q = PX (u).
Phát biểu 3.1.5. ([41, Theorem 4.2]). Giả sử các song hàm fi, i = 1, 2, . . . , N
thỏa mãn giả thiết C và X = ∩Ni=1Sol(C, fi) 6= ∅. Với x0, x1 ∈ H, giả sử các dãy
{xk}, {yk} và {zk} được sinh bởi
yk = xk + θk(xk − xk−1)∑N
i=1 αifi(z
k, y) + 1ρk 〈y − zk, zk − yk〉 ≥ 0,∀y ∈ C,
xk+1 = λkxk + µkzk
trong đó, {θk} ⊂ [0, θ], θ ∈ [0; 1], {λk}, {µk} ⊂ (0, 1) và λk + µk = 1 với mọi k;
{ρk} ⊂ (ρ, ρ¯) ⊂ (0, 1), 0 < αi < 1,∀i = 1, . . . , N . Giả sử rằng các điều kiện sau
đúng:
(i) θk‖xk − xk−1‖ <∞;
(ii)
∑∞
i=1 αi <∞ và limi→∞ αi = 0;
54
(iii)
∑∞
i=1 |ρk+1 − ρk| <∞,
∑∞
i=1 |λk+1 − λk| <∞.
Khi đó dãy {xk} hội tụ tới q = PX (u).
Nhận xét 3.1.6.
ˆ Mỗi Phát biểu 3.1.2 - 3.1.5 khẳng định rằng dãy {xk} nhận được theo các
thuật toán tương ứng hội tụ tới một nghiệm của bài toán CSEP.
ˆ Trong Hệ quả 3.2.2 (b) - (e) dưới đây cho thấy chúng có thể không đúng.
3.2 Mối liên hệ giữa tập nghiệm của hệ bài toán cân bằng và
bài toán cân bằng tổ hợp
Trong mục này chúng tôi sẽ chỉ ra với các giả thiết (C1)− (C4), các Phát
biểu 3.1.1 - 3.1.5 có thể khô