Luận án Ứng dụng lý thuyết quá trình ngẫu nhiên để nghiên cứu thăng giáng lượng tử trong các bộ nối phi tuyến kiểu KERR

như trường hợp một mode, ta giả thiết thời gian tiến triển ngắn và độ lớn 
của các tham số ,  và  là rất nhỏ so với các phi tuyến Kerr a và b . Khi đó, 
phương trình (2.19) với trường hợp , 0,1m n có thể xấp xỉ bằng (2.10) có nghiệm 
là (2.11) sẽ triệt tiêu đối với điều kiện đầu 0)0( mnc . Do đó, dưới sự giả thiết ở 
trên, hệ các phương trình (2.19) rút gọn thành bốn phương trình vi phân sau: 
 43 
 ),()()(
),()()()(
),()()()(
),()()(
100111
11
*
000110
0011
*
10
*
01
01
*
10
*
00
tctctc
dt
d
i
tctctctc
dt
d
i
tctctctc
dt
d
i
tctctc
dt
d
i
klklkl
klklklkl
klklklkl
klklkl
 
 
 
 
 (2.20) 
1,0, lk là kí hiệu cho trường hợp các mode ban đầu ở trong trạng thái kl . 
Giả thiết rằng tại thời điểm t = 0, cả hai mode của hệ đều ở trạng thái chân 
không, ta có thể tìm nghiệm giải tích của hệ phương trình (2.20). Để giải (2.20) 
cần tìm các giá trị không của đa thức bậc bốn, do đó, các nghiệm tổng quát của 
chúng là phức tạp và khó hiểu hơn. Tuy nhiên, nếu giả thiết rằng tất cả các hệ số 
liên kết là thực và các liên kết với trường ngoài có cường độ bằng nhau (  ), 
thì các nghiệm trở nên đơn giản và dễ hiểu hơn nhiều. Do đó, dưới các giả thiết 
này, các nghiệm của (2.20) có dạng sau [20]: 
 ,
2
1
22
sin
2
cos)(
,
2
sin
2
)(
,
2
sin
2
)(
,
2
1
22
sin
2
cos)(
200
11
200
10
200
01
200
00
ti
ti
ti
ti
etit
tc
e
ti
tc
e
ti
tc
etit
tc














 (2.21) 
trong đó 2216   . Nếu tại thời điểm t = 0, một mode của hệ ở trạng thái 
chân không còn mode kia ở trạng thái Fock đơn photon 
bacut
t 10)0(  thì 
nghiệm của hệ phương trình (2.20) cho các biên độ xác suất có dạng sau: 
 44 
 .
2
sin
2
)()(
,
222
sin
2
cos)(
,
222
sin
2
cos)(
,
2
sin
2
)()(
200
10
01
11
201
10
201
01
200
01
01
00
ti
ti
ti
ti
ti
ti
e
ti
tctc
eetit
tc
eetit
tc
e
ti
tctc
















 (2.22) 
Khi các mode của hệ ban đầu ở trong các trạng thái 
bacut
t 01)0(  và 
bacut
t 11)0(  , ta cũng tìm được sự tiến triển của hệ đối với bộ nối được 
bơm hai mode có dạng tương tự với trường hợp được bơm một mode. 
Để đánh giá chất lượng của phép cắt các trạng thái quang học, ta ứng 
dụng độ tin cậy như một phép đo sự khác nhau giữa trạng thái cắt hai qubit 
)()(ˆ tt
cutcutcut
 , cho bởi (2.12), và trạng thái ra thực tế )()(ˆ tt  được 
tính số từ: 
ba
tHit 0|0|)ˆexp()(  , (2.23) 
đối với không gian Hilbert hai mode. Độ tin cậy của trạng thái được định nghĩa 
bởi [68]: 
2
2
1
ˆˆˆ)ˆ,(
 


 cutcutcut TrF 
, (2.24) 
Độ tin cậy đối với phép cắt hoàn hảo bằng 1. Hình 2.3 trình bày độ tin cậy 
của trạng thái cắt. Từ Hình 2.3, ta thấy rằng độ tin cậy của trạng thái cắt xấp xỉ 
bằng một, tức là kết quả giải tích thu được là khá chính xác. Hơn nữa, độ tin cậy 
của trạng thái cắt đối với bộ nối phi tuyến được bơm hai mode nhỏ hơn so với 
bộ nối phi tuyến được bơm một mode, nghĩa là phép cắt đối với bộ nối được 
bơm một mode là chính xác hơn. Điều đó chứng tỏ rằng trạng thái cắt thu được 
có độ chính xác rất cao so với kết quả thu được trong [20]. 
 45 
 t [10-5s] 
Hình 2.3: Độ tin cậy của trạng thái cắt đối với bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được 
bơm một mode (đường nét liền) và hai mode (đường chấm chấm) với hệ số phi tuyến 
810 ba  rad/s, 
5105 rad/s và các mode ban đầu ở trạng thái chân không 
Chúng tôi sẽ sử dụng các biên độ xác suất phức thu được ở các phần trên 
để khảo sát sự tạo ra các trạng thái kiểu Bell ở phần tiếp theo. 
2.1.2. Sự tạo ra trạng thái đan rối trong bộ nối phi tuyến tương tác 
tuyến tính 
Chúng ta đã biết rằng sự đan rối của trạng thái thuần hai thành phần, mô 
tả bởi ma trận mật độ  , có thể được mô tả bởi entropy von Neumann của 
ma trận mật độ rút gọn ba Tr hoặc ab Tr , hoặc tương đương với entropy 
Shannon của các hệ số Schmidt bình phương có dạng như sau [106]: 
  k
k
kkbbaa STrTrE
ij
 2221 logloglog  . (2.25) 
Đối với trường hợp của trạng thái thuần hai qubit, giá trị của entropy đan rối 
thay đổi từ không đối với trạng thái không đan rối đến một ebit đối với trạng 
thái đan rối cực đại và nó có dạng đơn giản như sau [20]: 
 )1(log).1(log.)( 221  tE
ij
, (2.26) 
trong đó 
2
11
2ijC 
  và )()()()(2 10011100 tctctctcC
ijijijijij . Từ đó, ta dễ dàng tìm 
 46 
được mối liên hệ giữa các entropy đan rối cho các trường hợp bộ nối được bơm 
một mode và hai mode bởi trường ngoài như sau: 
 tEtEtEtE 011
10
1
00
1
11
1 , . (2.27) 
 t [10-6s] t [10-6s] 
Hình 2.4: Sự tiến triển của các entropy đan rối (đơn vị ebit) 00
1E và 
 01
1E đối với bộ 
nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một mode với  610 rad/s, 0  
(đường nét liền) và hai mode với  610 rad/s (đường nét gạch) và 
  610 rad/s, 6102  rad/s (đường gạch chấm) 
Các entropy đan rối của hệ đối với các điều kiện đầu khác nhau được chỉ 
ra ở Hình 2.4. Các kết quả của 00
1E đối với bộ nối được bơm một mode ( 0  ) và 
hai mode (  ) giống với những kết quả đã được trình bày ở [20]. Các 
entropy đan rối 00
1E và 
 01
1E tiến triển theo chu kỳ thời gian và xấp xỉ bằng 1 ebit 
đối với các trạng thái đan rối cực đại và bằng không đối với các trạng thái không 
đan rối. Khi  , các giá trị cực đại của 001E và 
 01
1E là lớn nhất trong khi chúng 
là bé nhất đối với  . Hơn nữa, entropy đan rối 011E có nhiều cực đại hơn 
 00
1E , 
tức là 01
1E dao động nhanh hơn 
 00
1E . Hệ quả là, các trạng thái đan rối cực đại và 
entropy đan rối thay đổi một cách đáng kể đối với các mode ban đầu ở trong các 
trạng thái khác nhau. 
Như một hệ quả, cực đại của các entropy đan rối có giá trị thay đổi theo 
chu kỳ, trong đó có một số giá trị gần bằng 1 ebit tương ứng với sự hình thành 
 47 
của các trạng thái Bell. Để thể hiện rõ ràng hơn, ta có thể trình bày các trạng thái 
được tạo ra trong cơ sở 
 
4
1
11 )()(
l
ij
l
ij
l Btbt
cut
 , (2.28) 
được mở rộng thành các trạng thái kiểu Bell có dạng như sau [20]: 
 .1001
2
1
,0110
2
1
,0011
2
1
,1100
2
1
4131
2111
ij
baba
ijij
baba
ij
ij
baba
ijij
baba
ij
iBiB
iBiB
 (2.29) 
So sánh (2.12) và (2.28), ta tìm được các hệ số khai triển ij
lb : 
 .)()(
2
1
,)()(
2
1
,)()(
2
1
,)()(
2
1
011041100131
001121110011
tictcbtictcb
tictcbtictcb
ijijijijijij
ijijijijijij
 (2.30) 
Dễ dàng thấy rằng 200
41
2
01
11 bb và 
 200
31
2
01
21 bb , vì vậy các hình vẽ đối với xác suất 
để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell 01
11B và 
 01
21B không cần phải trình 
bày. Xác suất tìm thấy hệ trong các trạng thái kiểu Bell được trình bày ở các 
hình từ 2.5 đến 2.7. 
 t [10-6s] t [10-6s] 
Hình 2.5: Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell 00
11B và 
 00
21B đối với 
bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một mode với  610 rad/s, 0  
(đường nét liền) và hai mode với  610 rad/s (đường nét gạch) và 
  610 rad/s, 6102  rad/s (đường gạch chấm) 
 48 
 t [10-6s] t [10-6s] 
Hình 2.6: Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell 00
31B và 
 00
41B đối với 
bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một mode với  610 rad/s, 0  
(đường nét liền) và hai mode với  610 rad/s (đường nét gạch) và 
  610 rad/s, 6102  rad/s (đường gạch chấm) 
 t [10-6s] t [10-6s] 
Hình 2.7: Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell 01
31B và 
 01
41B đối với bộ 
nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một mode với  610 rad/s, 0  
(đường nét liền) và hai mode với  610 rad/s (đường nét gạch) và 
  610 rad/s, 6102  rad/s (đường gạch chấm) 
 49 
Từ các hình vẽ ta thấy rằng khi bộ nối được bơm một mode ( 0  ), đối 
với các mode ban đầu ở trạng thái 
ba
00 , ta tìm được kết quả tương tự như kết 
quả trong [20] (Hình 2.5 và Hình 2.6). Đối với các mode ban đầu ở trạng thái 
ba
10 , xác suất tạo ra các trạng thái đan rối cực đại là hàm của thời gian cho các 
bộ nối điều khiển đơn mode và hệ cũng có thể tạo ra các trạng thái kiểu Bell đối 
với các trạng thái 01
31B và 
 01
41B (Hình 2.7). Khi bộ nối được bơm hai mode, hệ 
có thể tạo ra các trạng thái đan rối cực đại đối với các trạng thái 00
11B , 
 00
21B 
(Hình 2.5) và 01
31B , 
 01
41B (Hình 2.7), nhưng hệ không thể tạo trạng thái đan rối 
cực đại cho các trạng thái 00
31B và 
 00
41B (Hình. 2.6). Đặc biệt, khi  , các giá 
trị cực đại của xác suất là lớn nhất đối với các trạng thái 00
11B , 
 00
21B và 
 01
41B , 
trong khi chúng là nhỏ nhất đối với các trạng thái 00
31B và 
 00
41B . Hơn nữa, khi 
tham số  , xác suất để hệ tồn tại ở trạng thái 00
11B , 
 00
21B và 
 01
31B , 
 01
41B giảm, 
trong khi xác suất để hệ thống tồn tại ở trạng thái 00
31B và 
 00
41B tăng. 
Để không bị lặp lại, ở đây chúng tôi không trình bày các hình vẽ về xác 
suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell và các entropy đan rối đối với 
trường hợp các mode ban đầu ở các trạng thái 
ba
01 và 
ba
11 bởi vì chúng đã 
được trình bày trong các hình vẽ từ 2.4 đến 2.7 khi các mode ban đầu ở các 
trạng thái 
ba
00 và 
ba
10 . 
2.2. Bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến 
2.2.1. Bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến được bơm một mode 
2.2.1.1. Mô hình bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến được bơm một mode 
Mô hình của một bộ nối phi tuyến được xem xét ở đây vẫn xây dựng dựa 
trên hai dao động tử phi tuyến được đặc trưng bởi tính chất phi tuyến Kerr a và 
b tương ứng với hai mode a và b và mode a liên kết tuyến tính với trường 
ngoài tương tự như bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính đã trình bày ở phần 
trên. Ở đây chỉ khác là các dao động tử này được liên kết phi tuyến với nhau. 
Khi đó, Hamiltonian của hệ chỉ khác so với bộ nối tương tác tuyến tính là thành 
 50 
phần liên kết hai dao động tử là phi tuyến )(intˆ
NLH thay cho thành phần tuyến tính 
)(
int
ˆ LH và có dạng như sau [23]: 
 ( )
0 int
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆa b aNL
NL NL extH H H H H H , (2.31) 
trong đó 
 ,ˆˆ
2
ˆ
,ˆˆ
2
ˆ
2
2
)(
22)(
bbH
aaH
bb
NL
aa
NL


(2.32) 
 ,ˆˆˆˆˆ 22*22int abbaH NL  (2.33) 
 ,ˆˆˆ *aaH aext 
 (2.34) 
ở đây chúng tôi chỉ xét trường hợp không có tắt dần, sự tiến triển của hàm sóng 
phụ thuộc thời gian được biểu diễn dưới dạng trạng thái Fock n-photon như sau: 
ba
hg
gh hgtct 
0,
)()( , (2.35) 
trong đó, )(tcgh là các biên độ xác suất phức tìm hệ trong trạng thái g-photon của 
mode a và trạng thái h-photon của mode b. 
Sử dụng phương trình Schroedinger trong hình thức luận tương tác, ta được: 
   )(ˆˆˆˆ)( )(int tHHHHt
dt
d
i aext
NLb
NL
a
NL  , (2.36) 
 ,)()1(
2
)(ˆˆ
2
)(ˆ
,)()1(
2
)(ˆˆ
2
)(ˆ
0,0,
2
2
0,0,
22


hg
bagh
b
hg
bagh
bb
NL
hg
bagh
a
hg
bagh
aa
NL
hgtchhhgtcbbtH
hgtcgghgtcaatH




 (2.37) 
,)()1()1)(2(
)()1()1)(2(
22)()1()1)(2(
22)()1()1)(2(
)(ˆˆˆˆ)(ˆ
0,
2,2
*
0,
2,2
0,
*
0,
0,
22*
22)(
int





hg
bahg
hg
bahg
hg
bagh
hg
bagh
hg
bagh
NL
hgtchhgg
hgtcgghh
hgtchhgg
hgtcgghh
hgtcabbatH





 (2.38) 
 51 
  
.)()(1
1)(1)(1
)(ˆˆ)(ˆ
0,
,1
*
0,
,1
0,
*
0,
0,
*



hg
bahg
hg
bahg
hg
bagh
hg
bagh
hg
bagh
a
ext
hgtcghgtcg
hgtcghgtcg
hgtcaatH
 
 (2.39) 
Thay (2.37)-( 2.39) vào (2.36) ta thu được kết quả sau: 
).()(1
)()1()1)(2(
)()1()1)(2(
)()1(
2
1
)1(
2
1
)(
,1
*
,1
2,2
*
2,2
tcgtcg
tchhgg
tcgghh
tchhggtc
dt
d
i
hghg
hg
hg
ghbagh



(2.40) 
Đối với trường hợp này vì có quá trình tương tác của hệ với trường ngoài 
nên năng lượng của hệ không được bảo toàn. Do đó, khi hệ tiến triển theo thời 
gian sẽ có một số trạng thái có số lượng photon lớn. Khi giả thuyết rằng hệ số 
phi tuyến   ,, ba thì các phần tử tỉ lệ với a và b sẽ triệt tiêu do 
 a
NLHˆ và 
 b
NLHˆ 
tạo ra các mức năng lượng suy biến. Mặt khác, với giả thiết   ,, ba , 
phương trình (2.40) chỉ ra rằng biên độ xác suất )(tcgh sẽ dao động nhanh hơn 
nhiều so với các biên độ xác suất khác khi 2, hg . Do đó, áp dụng phương 
pháp gần đúng sóng quay [107], người ta bỏ qua sự ảnh hưởng của biên độ xác 
suất )(tcgh trong trường hợp này. Từ đó, sự tiến triển của hệ tương ứng với chỉ ba 
trạng thái cộng hưởng sau 
ba
02 ,
ba
21 và 
ba
20 . Khi xét trong phép gần 
đúng được sử dụng thì tiến triển của hệ chỉ khép kín trong ba trạng thái nói trên. 
Khi đó, hàm sóng của hệ được viết lại dưới dạng [108]: 
20 12 02( ) ( ) 2 0 ( ) 1 2 ( ) 0 2
pq pq pq pq
a b a b a bcut
t c t c t c t , (2.41) 
với p,q = 0,2 là ký hiệu của các mode ở trạng thái đầu 
a b
p q
và ta thu được các 
phương trình chuyển động của các biên độ xác suất có dạng như sau: 
 52 
 ).()(2)(
),()(
),(2)(
12
*
20
*
02
0212
0220
tctctc
dt
d
i
tctc
dt
d
i
tctc
dt
d
i
pqpqpq
pqpq
pqpq
 

 (2.42) 
 Giả sử tại thời điểm t = 0, cả hai photon ở mode a và không có photon nào ở 
mode b, tức là 2020 0 1c và 
 20 2012 020 0 0c c ( bacutt 02)0(  ). Khi đó dễ 
dàng giải hệ phương trình (2.42) để thu được nghiệm có dạng [23]: 
  
 ,
)sin(
2)(
,
1)cos(2
)(
,
)cos(4
)(
20
02
2
20
12
2
22
20
20
t
itc
t
tc
t
tc

 
 
 (2.43) 
trong đó 22 4 . Hơn nữa khi giả sử tại thời điểm 0 t , có một photon ở 
mode a và hai photon ở mode b, có nghĩa là 1)0(1212 c và 
 0)0()0( 1202
12
20 cc 
(
bacut
t 21)0(  ), nghiệm của hệ phương trình (2.42) có thể tìm được dưới dạng: 
  
  
 .
)sin(
)(
,)cos(
1
)(
,)cos(
2
)(
12
02
222
2
12
12
2222
2
12
20
t
itc
ttc
ttc

 (2.44) 
Mặt khác nếu giả sử rằng tại thời điểm 0 t , không có photon nào ở mode a và cả hai photon 
ở mode b, có nghĩa là 0202 0 1c và 
 02 0220 120 0 0c c bacutt 20)0(  , ta tìm 
được nghiệm của hệ phương trình (2.42) có dạng: 
 ).cos()(
,
)sin(
)(
,
)sin(
2)(
02
02
02
12
02
20
ttc
t
itc
t
itc

 (2.45)
 53 
Để đánh giá độ chính xác của kết quả giải tích, ta sẽ tính độ tin cậy của 
trạng thái ra với trạng thái ban đầu là 
ba
02 . Khi đó, sự tiến triển theo thời gian 
của trạng thái )(t
có dạng sau: 
ba
tHit 02|)ˆexp()(  . (2.46) 
Độ tin cậy của trạng thái ra được tính bằng biểu thức [85]: 
2
2
1
ˆˆˆ)ˆ,(
 


 cutcutcut TrF 
, (2.47) 
trong đó 
 )()(ˆ tt  , )()(ˆ tt
cutcutcut
 . (2.48) 
Đối với quá trình cắt hoàn hảo thì độ tin cậy sẽ cho giá trị bằng 1. Độ tin 
cậy của trạng thái cắt được thể hiện ở Hình 2.8. 
 t [10-6s] 
Hình 2.8: Độ tin cậy của trạng thái cắt trong bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến 
được bơm 1 mode. Trong trường hợp hệ số phi tuyến 7105,2 ba  rad/s, 
5105,1  rad/s 
Có thể thấy rằng độ tin cậy của trạng thái cắt chỉ sai khác một lượng 
khoảng 10-3 so với giá trị cực đại bằng 1. Điều đó cho thấy trạng thái cắt thu 
được có độ chính xác rất cao, tương đương với kết quả thu được trong [23]. 
 54 
Ta sẽ sử dụng các biên độ xác suất từ (2.43) đến (2.45) để khảo sát sự tạo 
ra các trạng thái đan rối ở phần tiếp theo. 
2.2.1.2. Sự tạo ra các trạng thái đan rối trong bộ nối phi tuyến tương tác 
phi tuyến được bơm một mode 
Ta có thể mong đợi rằng đối với mô hình được xem xét ở đây các trạng 
thái kiểu Bell có thể được tạo ra. Để nghiên cứu chi tiết hiện tượng này ta vẽ đồ 
thị các xác suất đối với ba điều kiện đầu 
ba
20 , 
ba
21 và 
ba
02 của ba trạng 
thái của hệ ở Hình 2.9. 
 t [10-6s] t [10-6s] t [10-6s] 
Hình 2.9: Các xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái 
ba
20 (đường nét liền), 
ba
21 (đường nét gạch) và 
ba
02 (đường gạch chấm) với 4105  rad/s, 
bacut
t 20)0(  (
 02
2P ), bacutt 21)0(  (
 12
2P ) và bacutt 02)0(  (
 20
2P ) 
Từ Hình 2.9, có thể thấy rằng các xác suất này dao động và một số đồ thị 
cắt nhau tại những giá trị gần bằng 0,5. Điều này chỉ ra rằng các trạng thái kiểu 
Bell có thể được tạo ra trong trường hợp này. Cụ thể, ta quan sát được các cặp 
trạng thái 
ba
02 và 
ba
20 ( 022P ), ba 02 và ba 21 (
 12
2P ) cũng như ba 02 và 
ba
20 ( 202P ) cắt nhau tại những giá trị gần bằng 0,5. Ngoài ra có thể xem xét 
các tổ hợp khác của các trạng thái thuần được thảo luận ở đây. Chẳng hạn, các 
trạng thái kiểu Bell bao gồm 
ba
21 và 
ba
02 có thể được xem xét. Sau khi xem 
xét kĩ các kết quả của đồ thị ở Hình 2.9, ta thấy rằng các trạng thái kiểu Bell này 
 55 
có thể đóng một vai trò trong sự tiến triển của hệ. Ta quan sát sự giao nhau của 
các đồ thị của các xác suất thích hợp, mặc dù các điểm cắt nhau của chúng 
tương ứng với giá trị xác suất gần bằng không hoặc một. Vì thế, đối với những 
khoảng thời gian này hệ gần như ở trạng thái thuần 
ba
20 . Tuy nhiên, có thể 
thấy rằng đối với một số khoảng thời gian khác các xác suất này trở nên gần 
bằng 0,5, mặc dù chúng không cắt nhau. Cho nên, ta có thể mong đợi trạng thái 
kiểu Bell lại được tạo ra. Kết quả là các trạng thái kiểu Bell có thể được hình 
thành từ các cặp trạng thái của hệ được xét có dạng như sau: 
 .2102
2
1
,2102
2
1
,2102
2
1
,2102
2
1
,2002
2
1
,2002
2
1
6252
4232
2212
pq
baba
pqpq
baba
pq
pq
baba
pqpq
baba
pq
pq
baba
pqpq
baba
pq
BB
iBiB
iBiB
 (2.49) 
Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell được tính bởi biểu thức sau: 
2
22 )()( tBBP cut
pq
i
pq
i  . (2.50) 
Trạng thái (2.41) có thể khai triển trong cơ sở các trạng thái Bell theo dạng: 
 
6
1
22 )()(
i
pq
i
pq
icut
Btbt . (2.51) 
Do đó, ta có thể tìm được các hệ số 
 pq
ib có dạng: 
 .)()(
2
1
,)()(
2
1
,)()(
2
1
,)()(
2
1
,)()(
2
1
,)()(
2
1
122062122052
122042122032
022022022012
tctcbtctcb
tictcbtictcb
tictcbtictcb
pqpqpqpqpqpq
pqpqpqpqpqpq
pqpqpqpqpqpq
 (2.52) 
Sự tạo ra các trạng thái đan rối cực đại có thể được mô tả bởi entropy von 
Neumann như đã trình bày ở chương 1. Để áp dụng cụ thể cho việc tính độ đan rối 
hình thành trong bộ nối phi tuyến, ở đây ta lần lượt tính các đại lượng sau: 
 56 
 .200212020202
202112210221
202012200220
ˆ
2
20
*
1220
*
0220
*
2012
2
12
*
0212
*
2002
*
1202
2
02
abba
pq
abba
pqpq
abba
pqpq
abba
pqpq
abba
pq
abba
pqpq
abba
pqpq
abba
pqpq
abba
pq
cutcutab
ccccc
ccccc
ccccc
  
 (2.53) 
Từ đó có thể tính vết thành phần trên mode b như sau 
 ,2200
221100ˆ
2
12
2
02
2
20 bb
pqpq
bb
pq
aabaaabaaabaabab
ccc
Tr
 (2.54) 
với các trị riêng lần lượt của b ˆ là: 
01  ; 
 2
202
pqc  và 
2
20
2
12
2
023 1
pqpqpq ccc  . (2.55) 
Kết quả ta thu được biểu thức tính độ đan rối là: 
3232222 loglog)(  tE
pq
. (2.56) 
Sự tiến triển của entropy đan rối được trình bày ở Hình 2.10. 
 t [10-6s] t [10-6s] 
Hình 2.10: Entropy đan rối (đơn vị ebit) 20
2E (đường nét liền), 
 12
2E (đường nét gạch) 
và 02
2E (đường gạch chấm) với 
4105  rad/s (Hình bên trái) và 4105 rad/s, 
5105.2  rad/s (Hình bên phải) 
 57 
Các kết quả của 202E ở Hình 2.10 trái tương tự với các kết quả tìm được 
trong [23]. Các entropy đan rối thay đổi theo chu kỳ của thời gian tùy thuộc vào 
các điều kiện đầu khác nhau và bằng 1 ebit đối với các trạng thái Bell, trong khi 
các trạng thái tách ra có giá trị bằng không. Ngoại trừ cực đại thứ hai của 202E ở 
Hình 2.10 trái và các cực đại của 122E ở Hình 2.10 phải, giá trị của tất cả các cực 
đại còn lại xấp xỉ bằng đơn vị, nghĩa là hệ có thể là nguồn của các trạng thái kiểu 
Bell. Như một hệ quả, giá trị của các entropy đan rối thay đổi một cách đáng kể