Luận án Ứng dụng vật liệu áp điện trong đánh giá trạng thái kỹ thuật công trình

560 
32.0050 
35.0282 
48.4886 
6.8031 
17.6738 
31.9598 
33.9660 
48.2580 
6.7011 
17.6263 
32.0532 
32.9900 
48.2204 
6.6342 
17.6010 
32.0909 
32.2690 
48.3283 
6.5694 
17.5682 
30.4996 
32.9997 
48.7891 
6.5364 
 17.4348 
28.5903 
34.5735 
 49.5618 
6.5066 
17.2402 
27.6276 
35.7399 
49.9273 
1 
2 
3 
4 
5 
10 6.6638 
17.014 
30.647 
33.371 
46.401 
6.6339 
16.9432 
30.5295 
33.3620 
46.2376 
6.5082 
16.8812 
30.5198 
32.3855 
46.0778 
6.4234 
16.8507 
30.6407 
31.4858 
46.0955 
6.3705 
16.8392 
30.6548 
30.8771 
46.2437 
6.3259 
16.8264 
29.1786 
31.6291 
46.7463 
6.3086 
 16.7160 
27.3983 
 33.1894 
 47.5239 
6.2843 
16.5396 
26.4960 
34.3221 
47.8816 
1 
2 
3 
4 
5 
Bảng 2. 6. Tham số tần số của dầm CF đối với độ dày khác nhau của miếng áp điện 
ở giữa dầm trong trường hợp các chỉ số gradient khác nhau (n) và độ mảnh 𝐿𝑏/ℎ𝑏 =
10 
n S&B Tỷ số chiều dày của miếng áp điện và dầm chủ (ℎ𝑝/ℎ𝑏) Mode 
No. 0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0 
0.1 
1.7966 
10.782 
28.190 
28.404 
51.618 
1.7954 
10.7744 
28.1583 
28.4174 
51.5826 
1.7771 
10.4733 
27.2746 
28.1901 
50.8910 
1.7608 
10.2903 
26.4421 
28.0659 
50.5109 
1.7458 
10.2012 
25.6609 
28.0285 
50.3793 
1.7169 
10.2243 
24.2303 
28.1543 
50.6939 
1.6711 
 10.5215 
 22.3441 
28.6475 
 52.1539 
1.6383 
 10.7624 
21.2295 
29.0841 
53.4942 
1 
2 
3 
4 
5 
 0.2 
1.7010 
10.208 
26.781 
26.895 
48.878 
1.6972 
10.1850 
26.6685 
26.9501 
48.7694 
1.6819 
9.9345 
25.9008 
26.7631 
48.1946 
1.6685 
9.7887 
25.1714 
26.6716 
47.8987 
1.6561 
9.7271 
24.4810 
26.6595 
47.8301 
1.6319 
9.7834 
23.1999 
26.8152 
48.2289 
1.5922 
10.0946 
21.4769 
27.3132 
49.7489 
1.5630 
10.3315 
20.4420 
27.7369 
51.0999 
1 
2 
3 
4 
5 
0.5 
1.5244 
9.1477 
24.024 
24.098 
43.787 
1.5120 
9.0719 
23.7474 
24.1860 
43.4392 
1.5019 
8.9075 
23.2129 
24.0317 
43.0616 
1.4932 
8.8265 
22.6726 
23.9834 
42.9099 
1.4852 
8.8128 
22.1453 
24.0077 
42.9490 
1.4689 
8.9265 
21.1336 
24.2043 
43.4870 
1.4395 
9.2584 
19.7125 
24.6946 
 45.0843 
1.4166 
9.4851 
18.8307 
25.0840 
46.4249 
1 
2 
3 
4 
5 
1.0 
1.3864 
8.3146 
21.623 
21.886 
39.732 
1.3655 
8.1884 
21.3649 
21.8317 
39.1649 
1.3589 
8.0843 
20.9543 
21.7425 
38.9237 
1.3536 
8.0489 
20.5375 
21.7366 
38.8721 
1.3486 
8.0688 
20.1238 
21.7903 
38.9840 
1.3377 
8.2207 
19.3096 
22.0133 
39.6064 
1.3156 
8.5608 
18.1247 
22.4835 
 41.2161 
1.2972 
8.7760 
17.3698 
22.8359 
42.5088 
1 
2 
3 
4 
5 
2.0 
1.2762 
7.6640 
19.481 
20.088 
36.403 
1.2534 
7.5082 
19.3740 
19.8607 
35.8065 
1.2493 
7.4456 
19.0281 
19.8434 
35.6584 
1.2462 
7.4410 
18.6879 
19.8803 
35.6729 
1.2433 
7.4827 
18.3509 
19.9602 
35.8295 
1.2362 
7.6569 
17.6805 
20.2011 
36.4892 
1.2192 
7.9954 
 16.6833 
 20.6451 
38.0541 
1.2042 
8.1987 
16.0361 
20.9602 
39.2680 
1 
2 
3 
4 
5 
31 
5.0 
1.1722 
7.0111 
17.527 
18.391 
33.262 
1.1594 
6.9351 
17.5049 
18.2274 
32.9360 
1.1571 
6.9038 
17.2438 
18.2281 
32.8594 
1.1556 
6.9224 
16.9774 
18.2804 
32.9239 
1.1542 
6.9799 
16.7075 
18.3695 
33.1120 
1.1498 
7.1683 
16.1584 
18.6087 
33.7872 
1.1367 
7.5003 
 15.3217 
 19.0135 
35.2781 
1.1242 
7.6916 
14.7698 
19.2880 
36.3955 
1 
2 
3 
4 
5 
10 
1.1130 
6.6562 
16.686 
17.459 
31.575 
1.1074 
6.6234 
16.6779 
17.3874 
31.4357 
1.1061 
6.6086 
16.4513 
17.3964 
31.3977 
1.1054 
6.6401 
16.2151 
17.4554 
31.4924 
1.1047 
6.7072 
15.9722 
17.5482 
31.7030 
1.1013 
6.9053 
15.4712 
17.7853 
32.4012 
1.0897 
7.2355 
14.6979 
18.1691 
33.8761 
1.0783 
7.4201 
14.1846 
18.4234 
34.9547 
1 
2 
3 
4 
5 
Bảng 2. 7. Tham số tần số của dầm SS với miếng áp điện ở giữa dầm có độ dày và 
chiều dài thay đổi; n=2; 𝐿𝑏/ℎ𝑏 = 10. 
hp/hb 
Tỷ số chiều dài của miếng áp điện và chiều dài dầm Lp / 𝐿𝑏 Mode 
No. 1/6 1/4 1/3 1/2 2/3 1.0 
0 
3.4878 
13.3229 
28.0555 
38.9090 
46.1729 
3.4878 
13.3229 
28.0555 
38.9090 
46.1729 
3.4878 
13.3229 
28.0555 
38.9090 
46.1729 
3.4878 
13.3229 
28.0555 
38.9090 
46.1729 
3.4878 
13.3229 
28.0555 
38.9090 
46.1729 
3.4878 
13.3229 
28.0555 
38.9090 
46.1729 
1 
2 
3 
4 
5 
0.1 
3.4690 
13.3200 
27.9177 
38.1753 
46.1345 
3.4618 
13.3060 
27.9093 
37.8693 
45.9806 
3.4560 
13.2820 
27.9209 
37.6169 
45.8284 
3.4483 
13.2158 
27.8943 
37.2655 
45.7781 
3.4447 
13.1568 
27.7449 
37.1204 
45.6983 
3.4442 
13.1299 
27.6120 
37.2765 
45.3770 
1 
2 
3 
4 
5 
0.2 
3.4602 
13.3190 
27.8789 
37.4558 
46.1577 
3.4532 
13.2973 
27.9041 
36.8870 
45.9169 
3.4494 
13.2624 
27.9422 
36.4329 
45.6945 
3.4485 
13.1799 
27.8844 
35.7969 
45.6989 
3.4520 
13.1252 
27.6511 
35.5399 
45.5564 
3.4575 
13.1208 
27.5334 
35.8416 
45.1337 
1 
2 
3 
4 
5 
0.3 
3.4577 
13.3188 
27.9189 
36.7496 
46.2351 
3.4565 
13.2931 
28.0169 
35.9596 
45.9535 
3.4612 
13.2565 
28.0992 
35.3445 
65.8800 
3.4800 
13.1960 
28.0029 
34.4692 
45.8789 
3.5005 
13.1973 
27.7248 
34.1210 
45.6812 
3.5186 
13.2598 
27.7435 
34.5588 
45.3131 
1 
2 
3 
4 
5 
0.5 
3.4584 
13.3158 
28.1472 
35.3775 
46.5209 
3.4786 
13.2841 
28.4988 
34.2587 
46.2099 
3.5132 
13.2560 
28.7384 
33.4138 
46.0678 
3.6030 
13.3073 
28.5434 
32.1500 
46.7964 
3.6871 
13.5377 
28.1890 
31.6459 
46.4838 
3.7523 
13.8579 
28.7583 
32.3385 
45.2139 
1 
2 
3 
4 
5 
0.8 
3.4443 
13.2944 
28.5909 
33.4303 
47.2059 
3.5001 
13.2375 
29.5149 
32.0610 
46.7492 
3.5905 
13.2122 
30.2021 
31.0353 
46.7499 
3.8336 
13.4650 
29.3317 
29.8856 
48.8470 
4.0814 
14.1991 
28.5822 
29.1750 
48.3598 
4.2812 
15.1873 
29.6341 
30.9546 
44.7880 
1 
2 
3 
4 
5 
32 
Bảng 2. 8. Tham số tần số của dầm CC với miếng áp điện ở giữa dầm có độ dày và 
chiều dài thay đổi; n=2; 𝐿𝑏/ℎ𝑏 = 10. 
hp/hb 
Tỷ số chiều dài của miếng áp điện và chiều dài dầm Lp / 𝐿𝑏 Mode 
No. 1/6 1/4 1/3 1/2 2/3 1.0 
0 
7.5376 
19.3119 
34.8940 
38.9091 
52.9791 
7.5376 
19.3119 
34.8940 
38.9091 
52.9791 
7.5376 
19.3119 
34.8940 
38.9091 
52.9791 
7.5376 
19.3119 
34.8940 
38.9091 
52.9791 
7.5376 
19.3119 
34.8940 
38.9091 
52.9791 
7.5376 
19.3119 
34.8940 
38.9091 
52.9791 
1 
2 
3 
4 
5 
0.1 
7.4322 
19.2993 
34.7586 
38.1794 
52.9238 
7.3872 
 19.2575 
34.7683 
37.8740 
52.7503 
7.3478 
19.1879 
34.7836 
37.6193 
52.6171 
7.2877 
18.9986 
34.6411 
37.2659 
 52.6178 
7.2609 
18.8217 
34.2633 
37.1229 
52.2800 
7.4161 
18.9574 
34.1857 
37.2914 
47.3040 
1 
2 
3 
4 
5 
0.2 
7.3485 
 19.2900 
 34.7372 
 37.4750 
52.9309 
7.2744 
19.2188 
34.7953 
36.9074 
52.6624 
7.2107 
19.1053 
34.8325 
36.4435 
52.4857 
7.1115 
18.8104 
34.5550 
35.7978 
52.5662 
7.0636 
18.5288 
33.9187 
35.5471 
51.9427 
7.3967 
18.8426 
33.8756 
35.9053 
46.3936 
1 
2 
3 
4 
5 
0.3 
7.2810 
 19.2815 
 34.8072 
36.7955 
52.9912 
7.1910 
19.1888 
34.9518 
36.0062 
52.6835 
7.1157 
19.0510 
35.0216 
35.3688 
52.5324 
6.9955 
 18.7184 
 34.4701 
 34.6083 
 52.7730 
6.9309 
18.3924 
33.7970 
34.1339 
69.7155 
7.4585 
18.9130 
33.8667 
34.7014 
45.8106 
1 
2 
3 
4 
5 
0.5 
7.1733 
19.2559 
35.1237 
35.5139 
53.2327 
7.0796 
19.1268 
34.3922 
35.5537 
52.9170 
7.0112 
18.9730 
33.4871 
35.7445 
52.9447 
6.8979 
18.7062 
32.1500 
35.0262 
 53.7583 
6.8142 
18.4438 
31.6694 
33.9820 
52.3880 
7.7538 
19.4222 
32.7095 
34.4191 
45.2139 
1 
2 
3 
4 
5 
0.8 
7.0254 
19.1633 
33.8062 
35.7307 
53.8058 
6.9592 
18.9501 
32.4338 
36.8125 
53.3781 
6.9452 
18.7803 
31.2654 
37.3983 
53.7380 
6.9428 
18.7731 
29.3432 
36.1311 
55.9837 
6.8866 
18.8982 
28.6083 
34.6538 
53.7799 
8.4196 
20.5741 
30.4569 
35.7675 
44.7880 
1 
2 
3 
4 
5 
33 
Bảng 2. 9. Tham số tần số của dầm CF với miếng áp điện ở giữa dầm có độ dày và 
chiều dài thay đổi; n=2; 𝐿𝑏/ℎ𝑏 = 10. 
hp/hb 
Tỷ số chiều dài của miếng áp điện và chiều dài dầm Lp / 𝐿𝑏 Mode 
No. 1/6 1/4 1/3 1/2 2/3 1.0 
0 
1.2534 
7.5082 
19.3740 
19.8607 
35.8065 
1.2534 
7.5082 
19.3740 
19.8607 
35.8065 
1.2534 
7.5082 
19.3740 
19.8607 
35.8065 
1.2534 
7.5082 
19.3740 
19.8607 
35.8065 
1.2534 
7.5082 
19.3740 
19.8607 
35.8065 
1.2534 
7.5082 
19.3740 
19.8607 
35.8065 
1 
2 
3 
4 
5 
0.1 
1.2515 
7.4678 
19.1856 
19.9024 
35.6381 
1.2505 
7.4546 
19.1014 
19.8874 
35.6412 
1.2493 
7.4456 
19.0281 
19.8434 
35.6584 
1.2467 
7.4370 
18.9206 
19.7026 
35.5670 
1.2437 
7.4324 
18.8465 
19.5757 
35.3603 
1.2369 
7.4025 
18.6425 
19.4462 
35.1855 
1 
2 
3 
4 
5 
0.2 
1.2500 
 7.4522 
 18.9853 
 19.9605 
 35.5876 
1.2482 
7.4429 
18.8220 
19.9451 
35.6329 
1.2462 
7.4410 
18.6879 
19.8803 
35.6729 
1.2423 
7.4451 
18.5026 
19.6767 
35.5010 
1.2390 
7.4394 
18.3534 
19.5252 
35.2203 
1.2390 
7.4023 
17.9526 
19.3903 
35.0133 
1 
2 
3 
4 
5 
0.3 
1.2486 
 7.4543 
18.7741 
20.0324 
35.6322 
1.2459 
7.4634 
18.5363 
20.0273 
35.7577 
1.2433 
7.4827 
18.3509 
19.9602 
35.8295 
1.2389 
7.5194 
18.1071 
19.7609 
35.5750 
1.2374 
7.5162 
17.8904 
19.6639 
35.3165 
1.2562 
7.4878 
17.3542 
19.5588 
35.1910 
1 
2 
3 
4 
5 
0.5 
1.2449 
7.4844 
18.3232 
20.2106 
35.9074 
1.2403 
7.5607 
17.9475 
20.2430 
36.3053 
1.2362 
7.6569 
17.6805 
20.2011 
36.4892 
1.2314 
7.8164 
17.3610 
20.1477 
36.0135 
1.2368 
7.8341 
17.0516 
20.3314 
35.9442 
1.3256 
7.8486 
16.3898 
20.3437 
36.2470 
1 
2 
3 
4 
5 
0.8 
1.2361 
7.5236 
17.5960 
20.5565 
36.4710 
1.2271 
7.7329 
17.0388 
20.6499 
37.5033 
1.2192 
7.9954 
16.6833 
20.6451 
38.0541 
1.2117 
8.4646 
16.3194 
20.9245 
37.0487 
1.2281 
8.5813 
15.9697 
21.8051 
37.1759 
1.4859 
8.6651 
15.3499 
22.0842 
38.5576 
1 
2 
3 
4 
5 
34 
Để có cái nhìn sâu sắc hơn về sự biến đổi của tần số riêng theo độ dày của 
miếng vá áp điện và chỉ số phân bố (n) của vật liệu, chúng ta tính tỷ số tần số riêng 
của dầm có miếng áp điện trên tần số riêng của dầm chủ không có miếng áp điện. Các 
tỷ số này được gọi là tần số chuẩn hóa, được tính toán phụ thuộc vào độ dày của 
miếng áp điện đối với các chỉ số n khác nhau và các vị trí dán miếng áp điện khác 
nhau. Đồ thị của các tần số chuẩn hóa được cho trong Hình. 2.4 - 2.6 tương ứng với 
các trường hợp điều kiện biên thông thường cho phép đưa ra các nhận xét sau: 
 Đầu tiên, ta quan sát thấy rằng các tần số chuẩn hóa tăng lên trong khi các tần 
số riêng lại giảm khi chỉ số phân bố vật liệu n tăng. Điều này chứng tỏ tần số riêng 
của dầm không có miếng áp điện giảm nhanh hơn so với tần số riêng của dầm có 
miếng áp điện khi chỉ số phân bố vật liệu n tăng. 
 Tiếp theo, tần số chuẩn hóa của dầm được gắn một lớp áp điện thay đổi theo 
cùng một dạng (parabol) đối với tất cả các điều kiện biên thông thường (SS / CC / 
CF). Sự thay đổi tần số chuẩn hóa thứ hai của dầm SS và CC với miếng áp điện được 
liên kết vào các đầu dầm cũng tương tự như trên. 
 Tần số chuẩn hóa đầu tiên của dầm CC và CF đơn điệu tăng theo độ dày miếng 
áp điện được dán vào đầu ngàm. Cả hai tần số chuẩn hóa của dầm CC với miếng dán 
áp điện được dán ở vị trí giữa và miếng áp điện được liên kết với đầu tự do của dầm 
CF đều giảm đơn điệu khi độ dày lớn dần. 
 Cuối cùng, các tần số chuẩn hóa của dầm SS có miếng áp điện thay đổi không 
đơn điệu, nhưng có thể nhận thấy ở đây rằng sự biến đổi của tần số chuẩn hóa đầu 
tiên theo độ dày của miếng dán áp điện gắn với đầu dầm tương tự như sự biến đổi 
của tần số chuẩn hóa thứ hai khi miếng áp điện được liên kết ở vị trí giữa dầm. 
 Tất cả các dự báo được đưa ra ở trên chứng minh thực tế rằng ảnh hưởng của 
miếng áp điện lên các đặc tính động lực học của dầm FGM đi đôi với ảnh hưởng của 
các đặc tính của vật liệu. Điều này cho thấy sự tương tác giữa tính đàn hồi điện của 
vật liệu áp điện và vật liệu FGM. 
35 
Hình 2.4 a. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày tương đối của 
miếng áp điện được liên kết tại các đầu dầm SS khi chỉ số gradient của vật liệu thay 
đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10). 
36 
Hình 2.4 b. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày tương đối của 
miếng áp điện được liên kết ở giữa dầm SS với chỉ số gradient của vật liệu thay đổi 
(n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10). 
37 
Hình 2.4 c. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày tương đối của 
miếng áp điện được liên kết suốt chiều dài của dầm SS khi chỉ số gradient của vật 
liệu thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10). 
38 
Hình 2.5 a. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn đầu tiên theo độ dày tương đối của 
miếng áp điện được liên kết tại đầu ngàm của dầm CC khi chỉ số gradient của vật 
liệu.thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10). 
39 
Hình 2.5 b. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày tương đối của 
miếng áp điện được liên kết ở giữa dầm CC với chỉ số gradient của vật liệu thay đổi 
(n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10). 
40 
Hình 2.5 c. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày tương đối của 
miếng áp điện được liên kết suốt chiều dài của dầm CC khi chỉ số gradient của vật 
liệu thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10). 
41 
Hình 2.6 a. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày của miếng áp 
điện được liên kết với đầu ngàm của dầm công xôn CF khi chỉ số gradient của vật 
liệu thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10). 
42 
Hình 2.6 b. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày của miếng áp 
điện được liên kết ở đầu tự do của dầm công-xôn CF khi chỉ số gradient của vật liệu 
thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10). 
43 
Hình 2.6 c. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày của miếng áp 
điện được liên kết ở giữa dầm công-xôn CF khi chỉ số gradient của vật liệu.thay đổi 
(n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10). 
44 
Hình 2.6 d. Sự biến đổi của hai tần số chuẩn hóa đầu tiên theo độ dày của miếng áp 
điện được liên kết với trên suốt chiều dài của dầm công-xôn CF khi chỉ số gradient 
của vật liệu.thay đổi (n = 0.2 -0.5-1.0-2.0-5.0-10). 
. 
45 
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 
 Trong Chương này tác giả trình bày những kết quả chính sau đây: 
1. Đã xây dựng mô hình dầm FGM có lớp áp điện, được gọi tắt là dầm FGM-áp điện, 
là một mô hình dầm FGM thông minh. Sử dụng mô hình này, đã tìm được hàm 
dạng dao động tổng quát của dầm FGM áp điện làm cơ sở để xây dựng mô hình 
độ cứng động cho dầm FGM áp điện; 
2. Đã xây dựng được mô hình độ cứng động cho phần tử dầm FGM áp điện và ứng 
dụng để xây dựng mô hình dầm FGM có miếng vá áp điện, như một dầm bậc. Thiết 
lập các phương trình cơ bản để giải bài toán dao động riêng của dầm FGM có 
miếng vá áp điện; 
3. Đã nghiên cứu chi tiết ảnh hưởng của miếng vá áp điện (vị trí, kích thước) cùng 
với các tham số vật liệu đến tần số riêng của dầm FGM. Kết quả này là cơ sở để 
sử dụng các cảm biến áp điện để nhận dạng dầm FGM bằng tần số dao động riêng; 
46 
CHƯƠNG 3. DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM BỊ NỨT CÓ LỚP ÁP ĐIỆN 
 Trong chương này tác giả nghiên cứu chủ yếu dầm FGM có vết nứt được gắn 
một lớp áp điện có cùng chiều rộng và chiều dài với dầm chủ, gọi tắt là dầm áp điện 
có vết nứt. Mô hình dầm FGM có lớp áp điện đã được xây dựng ở chương 2, mục 
tiêu ở chương này là xây dựng mô hình dầm FGM áp điện có vết nứt, được mô hình 
hóa bởi cặp lò xo dọc trục và lò xo xoắn. Việc ghép nối mô hình dầm có vết nứt với 
lớp áp điện được thực hiện nhờ mô hình dầm kép với các điều kiện không bong tách 
và không trượt tại mặt tiếp xúc. Sau khi xây dựng mô hình, tác giả nghiên cứu sự thay 
đổi của tần số riêng phụ thuộc vào vị trí, độ sâu vết nứt, chiều dày lớp áp điện và các 
tham số vật liệu được đại diện bằng chỉ số phân bố vật liệu n. Đặc biệt ở đây cũng 
nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt, kích thước lớp vật liệu đến điện tích xuất hiện 
trong lớp áp điện tương ứng với các dạng dao động riêng của cả dầm kép. Đại lượng 
này được gọi là điện tích cảm biến dao động (Modal Piezoelectric Charge)[15] mà 
thực chất là đáp ứng điện đầu ra của lớp áp điện (được xem như một cảm biến liên 
tục) khi dầm dao động theo các dạng riêng. Việc phân tích sự thay đổi của điện tích 
cảm biến dao động này là cơ sở để chẩn đoán vết nứt bằng cách đo đạc điện tích trong 
lớp áp điện được thực hiện ở chương sau. Trong chương này cũng nghiên cứu một 
dầm đồng nhất có vết nứt, như một trường hợp riêng của dầm FGM có lớp áp điện. 
3.1. Dao động của dầm FGM bị nứt có lớp áp điện 
Phương trình dao động của dầm FGM có lớp áp điện đã được thiết lập ở chương 
2, ở đây tác giả sẽ sử dụng các công thức đã trình bày ở chương 2 để xem xét trường 
hợp dầm chủ FGM có một vết nứt. Vì vậy tác giả nhắc lại dưới đây mô hình vết nứt 
trong dầm FGM đã được Nguyễn Tiến Khiêm và Trần Văn Liên xây dựng trong các 
công bố [83, 43, 91]. 
3.1.1 Mô hình vết nứt trong dầm FGM có lớp áp điện 
 Giả sử rằng dầm FGM chủ có một vết nứt tại vị trí e tính từ đầu bên trái của 
nó. Gần đây, một số tác giả như Aydin [81]; Banerjee và cộng sự [85] đã đề xuất mô 
hình vết nứt bằng lò xo quay có độ cứng được tính toán từ độ sâu vết nứt. Tuy nhiên, 
vì dao động dọc trục và dao động uốn trong dầm FGM thường đi đôi với nhau, nên 
vết nứt cũng có thể thay đổi các đặc tính dao động dọc trục. Do đó, vết nứt được mô 
47 
hình hóa trong nghiên cứu này bằng một cặp lò xo tương đương có độ cứng 𝑇 đối với 
lò xo thẳng và độ cứng 𝑅 đối với lò xo quay (Hình 3.1). Vì vậy, các điều kiện phải 
thỏa mãn tại vết nứt là 
𝑈(𝑒 + 0) = 𝑈(𝑒 − 0) + 𝑁(𝑒)/𝑇 ;   𝑊(𝑒 + 0) = 𝑊(𝑒 − 0); 
𝛩(𝑒 + 0) = 𝛩(𝑒 − 0) + 𝑀(𝑒)/𝑅 ; 
𝑈𝑥
′ (𝑒 + 0) = 𝑈𝑥
′ (𝑒 − 0) ; 𝛩𝑥
′ (𝑒 + 0) = 𝛩𝑥
′ (𝑒 − 0) ; (3.1) 
𝑊𝑥
′(𝑒 + 0) = 𝑊𝑥
′(𝑒 − 0) + 𝑀(𝑒)/𝑅, 
trong đó 𝑁(𝑥) = 𝐴11𝑈𝑥
′ (𝑥);𝑀(𝑥) = 𝐴22𝛩𝑥
′(𝑥) lần lượt là lực dọc trục và mômen 
uốn tại mặt cắt x 
Hình 3. 1. Dầm FGM với vết nứt mở và mô hình của hai lò xo tương đương 
 Thay các biểu thức của lực dọc trục và mômen uốn vào, phương trình (3.1) có 
thể được viết lại thành [82] 
 𝑈(𝑒 + 0) = 𝑈(𝑒 − 0) + 𝛾1𝑈𝑥
′ (𝑒) ; 𝑈𝑥
′ (𝑒 + 0) = 𝑈𝑥
′ (𝑒 − 0) ; 
 𝑊(𝑒 + 0) = 𝑊(𝑒 − 0); 𝑊𝑥
′(𝑒 + 0) = 𝑊𝑥
′(𝑒 − 0) + 𝛾2𝛩𝑥
′ (𝑒); 
𝛩(𝑒 + 0) = 𝛩(𝑒 − 0) + 𝛾2𝛩𝑥
′ (𝑒) ; 𝛩𝑥
′ (𝑒 + 0) = 𝛩𝑥
′ (𝑒 − 0) ; (3.2) 
 𝛾1 = 𝐴11/𝑇; 𝛾2 = 𝐴22/𝑅. 
 Độ lớn vết nứt 𝛾1, 𝛾2 là hàm của các tham số vật liệu như là môđun đàn hồi và 
chúng phải là các tham số của dầm đồng nhất khi 𝐸𝑡 = 𝐸𝑏 = 𝐸0. Mặt khác, sử dụng 
biểu thức (2.5), độ lớn vết nứt có thể được viết lại thành 
𝛾1 = 𝐴11/𝑇 = 𝛾𝑎𝜑1(𝑟𝑒 , 𝑛) ; 𝛾2 = 𝐴22/𝑅 = 𝛾𝑏𝜑3(𝑟𝑒 , 𝑛), (3.3) 
trong đó 𝛾𝑎 = 𝐸𝑏𝐴/𝑇; 𝛾𝑏 = 𝐸𝑏𝐼𝑏/𝑅 và các hàm 𝜑1, 𝜑3 được định nghĩa trong các 
biểu thức (2.5) của chương 2. Trong trường hợp dầm đồng nhất khi 𝑟𝑒 = 1 , độ lớn 
vết nứt sẽ là 
𝛾1 = 𝛾𝑎𝜑1(1,0) = 𝛾𝑎 = 𝛾10;,𝛾2 = 𝛾𝑏𝜑3(1,0) = 𝛾𝑏/12 = 𝛾20, 
chúng được tính toán từ độ sâu vết nứt a đối với dao động dọc trục và dao động uốn 
như [86], [82]: 
𝛾10 = 𝐸0𝐴/𝑇 = 2𝜋(1 − 𝜈0
2)ℎ𝑓1(𝑧); 
𝛾20 = 𝐸0𝐼0/𝑅 = 6𝜋(1 − 𝜈0
2)ℎ𝑓2(𝑧), 𝑧 = 𝑎/ℎ; (3.4) 
a 
h 
R 
T 
48 
𝑓1(𝑧) = 𝑧
2(0.6272 − 0.17248𝑧 + 5.92134𝑧2 − 10.7054𝑧3 + 31.5685𝑧4
− 67.47𝑧5 + 139.123𝑧6 − 146.682𝑧7 + 92.3552𝑧8); 
𝑓2(𝑧) = 𝑧
2(0.6272 − 1.04533𝑧 + 4.5948𝑧2 − 9.9736𝑧3 + 20.2948𝑧4
− 33.0351𝑧5 + 47.1063𝑧6 − 40.7556𝑧7 + 19.6𝑧8). 
Do đó, để phân tích dao động của dầm FGM bị nứt, độ lớn vết nứt được đề xuất ở 
đây được tính