Luận án Ứng dụng phương pháp lọc Bayes và mô hình Markov ẩn trong bài toán quan sát quỹ đạo đa mục tiêu

 hiện tượng không phát hiện
được mục tiêu và với một số thuật toán bám mục tiêu, bám quỹ đạo dễ bị mất
mục tiêu, mất quỹ đạo bám. Hiện tượng trên cũng dễ xảy ra trong trường
hợp số lượng mục tiêu lớn (dày đặc) và mật độ nhiễu lớn.
Chương này của luận án trình bày một số kết quả nghiên cứu mới của
chúng tôi về bài toán quan sát quỹ đạo đa mục tiêu (MTT) trong điều kiện
tổng quát, đặc biệt hiện tượng mục tiêu bị che khuất có thể xảy ra. Hiện
tượng mục tiêu bị che khuất dẫn đến tình trạng: một số liệu quan sát có thể
là số liệu quan sát của nhiều mục tiêu. Với hiện tượng này, các thuật toán
đã được công bố thường xảy ra tình trạng: mất mục tiêu, mất quỹ đạo bám.
Trong chương này luận án có những đóng góp mới sau đây:
i – Đưa ra phương pháp liên kết dữ liệu thông qua hệ thống ánh xạ xác định
đệ quy từng bước. Hệ thống ánh xạ này không chỉ quan tâm tới bản thân
số liệu quan sát mà còn tính đến cả lịch sử quỹ đạo quá khứ có thể có
của số liệu đó. Bởi vậy phương pháp liên kết dữ liệu này khắc phục được
hiện tượng mục tiêu bị che khuất (nếu xảy ra) và không làm mất mục
tiêu, mất quỹ đạo bám,...
ii – Dựa vào ý tưởng và quan điểm của thống kê Bayes, chúng tôi đưa ra
khái niệm: chiến lược tối ưu từng bước theo nghĩa làm cực đại xác suất
hậu nghiệm tại mỗi bước và chúng tôi chứng minh được kết quả về sự
tồn tại chiến lược tối ưu từng bước đối với phương pháp liên kết dữ liệu
37
vừa nêu ở trên.
iii – Đưa ra hướng tiếp cận tìm chiến lược thỏa mãn tính chất T tổng quát
cho trước nào đó và chỉ ra thuật toán tìm chiến lược đó.
iv – Dựa vào phương pháp dùng lọc Kalman để ước lượng quỹ đạo của mục
tiêu trên cơ sở dữ liệu quan sát, chúng tôi đưa ra khái niệm: chiến lược
K(ε) - tối ưu. Bản chất của khái niệm này là: khi dùng dữ liệu quan sát
của dây chuyền dữ liệu ảnh, theo phương pháp ước lượng của lọc Kalman
để ước lượng quỹ đạo của mục tiêu thì phương sai P (t|t) không vượt quá
ε (bé tùy ý cho trước) với mọi t và đối với mọi quỹ đạo của mọi mục
tiêu được quan tâm trong bài toán MTT. Với khái niệm đó, chúng tôi
đã đưa ra thuật toán xây dựng chiến lược K(ε) - tối ưu mà bản chất là
xây dựng hệ thống ánh xạ liên kết dữ liệu đã nêu trong (i –).
Cấu trúc của chương gồm 6 mục, ngoài mục "Giới thiệu mở đầu" (mục
2.1) này ra, thứ tự và nội dung của các mục như sau: Mục 2.2 trình bày mô
hình toán học của bài toán MTT. Mục 2.3 trình bày phương pháp liên kết
dữ liệu thông qua hệ thống ánh xạ được xây dựng theo phương pháp đệ quy;
xây dựng khái niệm chiến lược tối ưu từng bước và chứng minh sự tồn tại
chiến lược tối ưu từng bước đó. Mục 2.4 trình bày khái niệm T - chiến lược
liên kết dữ liệu và thuật toán tìm T - chiến lược liên kết dữ liệu (với T là
một tiêu chuẩn (yêu cầu) nào đó cho trước). Mục 2.5 đưa ra khái niệm "K(ε)
- tối ưu", đồng thời cũng trong mục 2.5 này trình bày thuật toán tìm "K(ε)
- tối ưu" chiến lược. Mục 2.6 là mục kết luận của chương.
2.2.Bài toán quan sát đa mục tiêu: Mô hình toán học
Giả sử ta cần quan tâm đến một số đối tượng (hay còn gọi là mục tiêu) di
động nào đó trong một miền không gian và trong một khoảng thời gian nào
đó. Ký hiệu R là miền không gian mà ta cần quan tâm, ở đây R ⊂ Rnx, với
38
Rnx là không gian trạng thái của mục tiêu, nx là số chiều của véc tơ trạng
thái của mục tiêu. R được gọi là miền quan sát.
Ký hiệu [0, T ], T ∈ R+, là khoảng thời gian mà ta cần quan tâm. [0, T ]
được gọi là khoảng thời gian của quá trình quan sát. Các thời điểm quan sát
được ký hiệu là ti, i = 0, 1, . . ., ti ∈ [0, T ]. Do các thời điểm quan sát: t0,
t1, t2, . . ., tn; 0 = t0 < t1 < . . . < tn = T , là rời rạc, nên không mất tính
tổng quát, khi nói đến thời điểm thứ i (ti), chúng ta có thể quy ước T ∈ Z+,
ti ∈ Z+ và đồng nhất ti = i, i = 0, 1, . . . , T ; trong đó, t0 = 0 là lần quan sát
đầu tiên và tn = T = n là lần quan sát cuối cùng của quá trình quan sát.
Số mục tiêu có trong miền R tại thời điểm t, t ∈ [0, T ], là ngẫu nhiên và
ký hiệu làMt = Mt(ω). Giả thiết rằng mục tiêu loại thứ k (để ngắn gọn hơn
ta gọi là mục tiêu thứ k), k ∈ Z+, xuất hiện ở vị trí ngẫu nhiên có phân phối
đều trong R tại thời điểm tki , tki ∈ [0, T ], và di chuyển (chuyển động) một
cách độc lập đối với các mục tiêu khác trong R đến thời điểm tkf , tkf ∈ [0, T ],
thì biến mất. Cũng giả thiết rằng mục tiêu thứ k xuất hiện với xác suất pk,
0 < pk < 1, và biến mất với xác suất 1− pk. Các mục tiêu xuất hiện, chuyển
động và biến mất một cách độc lập với nhau.
Trong thời gian quan sát, trong miền quan sát có thể có các mục tiêu giả
do các clutter (nhiễu) hoặc do các thiết bị kỹ thuật và phương pháp quan
trắc (đo đạc) gây ra. Các mục tiêu giả xuất hiện và biến mất một cách độc
lập với nhau và độc lập với các mục tiêu. Cũng như các mục tiêu, các mục
tiêu giả xuất hiện ở vị trí ngẫu nhiên có phân phối đều trong R.
Trong thực tế, các mục tiêu giả có ảnh hưởng như nhau nên ta không cần
phân loại các mục tiêu giả. Không mất tính tổng quát, ta coi các mục tiêu
giả do clutter gây ra hay do kỹ thuật quan trắc gây ra là một loại với tên gọi
là báo động sai (False Alarm) và ký hiệu là FA. Chúng ta coi FA như là một
loại mục tiêu đặc biệt, chúng xuất hiện với xác suất q, 0 < q < 1, và biến
mất với xác suất 1 − q. Các mục tiêu giả chỉ xuất hiện trong khoảng thời
39
gian rất ngắn (thậm chí chỉ xuất hiện tại một thời điểm) và không có quỹ
đạo chuyển động, Số mục tiêu giả có trong miền R tại thời điểm t, t ∈ R+
là ngẫu nhiên và ký hiệu là Gt = Gt(ω).
Mô hình chuyển trạng thái và mô hình quan sát được mô tả về mặt toán
học như sau:
Ký hiệu Xkt , t ∈
[
tki , t
k
f
]
, k = 1, 2, . . ., là trạng thái của mục tiêu thứ k
tại thời điểm t, Xkt ∈ Rnx, nx là số chiều của véc tơ trạng thái. Mô hình
chuyển động (mô hình chuyển trạng thái) của mục tiêu thứ k được mô tả bởi
hệ động lực tổng quát trong không gian trạng thái Rnx như sau:
Xkt+1 = Fk
(
Xkt
)
+ V kt , (2.1)
với Fk : Rnx → Rnx là ánh xạ đo được từ Rnx vào Rnx; V kt ∈ Rnx là nhiễu
trắng với ma trận hiệp phương sai là Qk, các V kt , k = 1, 2, . . . là không tương
quan.
Mô hình quan sát được mô tả bởi:
Yt = G (Xt) +Wt, (2.2)
với G : Rnx → Rny , ny là số chiều của véc tơ quan sát; G là ánh xạ đo được
từ Rnx vào Rny , Wt ∈ Rny là nhiễu trắng với ma trận hiệp phương sai là R
và Wt không tương quan với các V
k
t , k = 1, 2, . . ..
Nói riêng đối với mục tiêu k, từ (2.2), ta có:
Y kt = G
(
Xkt
)
+Wt (2.3)
Trong mô hình (2.1)-(2.2) ở trên, V kt được gọi là nhiễu hệ thống, Wt được
gọi là nhiễu quan sát (hay còn gọi là sai số đo đạc).
Chúng ta phát biểu một số giả thiết cho mô hình MTT vừa mô tả ở trên
như sau:
Ký hiệu d(x, y), là khoảng cách Euclid trong Rn, nghĩa là với x = (x1, . . . , xn) ∈
40
Rn và y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn thì
d(x, y) =
(
n∑
i=1
(xi − yi)2
) 1
2
Giả thiết 2.2.1. Miền quan sát R là miền đóng và giới nội trong Rnx (theo
Metric d(·, ·)).
Y
Y Xt
t
X lt
Xkt
Y kt
Y lt
X
t0
Hình 2.1. Hiện tượng mục tiêu thứ k và mục tiêu thứ l che khuất lẫn nhau
tại thời điểm t. Y kt ≡ Y lt ≡ Y Xt .
Trong thực tế, do độ phân giải của các thiết bị quan sát bị giới hạn, nên
xảy ra tình trạng nếu hai mục tiêu X và X ′ quá gần nhau thì dữ liệu quan
sát được về chúng Y và Y ′ tương ứng là như nhau. Hiện tượng này chúng ta
gọi là hiện tượng mục tiêu bị che khuất, nghĩa là mục tiêu X ′ bị che khuất
bởi mục tiêu X hoặc ngược lại, mục tiêu X bị che khuất bởi mục tiêu X ′.
Hình 2.1 mô tả hình ảnh mục tiêu thứ k và mục tiêu thứ l che khuất lẫn
nhau tại thời điểm t.
Mặt khác, mục tiêu là một vật thể có khối lượng dương. Vị trí của mục
41
tiêu không thể là một điểm (theo nghĩa toán học), mà phải là một miền trong
không gian trạng thái.
Ta có giả thiết sau:
Ký hiệu O(O;r), r > 0, là hình cầu mở tâm O bán kính r:
O(O;r) = {x ∈ Rn : d(O, x) < r}
và O(O,r), r > 0, là hình cầu đóng tương ứng:
O(O;r) = {x ∈ Rn : d(O, x) 6 r}
Giả thiết 2.2.2. Với mỗi điểm x trong miền quan sát R, x ∈ R, tồn tại
số rx > 0 sao cho với bài toán (2.1)-(2.2) nếu X và X
′ cùng thuộc hình cầu
O(x;rx), O(x;rx) ⊂ R, thì dữ liệu quan sát được của chúng là như nhau.
Mục đích của bài toán MTT:
Với mô hình và các điều kiện thông qua các giả thiết mô tả ở trên, dựa
trên các giá trị (dữ liệu) quan sát được hãy ước lượng số mục tiêu hiện có
trong R tại mỗi thời điểm t, t ∈ [0, T ] và ước lượng quỹ đạo của từng mục
tiêu đó trong R và trong khoảng thời gian [0, T ].
2.3.Phương pháp liên kết dữ liệu, chiến lược tối ưu và sự tồn tại
của chiến lược tối ưu
2.3.1.Phương pháp liên kết dữ liệu đệ quy
Ký hiệu: Y (t) = {Y jt |j = 1, 2, . . . , nt} là tập các giá trị quan sát được tại
thời điểm t, nt là số lượng các kết quả quan sát được tại thời điểm t.
Ký hiệu:
Y (0 : t) =
t⋃
s=0
Y (s)
là tập các giá trị quan sát được cho tới thời điểm t.
42
Yêu cầu của bài toán MTT là từ các kết quả quan sát được, xác định số
mục tiêu và các quỹ đạo của chúng. Lưu ý rằng tập hợp các giá trị quan sát
được tại thời điểm t, tập Y (t), chứa các giá trị quan sát hoặc của mục tiêu
này, hoặc của mục tiêu khác hoặc của mục tiêu giả FA chưa phân định được
và mỗi giá trị quan sát đó đại diện cho bao nhiêu mục tiêu bị che khuất cũng
chưa rõ.
Phương pháp liên kết dữ liệu đệ quy trình bày dưới đây được đưa ra trong
hoàn cảnh đó và cho phép khắc phục được các khó khăn do mục tiêu bị che
khuất gây nên.
Chúng ta đưa ra một số định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.3.1. Một quỹ đạo của mục tiêu thứ k xuất hiện (bắt đầu) tại
thời điểm tki , t
k
i ∈ [0, T ], và biến mất (kết thúc) tại thời điểm tkf , tkf ∈ [0, T ]
là:
Xk[tki ,tkf ]
= {Xkt | tki 6 t 6 tkf ; tki ∈ [0, T ] ; tkf ∈ [0, T ]}.
Với As là các tập hợp, ta sử dụng ký hiệu tích trực tiếp:
n⊗
s=1
As = {(a1, a2, . . . , an) | as ∈ As, s = 1, n},
trong đó quy ước gọi ak với k = 1, 2, . . . , n là thành phần thứ k của phần
tử (a1, a2, . . . , an).
Định nghĩa 2.3.2. Một dây chuyền liên kết dữ liệu với thời điểm bắt đầu
ti và thời điểm cuối tf và được ký hiệu là L[ti,tf ] là đường gấp khúc nối các
thành phần liên tiếp Y jst với Y
js+1
t+1 , t = ti, ti+1, . . . , tf−1 ; s = 1, 2, . . . của
một phần tử (
Y j1ti , Y
j2
ti+1
, . . . , Y jst , . . . , Y
jtf−ti+1
tf
)
43
nào đấy của tập tích trực tiếp
tf⊗
t=ti
Y (t),
và ký hiệu L[ti,tf ] =
(
Y j1ti , Y
j2
ti+1
, . . . , Y jst , . . . , Y
jtf−ti+1
tf
)
với Y jt ∈ Y (t), ti 6
t 6 tf , và Y jt được gọi là đỉnh tại thời điểm t của dây chuyền L[ti,tf ].
Chúng ta ký hiệu tập đỉnh của L[ti,tf ] là DL[ti,tf ], nghĩa là:
DL[ti,tf ] = {Y j1ti , Y
j2
ti+1
, . . . , Y
jtf−ti+1
tf }.
Định nghĩa 2.3.3. Dây chuyền L[ti,tf ] được gọi là ảnh của quỹ đạo X
k
[tki ,tkf ]
của mục tiêu thứ k nếu: ti = t
k
i , tf = t
k
f và giá trị đỉnh Y
j
t là giá trị quan
sát của Xkt tại thời điểm t qua mô hình quan sát (2.2) (hoặc cụ thể hơn là
(2.3)) với mọi t = ti, ti+1, . . . , tf .
Nhận xét 2.3.1. a) Nếu xác định được dây chuyền ảnh L[ti,tf ] thì việc ước
lượng quỹ đạo Xk
[tki ,tkf ]
là việc làm đã có nhiều công trình giải quyết đã được
công bố, chẳng hạn đơn giản nhất là người ta có thể dùng lọc Kalman để ước
lượng quỹ đạo đó (xem [20], [41], [42]).
b) Nếu tại thời điểm t, t ∈ [0, T ], có m dây chuyền ảnh cùng nhận Y jt là
đỉnh, thì giá trị Y jt là số đo của m mục tiêu (đây là trường hợp có m mục
tiêu che khuất lẫn nhau tại thời điểm t, m ∈ N+).
c) Nếu giá trị Y st chỉ là đỉnh duy nhất của mọi dây chuyền đi qua nó, thì
giá trị Y st là báo động giả (FA) tại thời điểm t.
Để thuận tiện cho trình bày, chúng ta dùng ký hiệu quy ước sau:
– Giả sử a là một phần tử nào đó, ta ký hiệu:
{a}⊗k = {a, a, . . . , a︸ ︷︷ ︸
k+1 lần
}, k ∈ N.
44
– Giả sử A là một tập hợp,
Card(A) = lực lượng (số phần tử) của tập A.
– Với tập Y (t), t > 0, chúng ta xây dựng hai tập hợp:
M [Y (t)] =
nt⋃
j=1
{Y jt }⊗Card(f
−1
t (Y
j
t ))
và
Y(t) = Y (t) ∪ {∅}.
Ở đây ft là ánh xạ được nêu trong các Định nghĩa 2.3.4 - 2.3.5 tiếp sau và
chúng được xây dựng đệ quy, có nghĩa là khi xây dựng ánh xạ ft thì các ánh
xạ fs, s ≤ t− 1 đã được xây dựng; ∅ là ký hiệu phần tử đặc biệt.
Định nghĩa 2.3.4. Một liên kết dữ liệu từ tập dữ liệu quan sát được tại thời
điểm t− 1, t = t1, t2, . . . , tn, sang tập dữ liệu quan sát được tại thời điểm t
là một ánh xạ ft : M [Y (t− 1)]→ Y (t).
Định nghĩa 2.3.5. Một chiến lược liên kết dữ liệu đối với bài toán quan sát
đa mục tiêu là họ các ánh xạ: {ft | t = t1, t2, . . . , tn}.
Từ các định nghĩa trên dễ thấy rằng một lời giải cho ta một họ các dây
chuyền ảnh trong tập dữ liệu quan sát Y (0 : T ). Chúng ta có một số nhận
xét và khái niệm sau đây:
i) Với t = t0, ta có M [Y (t0)] ≡ Y (t0). Trong các định nghĩa này chúng ta
chỉ đề cập đến trường hợp tại thời điểm ban đầu chúng ta không có thông tin gì
về mục tiêu bị che khuất. Bài toán tổng quát chúng ta có thể xét phân phối tiên
nghiệm về mục tiêu bị che khuất tại thời điểm t0 là Π0 =
(
pi1, pi2, . . . , pint0
)
với các pik, k = 1, 2, . . . , nt0, là các phân phối xác suất tiên nghiệm.
ii) Giá trị Y it là đỉnh cuối của dây chuyền nếu ft+1 (Y
i
t ) = ∅
iii) Giá trị Y jt là đỉnh đầu (đỉnh khởi tạo) nếu Card
(
f−1t (Y
j
t )
)
= 0
45
iv) Giá trị Yt là báo động giả (số liệu đo của FA) nếu nó vừa là đỉnh đầu
vừa là đỉnh cuối của mọi dây chuyền nhận nó là đỉnh.
Y
tt
(1)
i ≡ t(2)i t(3)i t(1)f t(4)f t(2)f ≡ t(3)ft(4)i t
(1)
(2)
(3)
(4)
Hình 2.2. Dây chuyền dữ liệu ảnh.
ˆ Đường liền (l): là quỹ đạo của mục tiêu thứ l; l = 1, 2, 3, . . .
ˆ Đường nét đứt (l′): là dây chuyền dữ liệu ảnh của quỹ đạo mục tiêu thứ
l; l = 1, 2, 3, . . .
ˆ t
(l)
i , l = 1, 2, 3, . . . : là thời điểm bắt đầu của quỹ đạo mục tiêu thứ l.
ˆ t
(l)
f , l = 1, 2, 3, . . . : là thời điểm kết thúc của quỹ đạo mục tiêu thứ l.
2.3.2.Khái niệm chiến lược tối ưu từng bước và sự tồn tại chiến
lược tối ưu từng bước
Dựa theo ý tưởng của suy luận Bayes, chúng ta đưa ra khái niệm chiến
lược tối ưu theo nghĩa làm cực đại xác suất hậu nghiệm tại mỗi bước cập
nhật trạng thái như sau.
Định nghĩa 2.3.6. Chiến lược {f ∗t | t = t1, t2, . . . , tn} được gọi là chiến lược
46
tối ưu từng bước hay tối ưu nếu:
P [f ∗t | Y (0 : t)] = max∀ ft P [ft | Y (0 : t)] , ∀ t,
ở đây P [ft | Y (0 : t)] là xác suất hậu nghiệm của phép gán (ánh xạ) ft.
Định lý 2.3.7 Với các Giả thiết 2.2.1 và 2.2.2 bài toán quan sát đa mục tiêu
đang xét luôn tồn tại chiến lược tối ưu.
Chứng minh. Để chứng minh định lý này, chúng ta cần bổ đề sau:
Bổ đề 2.3.8. Với các Giả thiết 2.2.1 và 2.2.2, tập nt, t ∈ [0, T ] bị chặn đều,
nghĩa là: ∃Nmax, Nmax < +∞ sao cho : nt 6 Nmax, ∀ t ∈ [0, T ] .
(Lưu ý, để chứng minh bổ đề, chúng ta sử dụng định lý về phủ trong lý
thuyết tô-pô.
Định lý: Xét không gian tô-pô (X , T ),M ⊂ X . NếuM là tập compact
theo tô-pô T thì từ mọi phủ mở bất kỳ củaM luôn trích được phủ con hữu
hạn).
Chúng ta đi chứng minh bổ đề.
Chứng minh. Xét X ≡ Rnx, T là tô-pô cảm sinh bởi Metric d(·, ·) trong Rnx,
từ Giả thiết 2.2.1 suy ra R là tập compact.
Xét P = {O(x,rx) : x ∈ R, rx là giá trị trong Giả thiết 2.2.2},
ta thấy
R ⊂
⋃
x∈R
O(x,rx),
như vậy P là một phủ mở của R.
Vì R là compact, theo định lý đã nêu ta suy ra: ∃P∗,
P∗ = {O(xs,rxs)|s = 1, 2, . . . , H} ⊂ P , H hữu hạn,
47
sao cho
R ⊂
H⋃
s=1
O(xs,rxs).
Chúng ta nhận thấy do Giả thiết 2.2.2 nên tại thời điểm t, t ∈ [0, T ]:
– Những mục tiêu nằm trong chỉ một hình cầu O(xi,rxi), 1 ≤ i ≤ H, thì chỉ
có tối đa một giá trị quan sát Y xit ,
– Những mục tiêu nằm trong O(xi,rxi)
⋂
O(xj ,rxj ), 1 ≤ i, j ≤ H, thì chỉ có
tối đa hai giá trị quan sát Y xit và Y
xj
t ,
– Những mục tiêu nằm trong O(xi,rxi)
⋂
O(xj ,rxj )
⋂
O(xk,rxk ), 1 ≤ i, j, k ≤
H, thì chỉ có tối đa ba giá trị quan sát Y xit , Y
xj
t và Y
xk
t ,
– . . ..
Như vậy tại thời điểm t, t ∈ [0, T ], số lượng các giá trị quan sát nt của
các mục tiêu có thể có trong R thỏa mãn:
nt 6
H∑
s=1
s · CsH =: Nmax,
ở đây CsH là tổ hợp chập s của H .
Bổ đề được chứng minh xong. 
Chứng minh định lý.
Từ Bổ đề 2.3.8 ta suy ra tại mỗi thời điểm t, t = t1, . . . , tn, ta có:
Card (M [Yt−1]) < +∞ và Card
(
Yt
)
< +∞.
Từ đó suy ra số các ánh xạ có thể có ft : M [Yt−1]→ Yt là hữu hạn.
Do đó, {P [ft | Y (0 : t)]} là tập hữu hạn.
Từ đó suy ra ∃ f ∗t sao cho:
P [f ∗t | Y (0 : t)] = max∀ ft P [ft | Y (0 : t)]
Định lý được chứng minh xong. 
48
Nhận xét 2.3.2. Từ định nghĩa 2.3.6 và từ chứng minh định lý trên chúng
ta đã thấy rằng: chiến lược tối ưu từng bước có thể không duy nhất.
2.4.T -chiến lược và thuật toán xây dựng T -chiến lược
Chiến lược tối ưu từng bước luôn tồn tại (Định lý 2.3.7), song việc tìm
chiến lược đó là không đơn giản. Chúng ta có thể xác định được biểu thức
giải tích của xác suất hậu nghiệm P [ft | Y (0 : t)], nhưng việc từ đó để tìm
f ∗t là rất phức tạp và khó khăn. Thậm chí, chỉ riêng việc tính xác suất hậu
nghiệm P [ft | Y (0 : t)] đã có khá nhiều tác giả nghiên cứu và đưa ra nhiều
phương pháp, thuật toán không đơn giản; chẳng hạn phương pháp MCMC
(Markov Chain Monter Carlo); phương pháp chọn mẫu;... [9],[31],[38],[45].
Ở mục này và mục tiếp sau (mục 2.5), sẽ đưa ra một hướng tiếp cận mới
trong việc tìm chiến lược cho bài toán MTT với phương pháp liên kết dữ
liệu dựa trên hệ thống ánh xạ được xây dựng đệ quy đã đưa ra ở mục 2.3
(Định nghĩa 2.3.4 và Định nghĩa 2.3.5).
Ý tưởng của phương pháp và thuật toán được trình bày là sự phát triển ý
tưởng của bài toán kiểm định đa giả thiết và các bộ lọc thích ứng.
Trong mục này, T là ký hiệu của một tiêu chuẩn cho trước nào đó. Ở mục
tiếp sau, (mục 2.5), chúng tôi sẽ trình bày cho một trường hợp cụ thể (khá
phổ dụng trong thực tiễn) với T là tiêu chuẩn “K(ε)-tối ưu”
Định nghĩa 2.4.1. Giả sử T là một tiêu chuẩn mong muốn nào đó. Một
chiến lược liên kết dữ liệu đối với bài toán MTT được gọi là T -chiến lược nếu
như mọi dây chuyền dữ liệu ảnh của nó trong Y (O : T ) đều thỏa mãn tiêu
chuẩn T . T -chiến lược được ký hiệu là:
{f Tt | t = t1, t2, ..., tn}.
Thuật toán tìm T -chiến lược
Việc tìm T -chiến lược có nghĩa là chúng ta phải xây dựng được họ ánh xạ
49
{f Tt | t = t1, t2, ..., tn} thỏa mãn Định nghĩa 2.4.1 ở trên.
Xét tại thời điểm t, t = t0, t1, . . . , tn, nào đó.
• Ký hiệu Ll [t−, Y it ], 0 6 l 6 Card
(
(f Tt )
−1
(Y it )
)
, Y it ∈ Y (t), là
dây chuyền thứ l có đỉnh cuối tại thời điểm t là Y it . Trong trường hợp,
Card
(
(f Tt )
−1
(Y it )
)
= 0 ⇐⇒ l = 0 ⇐⇒ Y it là số đo mới xuất hiện chưa
được gắn với dây chuyền nào trước đó. Nó có thể là điểm khởi đầu (đỉnh đầu)
cho một dây chuyền mới là ảnh của quỹ đạo của mục tiêu mới xuất hiện nào
đó. Nó cũng có thể là điểm cô lập (hay số đo của FA) mà sẽ được kết luận
khi thực hiện thuật toán sau mốc thời gian t+ 1.
Ký hiệu DLl[t
−, Y it ] là tập đỉnh của dây chuyền Ll[t
−, Y it ] (kể cả đỉnh cuối
tính đến thời điểm t là Y it ), 0 6 l 6 Card
(
(f Tt )
−1
(Y it )
)
.
Ký hiệu
Z tl (j) = DLl[(t− 1)−, Y it−1] ∪ {Y jt }
= {Y hs ∈ Ll[(t− 1)−, Y it−1] | 1 6 h 6 ns, s 6 t− 1} ∪ {Y jt },
với 1 6 j 6 nt.
Thuật toán được tiến hành đệ quy lần lượt từ t = t1, t2, ..., tn. Khi thực
hiện tại thời điểm hiện tại t, t = t1, t2, ..., tn, thì các f
T
s , s ≤ t− 1 đã được
xác định. Chú ý rằng tại t = t1 thì:
M [Y (t− 1)] = M [Y (t1 − 1)] = M [Y (t0)] ≡ Y (t0)
và quy ước hình thức:
∀Y i0 ∈ Y (t0) thì Card
((
f Tt0
)−1 (
Y i0
))
= 0,
nghĩa là Y i0 là điểm khởi tạo của dây chuyền dữ liệu ảnh hoặc là FA (tùy kết
quả của ánh xạ bước kế tiếp sẽ xác định rõ).
Như vậy, tại thời điểm hiện tại t, t = t1, t2, ..., tn, ta đã xác định được:
+ Tập dữ liệu quan sát tại t là Y (t).
50
+ Tập dữ liệu quan sát của thời điểm trước (liền kề) là Y (t− 1).
+ Ánh xạ f Tt−1.
Từ đó, chúng ta xây dựng các tập:
M [Y (t− 1)] =
nt−1⋃
i=1
{Y it−1}⊗Card
(
(fTt−1)
−1
(Y it−1)
)
và
Y (t) = Y (t) ∪ {∅},
Chúng ta xây dựng ánh xạ:
f Tt : M [Y (t− 1)]→ Y (t)
theo quy tắc sau
Xét y ∈M [Y (t− 1)]
⇐⇒ y = Y it−1 ∈ {Y it−1}⊗Card
(
(fTt−1)
−1
(Y it−1)
)
⇐⇒ ∃ l, 0 ≤ l